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【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题六 自选模块 第3讲 概率 理


第3讲 概



1.(2015·课标全国Ⅰ)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个 数为一组勾股数, 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数, 则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 ( A. ) 3 1 B. 10 5 1 1 C. D. 10 20

2.(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离 不小于该正方形边长的概率为( 1 2 A. B. 5 5 3 C. 5 4 D. 5
2

)

3.(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p,则方程 x +2px+3p-2=0 有两个负 根的概率为________.

1.以选择题、填空题的形式考查古典概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合, 考查知识的综合应用能力.

热点一 古典概型 1.古典概型的概率:

m A中所含的基本事件数 P(A)= = . n 基本事件总数
2.古典概型的两个特点:所有可能出现的基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能 性相等. 例1 (2014·天津)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况

如下表: 一年级 男同学 女同学 二年级 三年级

A X

B Y

C Z
1

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发 生的概率.

思维升华 求古典概型概率的步骤: (1)反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意; (2)判断试验是否为古典概型,并用字母表示所求事件; (3)利用列举法求出总的基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m; (4)计算事件 A 的概率 P(A)= . 跟踪演练 1 (1)(2015·湖州二模)有两张卡片, 一张的正反面分别写着数字 0 与 1, 另一张 的正反面分别写着数字 2 与 3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数为 奇数的概率是( 1 A. 6 ) B. 1 3
2

m n

1 C. 2

D.

3 8

(2)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数 字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵 犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( 11 A. 36 1 C. 6 热点二 互斥事件与对立事件 1.事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A,B 中有一个发生)的概率,等于事件 A,B 分 别发生的概率的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B). 2.在一次试验中,对立事件 A 和 A 不会同时发生,但一定有一个发生,因此有 P( A )=1 -P(A). 例 2 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动,规定顾客从装有编号为 0,1,2,3,4 的五个相同 小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球,若取出的两个小球的编号之和等于 7 则中一等奖, 等于 6 或 5 则中二等奖,等于 4 则中三等奖,其余结果为不中奖. (1)求中二等奖的概率; (2)求不中奖的概率. B. D. 5 18 4 9 )

3

思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念, 要充分利用对立事件是必然 有一个发生的互斥事件.在判断这些问题时,先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不 可能同时发生),然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生).在解答与 两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌,全面考虑,防止出现错误. 1 1 8 跟踪演练 2 (1)设事件 A,B,已知 P(A)= ,P(B)= ,P(A∪B)= ,则 A,B 之间的关系 5 3 15 一定为( ) B.互斥事件 D.对立事件

A.两个任意事件 C.非互斥事件

(2)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编 号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示).

2 3 1.将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n,则函数 y= mx -nx+1 在[1,+∞) 3 上为增函数的概率是( 1 5 A. B. 2 6 3 C. 4 2 D. 3 )

2.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6),事件 A 表示“朝上一面 的数是奇数”,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 2”,则 P(A+B)=________. 提醒:完成作业 专题六 第 3 讲

4

二轮专题强化练 专题六

第3讲





A组

专题通关

1.(2015·绍兴模拟)从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益 活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( 1 A. 3 1 C. 2 B. D. 5 12 7 12 )

2.有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组,第一组有 1 个数为 1,第二组有 2 个数为 3,5,第三组有 3 个数为 7,9,11,?,依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为( A. 1 10 ) B. D. 3 10 3 5

1 C. 5

3.在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中任取 2 张,若事件“2 张全是移动 3 7 卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( 10 10 A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 )

B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

4.甲乙两人一起去游泰山,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览, 每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( A. C. 1 36 5 36 B. D. 1 9 1 6 )

5.连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角 θ >90°的概率是 ( )

5

A.

5 12

B. D.

7 12 1 2

1 C. 3

6. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率为 0.42, 摸出白球的概率为 0.28,若红球有 21 个,则黑球有________个.

x2 y2 7.(2015·宁波模拟)曲线 C 的方程为 2+ 2=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得 m n x2 y2 点数,事件 A 为“方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=________. m n
8.电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都由四个数字构成,则一天中 任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为________. 9.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四面 体面朝下的数字分别为 b,c. (1)z=(b-3) +(c-3) ,求 z=4 的概率; (2)若方程 x -bx-c=0 至少有一根 x∈{1,2,3,4}, 就称该方程为“漂亮方程”, 求方程为 “漂亮方程”的概率.
2 2 2

10.现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀,B1,B2,B3 物理成绩优秀,

C1,C2 化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代表学

6

校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率.

B组 11.下列试验中,是古典概型的个数为(

能力提高 )

①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率; ②向正方形 ABCD 内,任意抛掷一点 P,点 P 恰与点 C 重合; ③从 1,2,3,4 四个数中,任取两个数,求所取两数之一是 2 的概率; ④在线段[0,5]上任取一点,求此点小于 2 的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 12.掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示“小于 5 的点数 出现”,则一次试验中,事件 A+ B 发生的概率为( 1 1 A. B. 3 2 2 C. 3 5 D. 6 )

13.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1 000 次,那么第 999 次出现正面朝上的概率 是________. 14.设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令平面向量 a=(m,n),b=(1,-3). (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率; (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率.

7

学生用书答案精析 第3讲 概 率

高考真题体验 1.C [从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4), (1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股 数只有(3,4,5),所以概率为 1 .故选 C.] 10

6 2 2. C [取两个点的所有情况为 C5=10, 所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种, 概率为 10 3 = .故选 C.] 5 2 3. 3 Δ ≥0, ? ? 解析 方程 x +2px+3p-2=0 有两个负根,则有?x1+x2<0, ? ?x1·x2>0,
2

4p -4?3p-2?≥0, ? ? 即?-2p<0, ? ?3p-2>0, 2 解得 p≥2 或 <p≤1,又 p∈[0,5], 3 1 10 3+ 3 3 2 则所求概率为 P= = = . 5 5 3 热点分类突破 例 1 解 (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C}, {A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z}, {X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A, Y}, {A,

2

Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种.
因此,事件 M 发生的概率

8

P(M)= = .
跟踪演练 1 (1)(1)C (2)D

6 2 15 5

解析 (1)能组成的两位数有 12,13,20,30,21,31,共 6 个,其中的奇数有 13,21,31,共 3 3 1 个,因此所组成的两位数为奇数的概率是 = ,故选 C. 6 2 (2)根据题目条件知所有的数组(a,b)共有 6 =36 组,而满足条件|a-b|≤1 的数组(a,b) 有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4), (4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),共有 16 组,根据古典概型的概率公式知所求的概率 16 4 为 P= = .故选 D. 36 9 例 2 解 (1)记“中二等奖”为事件 A. 从五个小球中一次任意摸出两个小球,不同的结果有{0,1},{0,2},{0,3},{0,4},{1,2}, {1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 10 个基本事件. 记两个小球的编号之和为 x,由题意可知,事件 A 包括两个互斥事件:x=5,x=6. 事件 x=5 的取法有 2 种, 即{1,4},{2,3}, 2 1 故 P(x=5)= = ; 10 5 事件 x=6 的取法有 1 种,即{2,4}, 1 故 P(x=6)= . 10 1 1 3 所以 P(A)=P(x=5)+P(x=6)= + = . 5 10 10 (2)记“不中奖”为事件 B, 则“中奖”为事件 B , 由题意可知, 事件 B 包括三个互斥事件: 中一等奖(x=7),中二等奖(事件 A),中三等奖(x=4). 事件 x=7 的取法有 1 种,即{3,4}, 1 故 P(x=7)= ; 10 事件 x=4 的取法有{0,4},{1,3},共 2 种, 2 1 故 P(x=4)= = . 10 5 3 由(1)可知,P(A)= . 10 1 1 3 3 所以 P( B )=P(x=7)+P(x=4)+P(A)= + + = . 10 5 10 5
9
2

3 2 所以不中奖的概率为 P(B)=1-P( B )=1- = . 5 5 13 跟踪演练 2 (1)B (2) 18 1 1 8 解析 (1)因为 P(A)+P(B)= + = =P(A∪B),所以 A,B 之间的关系一定为互斥事件. 5 3 15 10 5 (2)九个数的编号中有 5 个奇数,4 个偶数,两个球的编号之积为奇数的概率为 = ,所 36 18 5 13 以所求概率为 1- = . 18 18 高考押题精练 1.B [将一骰子抛掷两次,所得向上的点数(m,n)的所有事件为(1,1),(1,2),?,(6,6), 2 3 2 共 36 个.由题可知,函数 y= mx -nx+1 在[1,+∞)上单调递增,所以 y′=2mx -n≥0 3 在[1,+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), 2 3 (2,5),(2,6),共 6 种情况,所以满足条件的共有 30 种情况,则函数 y= mx -nx+1 在[1, 3 30 5 +∞)上单调递增的概率为 = .] 36 6 2 2. 3 解析 将事件 A+B 分为: 事件 C“朝上一面的数为 1,2”与事件 D“朝上一面的数为 3,5”, 1 1 则 C,D 互斥,且 P(C)= ,P(D)= ,∴P(A+B)=P(C+D) 3 3 2 =P(C)+P(D)= . 3

10

二轮专题强化练答案精析 第3讲 概 率

1.A [设 2 名男生记为 A1,A2,2 名女生记为 B1,B2,任意选择两人在星期六、星期日参加 某公益活动,共有 A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1 共 12 种情况,而星期六安排一名男生,星期日安排一名女生共有 A1B1,A1B2,A2B1,A2B2 共 4 种情 4 1 况,则发生的概率为 P= = ,故选 A.] 12 3 2.B [由已知可得前九组共有 1+2+3+?+9=45 个奇数,第十组共有 10 个奇数,分别 是 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这 10 个数字, 其中恰为 3 的倍数的数有 93,99,105 3 三个,故所求概率为 P= .] 10 3. A [至多有一张移动卡包含“一张移动卡, 一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件, 它是“2 张全是移动卡”的对立事件,故选 A.] 4.D [最后一个景点甲有 6 种选法,乙有 6 种选法,共有 36 种,他们选择相同的景点有 6 6 1 种,所以 P= = , 36 6 所以选 D.] 5.A [∵(m,n)·(-1,1)=-m+n<0, ∴m>n. 基本事件总共有 6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2), (4,1),(4,2),(4,3), (5,1),?,(5,4),(6,1),?,(6,5),共 1+2+3+4+5=15(个). 15 5 ∴P= = , 36 12 故选 A.] 6.15 解析 1-0.42-0.28=0.30,21÷0.42=50,50×0.30=15. 7. 5 12

解析 试验中所含基本事件个数为 36;若表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m>n,有(2,1), (3,1),?,(6,5),共 1+2+3+4+5=15 种情况,

11

15 5 因此 P(A)= = . 36 12 8. 1 360

解析 因为时钟一分钟显示一次,故总的显示方法数为 24×60=1 440(种),四个数字之和 4 1 为 23 的有 09:59,18:59,19:49,19:58 四种情况,故所求概率为 = . 1 440 360 9.解 (1)因为是投掷两次,因此基本事件(b,c): (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共 16 个. 当 z=4 时,(b,c)的所有取值为(1,3),(3,1), 2 1 所以 P(z=4)= = . 16 8 (2)①若方程一根为 x=1,则 1-b-c=0, 即 b+c=1,不成立. ②若方程一根为 x=2,则 4-2b-c=0, 即 2b+c=4,所以?
?b=1, ? ? ?c=2.

③若方程一根为 x=3,则 9-3b-c=0, 即 3b+c=9,所以?
?b=2, ? ?c=3. ?

④若方程一根为 x=4,则 16-4b-c=0, 即 4b+c=16,所以?
? ?b=3, ?c=4. ?

由①②③④知,(b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4). 3 所以方程为“漂亮方程”的概率为 P= . 16 10.解 (1)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,其一切可能的结果组成的 基本事件空间为 Ω ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2), (A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,

B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共 18 个
基本事件组成.
12

由于每一个基本事件被抽取的机会均等. 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“C1 恰被选中”这一事件,则

M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),
(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}. 9 1 事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P(M)= = . 18 2 (2)用 N 表示“A1,B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“A1,B1 全被选中”这一事件, 2 1 由于 N ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},事件 N 由 2 个基本事件组成,所以 P( N )= = . 18 9 由对立事件的概率公式得

P(N)=1-P( N )=1- = .
11.B [①中,硬币质地不均匀,不是等可能事件, 所以不是古典概型. ②④的基本事件都不是有限个,不是古典概型. ③符合古典概型的特点,是古典概型问题.] 12.C [掷一个骰子的试验有 6 种可能结果.依题意

1 8 9 9

P(A)= = ,P(B)= = ,
2 1 ∴P( B )=1-P(B)=1- = . 3 3 ∵ B 表示“出现 5 点或 6 点”的事件, 因此事件 A 与 B 互斥, 从而 P(A+ B )=P(A)+P( B ) 1 1 2 = + = .] 3 3 3 1 13. 2 解析 抛掷一枚质地均匀的硬币,只考虑第 999 次,有两种结果:正面朝上,反面朝上,每 1 种结果等可能出现,故所求概率为 . 2 14.解 (1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6}, 故(m,n)所有可能的取法共 36 种.

2 1 6 3

4 2 6 3

a⊥b,即 m-3n=0,即 m=3n,共有 2 种:(3,1),(6,2),

13

2 1 所以事件 a⊥b 的概率为 = . 36 18 (2)|a|≤|b|,即 m +n ≤10, 6 1 共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6 种,其概率为 = . 36 6
2 2

14


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