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高一数学下册期末考试试题4


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高一数学下册期末考试试题

数 学 试 题
本试卷共 20 小题,满分 100 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指 定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写在新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 1.锥体体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 为底面面积、h 为高; 3 1 2.台体的体积公式 V = ( S1 + S1 S 2 + S 2 ) h ,其中 S1 、 S 2 是锥体的上、下底面积,h 3
是锥体的高; 3.球的体积公式为 V =

4 3 πR ,其中 R 为球的半径; 3

4.圆锥的表面积为 S = πr ( r + l ) ,其中 r 为底面圆的半径, l 为母线。

第Ⅰ卷(选择题

共 30 分)

一、选择题(本大题共 10 小 题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1.直线 l1 的倾斜角为 30°直线 l1 ⊥ l 2 ,则直线 l 2 的斜率为 ( )

A. 3

B.- 3

C.

3 3

D.-

3 3

2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到如左下图的一个正方形,则原来图形的形状 是 ( )

3.下列命题中,错误的命题是( ) A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个平面相交 D.一条直线与两个平行平面所成的角相等
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4.把一个铁制的底面半径为 r,高为 h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径 为 ( ) A.

r h 2

B.

r 2h 4

C. 3

r 2h 4

D. (

r 2h 2


5.平面 α 与平面 β 平行的条件可以是 A. α 内有无穷多条直线都与 β 平行 B.直线 a // α , a // β ,且直线 a 不在 α 内,也不在 β 内 C.直线 a ? α , 直线b ?

β , 且a // β , b // α

D. α 内任何直线都与 β 平行 6.圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 1 = 0 关于直线 2 x ? y + 3 = 0 对称的圆的方程是 A. ( x + 3) + ( y ? 2) =
2 2





1 2

B. ( x ? 3) + ( y + 2) =
2 2

1 2

C. ( x + 3) 2 + ( y ? 2) 2 = 2

D. ( x ? 3) 2 + ( y + 2) 2 = 2 ( )

7.圆台的上下底面半径和高的比为 1:4:4,母线长为 10,则圆台的体积为 A. 672π B. 224π C. 100π D.

544 π 3

8.现有一个长方体水箱,从水箱里面量得它的深是 30 ㎝,底面的长是 25 ㎝,宽是 20 ㎝。 设 0 < a ≤ 8 ,水箱里盛有深为 acm 的水,若往水箱里放入棱长为 10 ㎝的立方体铁地块, 则水深为 ( ) A.2 ㎝ B.10 ㎝ C. (a + 2)cm D.

5a cm 4

9.已知直线 l1与l 2 的夹角平分线为 y = x, 若l1的方程为2 x ? y + 1 = 0, 那么l 2 的方程是 ( A. 2 x ? y ? 1 = 0 C. 2 x + y ? 1 = 0 B. x ? 2 y ? 1 = 0 D. x ? 2 y + 1 = 0
w.w.w.k.s .5.u. c.o. m



10. 若直线 y = kx + 1与圆x 2 + y 2 ? 1 相交于 P、 两点, ∠POQ = 120°(其中 O 为原点) Q 且 , 则 k 的值为 A. ? 3或 3 B. 3 C. ? ( )

2或 2
共 70 分)

D. 2

第Ⅱ卷(非选择题

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
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11.已知两条直线 l1 : ax + 3 y ? 3 = 0, l 2 : 4 x + 6 y ? 1 = 0.若l1 // l 2 , 则a =



12.已知圆 C : ( x + 5) 2 + y 2 = r 2 ( r > 0)和直线l : 3 x + y + 5 = 0 。若圆 C 与直线 l 没有公共 点,则 r 的取值范围是 。 13.一个红色的棱长是 4 ㎝的立方体,将其适当分割成棱长为 1 ㎝的小正方体,则两面涂色 个。 的小正方体共有 14.设 a, b 是两条不同直线, α , β 是两个不同平面,给出下列四个命题: ①若 a ⊥ b, a ⊥ α , b ? α , 则b // α ; ③若 a ⊥ ②若 a // α , α ⊥

β , 则a ⊥ β ;

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

β ,α ⊥ β , 则a // α或a ? α ;

④若 a ⊥ b, a ⊥ α , b ⊥

β , 则α ⊥ β .

其中正确命题的序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 52 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. (本小题满分 8 分) 一个几何体的三视图及其尺寸如右图(单位:㎝) , (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体体积。

16. (本小题满分 8 分) 已知四边形 ABCD 的顶点坐标为 A( 2,2 + 2 2 ), B ( ?2,2), C (0,2 ? 2 2 ), D ( 4,2) , 试证明: 四边形 ABCD 为矩形。

17. (本小题满分 8 分) 设直线 2 x + 3 y + 1 = 0和圆x 2 + y 2 ? 2 x ? 3 = 0 相交于点 A、B, (1)求弦 AB 的垂直平分线方程; (2)求弦 AB 的长。
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18. (本小题满分 10 分) 已知三棱锥 P—ABC 中,PC ⊥ 底面 ABC,AB=BC,D、F 分别为 AC、PC 的中点,DE ⊥ AP 于 E。 (1)求证:AP ⊥ 平面 BDE; (2)求证:平面 BDE ⊥ 平面 BDF; (3)若 AE:EP=1:2,求截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成上、下两部分的体积比。
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19. (本小题满分 10 分) 如图, 某海面上有 O、 B 三个小岛 A、 (面积大小忽略不计)A 岛在 O 岛的东北方向 20 2km , 处,B 岛在 O 岛的正东方向 10km 处。 (1)以 O 为坐标原点,O 的正东方向为 x 轴正方向,1km 为单位长度,建立平面直角坐 标系,试写出 A、B 的坐标,并求 A、B 两岛之间的距离; (2) 已知在经过 O、 B 三个点的圆形区域内有未知暗礁, A、 现有一船在 O 岛的南偏西 30° 方向距 O 岛 20km 处,正沿东北方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危 险?

20. (本小题满分 10 分)
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在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1=B1C1=3,BB1=4,点 B1 在平面 A1BC1 上的射影为 H。 (1)求证:H 为 ?A1 BC1 的垂心 ( 2 ) 求 证 : S ?A1B1C1 = S ?A1HC1 ? S ?A1BC1 (其中, S ?A1B1C1 , S ?A1HC1 , S ?A1BC1 分 别 表 示
2

?A1 B1 C1 , ?A1 HC1 , ?A1 B C1的面积)
(3)求二面角 B1—A1C1—B 的正切值。

参考答案
一、选择题: BAACD CBDBA 二、填空题 11.2 12. (0, 10 ) 三、解答题: 15. (本小题满分 8 分) 解答:由图可知: r = 3, l = 5,∴ h = 4 (1)表面积 S = πr ( r + l ) = π ? 3(3 + 5) = 24πcm 2 (2)体积 V = 13.24 14.①③④

1 2 1 πr h = π ? 3 2 ? 4 = 12πcm 3 . 3 3 2+2 2 ?2 2 2?2 2 ?2 2 = , k CD = = , 2 ? ( ? 2) 2 ?4 2

16. (本小题满分 8 分) 证明:Q k AB =

∴ k AB = k CD ,∴ AB // CD ,
同理: k BC = ? 2 , k AD = ? 2

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∴ k BC = k AD ,∴ BC // AD ,
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形。
又 K AB ? K BC = ?1,∴ AB ⊥ BC

∴ 四边形 ABCD 为矩形。
17. (本小题满分 8 分)
2 2 ,半径 r=2, 解: (1)圆方程可整理为: ( x ? 1) + y = 4 ,圆心坐标为(1,0)

易知弦 AB 的垂直平分线 l 过圆心,且与直线 AB 垂直, 而 k AB = ?

2 3 ,∴ k1 = 3 2 3 ( x ? 1), 2

所以,由点斜式方程可得: y ? 0 = 整理得: 3 x ? 2 y ? 3 = 0

(2)圆心(1,0)到直线 2 x + 3 y + 1 = 0的距离为d =

| 2 +1| 32 + 2 2

=

3 13

,

故 | AB |= 2 × 2 ? (
2

3 13

)2 =

2 559 . 13

18. (本小题满分 10 分) (1)证明:Q PC ⊥ 平面 ABC, BD ? 平面ABC ,

∴ PC ⊥ BD
由 AB=BC,D 为 AC 的中点,得 BD ⊥ AC , 又 PC ∩ AC = C ,∴ BD ⊥ 平面PAC , 又 PA ∩ 平面PAC ,∴ BD ⊥ PA. 由已知 DE ⊥ PA, DE ∩ BD = D,

∴ Ap ⊥ 平面BDE.
(2) (方法一)由 BD ⊥ 平面PAC , DE ? 平面PAC , 得BD ⊥ DE , 由 D、F 分别为 AC、PC 的中点,得 DF//AP, 由已知: DE ⊥ AP,∴ DE ⊥ DF ,

BD ∩ DF = D,∴ DE ⊥ 平面BDF ,
又 DE ? 平面BDE ,∴ 平面BDE ⊥ 平面BDF .
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(方法二)由(1)∴ BD ⊥ 平面PAC , DE , DF ? 平面PAC

∴ BD ⊥ DE , BD ⊥ DF ,
∴ ∠EDF 为二面角 E—BD—F 的平面角
由 D、F 分别为 AC、PC 的中点,得 DF//AP 由已知: DE ⊥ AP,∴ DE ⊥ DF ,

∴ ∠EDF = 90°,∴ 平面BDE ⊥ 平面BDF .
(3)设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1和h2 , 则 h1 : h2 = EP : AP = 2 : 3,



VP ? EBF VE ? PBF = VP ? ABC V A? PBC

1 ? h1 S ?PBF 2 1 3 = = = . 1 3? 2 3 ? h2 S ?PBC 3

故截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成上、下两部分体积的比为 1:2。 19. (本小题满分 10 分) 解答: (1)如图所示:Q A 在 O 的东北方向 20 2km ,B 在 O 的正东方向 10km

∴ A(20,20), B (10,0) 由两点间的距离公式知

AB = (20 ? 10) 2 + (20 ? 0) 2 = 10 5km
(2)设过 O、A、B 三点的圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, 将 O(0,0) A( 20,20), B (10,0) 代入上式得: 、

?F = 0 ? 2 2 ?20 + 20 + 20 D + 20 E + F = 0 ? 2 ?10 + 0 + 10 D + F = 0
解得:D=-10,E=-30,F=0

∴圆的方程为x 2 + y 2 ? 10 x ? 30 y = 0,圆心坐标为(5,15), r = 5 10
设船起初所在的点为 C,则 C ( ?10,?10 3 ) , 且该船航线所在直线的斜率为 1, 由点斜式方程知: l 船 : y + 10 3 = x + 10, 即: x ? y + 10 ? 10 3 = 0

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Q

| 5 ? 15 + 10 ? 10 3 | 12 + 12

=

10 3 2

= 5 6 < 5 10

∴ 有触礁的危险。
20. (本小题满分 10 分) (1)证明:由长方体的性质知:

C1 B1 ⊥ A1 B1 , C1 B1 ⊥ BB1 , A1 B1 ∩ BB1 = B1 , ∴ B1C1 ⊥ 平面A1 B1 B, 又A1 B ? 平面A1 B1 B ∴ B1C1 ⊥ A1 B, 又A1 B ⊥ B1 H , B1C1 ∩ B1 H = B1 , ∴ A1 B ⊥ 平面B1C1 H ,
又 C1 H ? 平面B1C1 H ,

∴ A1 B ⊥ C1 H ,同理A1 H ⊥ BC1 , ∴ H为?A1 BC1 的垂心。
(2)延长 BH 交 A1C1 于 M,连接 B1M, 由(1)知: BM ⊥ A1C1 , 且经过H , 又 A1C1 ⊥ B1 H , B1 H ∩ BM = H ,

∴ A1C1 ⊥ 平面BB1 M ,∴ A1C1 ⊥ B1 M .
在 Rt?BB1 M中, B1 H ⊥ BM ,

∴由?BB1 M ∽ ?B1 HM知 : B1 M 2 = MH ? MB
而 S ?A1B1C1 =

1 1 1 ? A1C 1 ?B1 M , S ?A1HC1 = ? A1C 1 ?MH , S ?A1BC1 = ? A1C 1 ?BM 2 2 2

2 ∴ S ?A1B1C1 = S ?A1HC1 ? S ?A1BC1

(3)由(2)可知: BM ⊥ A1C1 , A1C1 ⊥ B1M

∴ ∠B1 MB为二面角B1 ? A1C1 ? B的平面角. ∴ A1 B1 = B1C1 = 3, BB1 = 4.
在 Rt?BB1 M中, tan ∠B1 MB =

BB1 4 4 2 ? = . B1 M 3 2 3 2
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∴ 二面角B1 ? A1C1 ? B的正切值为

4 2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3

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