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必修5等比数列


等比数列
1.等比数列: 一般地, 如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠ 0),即:an∶an-1=q(q≠0) 注意: (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数 q; (2) an }成等比数列 ? {

a n ?1 =q( n

? N ? ,q≠0. ) an

(3) 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 (4) q=1 时,{ an }为常数数列. (5) .既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 2.等比中项: G 2 ? ab 3.等比数列的通项公式: an ? a1 ? qn ?1 (a1, q均不为 ) 0 (1)叠乘法:由等比数列的定义,有:

a a2 a a ? q ; 3 ? q ; 4 ? q ;?; n ? q a1 a2 a3 a n ?1

所以

a2 a3 a4 a ? ? ? n ? q n ?1 ,即 an ? a1 ? qn?1(a1,q ? 0) a1 a2 a3 an ?1

(2)归纳法:由等比数列的定义,有: a 2 ? a1q ;

a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ;
an ? an ?1q ? a1 ? qn ?1 (a1,q ? 0)
例 1.在等比数列中,

a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ;?

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求an ; (2)若a3 ? 12, a4 ? 18, 求a1. 变式:求出下列等比数列中的未知项:

( ) a, ; 1 2, 8 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . 0 1 2 例2:9是等比数列32 ,2 ,2 ,的第几项 ? 3 3 ...
练习 2.等比数列{ an }中, a1 ? 4 ,公比 q=3,则通项公式 an ? ( A. 3n B. 4n )

4 C. 3? n?1

3 D. 4? n?1


3.在等比数列{ an }中, a2 ? 6, a5 ? 48 ,则 a8 ? 4. 2 ? 3与 2+ 3 的等比中项为

等比数列的前 n 项和

q ?1 ?na1 , ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ?

, q ?1

推导 S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 (1)

qSn ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?1 ? a1q n (2)
(1)-(2)有 (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n

q ?1 ?na1 , ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ?
练习 1 求下列等比数列的各项和: (1)1,3,9,?,2187

, q ?1

(2) 1,?

1 1 1 1 , ,? , ? ,? 2 4 8 512

2、根据下列条件求等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ① a1 ? 2, q ? 2, n ? 8 ② a1 ? 8, q ? 2, a n ? 例 1 求等比数列 1/2,1/4,1/8……的 (1) 前 8 项的和; (2) 第四项到第八项的和 例 2:在等比数列 ?an ? 中, (1)已知 a1 ? ?4, q ? 2, 求 S n (2)已知 a1 ? 1, ak ? 243 q ? 2 求 S k , 练习题
2 1.数列前 n 项和为 Sn ? n ? 3n ,则其通项 an ? ____________。

1 2

2.等差数列 {an } 中, 前 4 项和为 26, 后 4 项之和为 110, 且前 n 项和为 187, n ?
2 2 n?1 3.数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 2 ,?,1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ,? 的前 n 项和是(
n



4.A. 2

n B. 2 ? n

C. 2

n ?1

?n?2

D. n ? 2

n

5.等差数列 {an } 中,已知

S4 ? 2, S8 ? 7 则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值等于 _______

2 n?1 6 求 Sn ? 1 ? 2x ? 3x ??nx

专题由递推公式求通项公式
1. 形如 an ? kan?1 ? b 型 例题:已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式.

练习(1)已知数列 {an } 满足 a n ?

2 a n ?1 ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式. 3

(2)已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? an an?1 , a1 ? 5 ,求该数列的通项公式.

(3)数列 {an } 满足 a n ?1 ?

2a n , a1 ? 4 ,求该数列的通项公式. an ? 3

(4) S n 为数列 {an } 的前 n 项和,且 S n?1 ? 3S n ? n ? 1, S1 ? 1 ,求该数列的通项公式. 提示:将 S n?1 ? 3S n ? n ? 1再递写一项,两式相减即可化成 an ? kan?1 ? b 型.

2. 形如 an ? kan?1 ? f (n) 型. (1)当 f (n )为一次函数时 例题:已知数列 {a n } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1,a1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。

(2)当 f (n )为带有指数的函数时如 xn+1 = qxn +d n (q,d为非零常数, q ? 1, d ? 1) 这类数列可变换成

x n ?1 q x n 1 x ? ? n ? ,令 yn ? n 变成第 1 种情况 n ?1 dn d d d d

例题数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 5n , a1 ? 2 ,求 an .

练习:数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2 n , a1 ? 1 ,求该数列的通项公式. 例题设 x0为常数,且xn ? 3n?1 ? 2xn?1 (n ? N*), 求数列 xn} { 的通项公式. [解析] xn ? p ? 3n ? ?2( xn?1 ? p ? 3n?1 ), 用 xn ? 3n?1 ? 2 xn?1 代入, 设 可解出 p ? ?

1 . 5

{ ∴ xn ?

3n 3 3 2 } 是以公比为-2,首项为 x ? ? 1 ? 2 x0 ? ? ? 2 x0 的等比数列. 1 5 5 5 5

∴ xn ?

3n 2 ? ( ? 2 x0 )(?2) n?1 , 5 5

2 3n 3n ? (?1) n ? 2 n n ?1 ? ? (?1) n ? 2 n ? x0 (n ? N * ) 即 xn ? ( ? 2 x0 )(?2) ? 5 5 5
3 形如 xn?1 ? g (n) xn 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前 n 项积). 当 g (n) 为常数时,用累乘法可求得等比数列的通项公式. 例题:已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

a a a a a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n a n ? n ? n ? 1 ? ? ? 3 ? 2 ? a 1 an a n ?1 a n ? 2 a 2 a1

p 4 形如 xn+1 = cxn (xn ? 0,c ? 0, p ? 0, p ? 1)

这类数列可取对数得 lg xn?1 ? lg xn ? lg c ,从而转化为等差数列型递推数列. 一般处理由递推公式求通项公式的方法和原则就是:1.高次的问题要通过分解因式化成 一次的问题或者就整体配成等差等比数列,如本节开头基础训练的部分;2.多项递推的 问题化成两项递推的问题来处理,如问题 3(3) ;3. S n 与 an 混杂的问题要借助于公式

an ? S n ? S n?1 (n ? 2) 化成纯 S n 和纯 an 的递推关系,再进行构造处理


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