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高一数学任意角的三角函数3


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第三十八课时

任意角的三角函数

一、[学习目标] 1、理解三角函数的定义及三角函数的符号规律 2、理解单位圆中的三角函数线,并能灵活应用三角函数线解决有关问题 3、会用分类讨论思想、方程思想、整体观念解题 二、[题型示例] 例 1、 已知角 ? 的终边上有一点 A ( 4 t , ? 3 t )( t ? 0 ) ,求 2 sin ? ? cos ? 的值 分析: (1)给出角的终边上的坐标,求角的三角函数值利用定义求解 (2)本题中的未知量的符号不确定,故要对其进行分类讨论。 解:根据题意可知: x ? 4 t , y ? ? 3 t , r ? 5 t ,
? 2 ? 5 8t ? 6t 2t ? 所以 2 sin ? ? cos ? = ? ? ?? 5t 5t 5t ?? 2 ? 5 ? t ?0 t?0

例 2、求函数 y ?

sin x sin x

?

co s x co s x

?

tan x tan x

的值域?

分析:三角函数值的符号要看其终边所在的象限,所以要分四个象限讨论: 解:①当 x 在第一象限时, y ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ;②当 x 在第二象限时, y ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ③当 x 在第三象限时, y ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ;④当 x 在第四象限时, y ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 因此函数 y ?
sin x sin x ? co s x co s x ? tan x tan x

的值域为 ? ? 1, 3?
2x 4

例 3、已知角 ? 是第二象限角, ? 的终边上有一点 P ( x , 5 ) ,且 c o s ? ?

,求 x 的值?

分析:根据已知的三角函数值建立方程,但必须注意条件对字母的制约。 解:角 ? 是第二象限角, ? 的终边上有一点 P ( x , 5 ) ,则 x ? 0
co s ? ? x x ?5
2

?

2x 4

,? x ? 0,? 2 ( x ? 5) ? 1 6, x ? 3 ,则 x ? ? 3
2 2

三、[拓展创新] 利用单位圆解下列简单的三角不等式 (1) sin x ?
1 2

(2) 3 tan x ? 3 ? 0

分析:首先作出单位圆,然后根据问题提供的约束条件,利用三角函数线化出角 x 满足的终边范围 解:如图
y y

o

x

o

x

(1) 2 k ? ?

?
3

? x ? 2k? ?

2? 3

,k ? z

(2) k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
2

,k ? z

四、[反思升华] 1、要确定三角函数的符号,首先要确定角的终边所在位置(含字母的一般要讨论)然后再由定义
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判断该三角函数的符号 2、三角函数线是利用数形结合解决三角问题常用工具,在解三角不等式、求定义域、比较大小等 问题时,直观容易懂,方便快捷 五、[学习评价] 1、已知角 ? 的终边经过点 P ( ? 6 a , ? 8 a )( a ? 0) ,则 sin ? ? co s ? 的值为( ) A、
1 5

B、 ?

1 5

C、 ?

7 5

D、 ? C、第一、四象限
y x

1 5

2、若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 在 A、第一、二象限 B、第一、三象限

( ) D、第二、四象限 (
3 3

3、若点 A ( x , y ) 是 3 0 0 0 角终边上一点(除原点) ,则 A、 3 4、已知 sin ? ? B、 ? 3
3 5 , co s ? ? ? 4 5

的值为 D、 ?



C、

3 3

,则角 2? 的终边所在的象限是





A、第二象限 B、第二、三象限 C、第四象限 D、第一、四象限 5、下列命题正确: (1) 终边相同的角的同名三角函数的值相等 (2) 若 sin ? ? 0 ,则 ? 是第一、二象限的角 (3) 终边不同的角的同名三角函数的值不可能相等 (4) 三角函数的值确定,则角的大小就确定 其中正确的命题的个数 ( A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 6、若点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 逆时针方向运动 为 A、 ( ? ,
2 1 3 2 )
2? 3
3 2



弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标

( B、 ( ? , ?
2 1 3 2 )

) D、 ( ?
,? 1 2 )

C、 ( ?

3 1 , ) 2 2

7、式子 tan 125 0 ? sin 273 0 ? cos 305 0 0,填 ( ? , ? ) 8、已知点 P (tan ? , cos ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在第 9、函数 y ? sin x ? ? co s x 的定义域为 10、若 0 ? ? ?
?
2

象限,

,则 ? , sin ? , tan ? 从大到小的次序为

11、已知角 ? 的终边经过在直线 y ? 3 x 上,求 sin ? , cos ? , tan ? 的值?

12、已知角 ? 的顶点在原点, ? 的终边经过点 P ( ? 3 , y ) ,且 sin ? ? 角

2y 4

,求 cos ? 、tan ? 的值?

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13、求下列函数的定义域: (1) y ? 2 co s x ? 1

(2) y ? lg (3 ? 4 sin 2 x )

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