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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. ) 1.设 a,b∈R,若 a﹣|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) 3 3 2 2 A. b﹣a>0 B. a +b <0 C. a ﹣b <0 D. b+a>0

2.若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是( A. 若 a>b,则 ac >bc C. 若 a<b,则 >
2 2

) B. 若 a<b<0,则 a >ab>b D. 若 a>b>0,则 >
2 2 2

3.规定记号“⊙”表示一种运算,定义 a⊙b= 的取值范围为( ) A. ﹣1<k<1 B. 0<k<1
2

+a+b(a,b 为正实数) ,若 1⊙k <3,则 k C. ﹣1<k<0 ) D. 0<k<2

4.不等式 ax ﹣(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为( A. D. B. C.

5.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形 A′B′O′,若 O′B′=1,那么原 △ABO 的面积是( )

A.

B.

C.

D. 2

6.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中: ①BM 与 ED 平行②CN 与 BE 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60°角④DM 与 BN 是异面直线 以上四个命题中,正确的命题序号是( )

A. ①②③

B. ②④

C. ③④

D. ②③④

7.如图,取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥, 把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 α 上. 用 一平行于平面 α 的平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面(图中阴影部分) .设 截面面积分别为 S 圆和 S 圆环,那么( )

A. S 圆>S 圆环

B. S 圆=S 圆环

C. S 圆<S 圆环

D. 不确定

8.已知一个棱锥的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个棱锥的侧面 积是( )

A. 4cm D. 4+4 +2

2

B. 12cm cm
2

2

C. 8+4

cm

2

9.已知 x> ,则函数 y=4x+ A. ﹣3 B. 2

取最小值为(

) D. 7

C. 5

10.若 α、β 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ) ①若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m?α,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

11.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过 直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 L=f(x) ,x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; 以上命题中假命题的序号为( )

A. ①④

B. ②

C. ③

D. ③④
2

12.设函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的增函数,实数 a 使得 f(1﹣ax﹣x )<f(2 ﹣a)对于任意 x∈[0,1]都成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,1) B. [﹣2,0] C. (﹣2﹣2 ,﹣2+2 ) D. [0, 1]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) 13.已知四面体 OABC 各棱长为 1,D 是棱 OA 的中点,则异面直线 BD 与 AC 所成角的余 弦值是 . 14.若正实数 a 使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a 对于任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 . 15.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 AB=AD=2,AA1=3,棱 AD 在平面 α 内,则长方 体在平面 α 内的射影所构成的图形面积的取值范围是 .
2

16.若 x>0,y>0,且

+

=2,则 6x+5y 的最小值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17.已知 A={x|﹣x +3x﹣2>0},B={x|x ﹣(a+1)x+a≤0} (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A?B 时,求实数 a 的取值范围. 18.如图,在水平放置的直径与高相等的圆柱内,放入两个半径相等的小球(球 A 和球 B) , 圆柱的底面直径为 2+ ,向圆柱内注满水,水面刚好淹没小球 B (Ⅰ)求球 A 的体积; (Ⅱ)求圆柱的侧面积与球 B 的表面积之比.

19.如图,边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正三角形 PAD 所在平面互相垂直,M,Q 分别为 PC,AD 的中点, (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)求证:PA∥平面 MBD; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N,使得平面 PCN⊥平面 PQB?若存在,试指出点 N 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

20.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx﹣ (1+k )x (k>0)表
2 2

示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

21.如图所示,在多面体 A1B1D1﹣ABCD,四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD 均为正方形, E 为 B1D1 的中点,过 A1,D,E 的平面交 CD1 于 F (Ⅰ)证明:EF∥B1C; (Ⅱ)求二面角 E﹣A1D﹣B1 的正切值; (Ⅲ)求直线 A1C 与平面 B1CD1 所成角的余弦值.

22.设关于 x 的一元二次方程 ax +x+1=0(a>0)有两个实根 x1,x2. (1)求(1+x1) (1+x2)的值; (2)求证:x1<﹣1,且 x2<﹣1; (3)如果 ,试求 a 的最大值.

2

湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. ) 1.设 a,b∈R,若 a﹣|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) 3 3 2 2 A. b﹣a>0 B. a +b <0 C. a ﹣b <0 D. b+a>0 考点:不等关系与不等式. 专题:压轴题. 分析:由题意可以令 a=1,b=0 分别代入 A,B,C,D 四个选项进行一一排除. 解答: 解:利用赋值法:令 a=1,b=0 b﹣a=﹣1<0,故 A 错误; a +b =1>0,故 B 错误; 2 2 a ﹣b =1>0,故 C 错误; 排除 A,B,C,选 D. 点评:此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项,方法简洁、直观,此题为基础题. 2.若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是( 2 2 A. 若 a>b,则 ac >bc C. 若 a<b,则 > ) 2 2 B. 若 a<b<0,则 a >ab>b D. 若 a>b>0,则 >
3 3

考点:不等式的基本性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析: A.c=0 时不成立; B.利用不等式的基本性质由 a<b<0,可得 a >ab>b ; C.取 a=﹣1,b=﹣2 时,即可判断出; D.由 a>b>0,可得 < . 解答: 解:A.c=0 时不成立; B.∵a<b<0,∴a >ab>b ,正确; C.取 a=﹣1,b=﹣2 时, =﹣1, =﹣ ,则 > 不成立; D.若 a>b>0,则 < ,因此不正确. 故选:B. 点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.
2 2 2 2

3.规定记号“⊙”表示一种运算,定义 a⊙b= 的取值范围为( ) A. ﹣1<k<1 B. 0<k<1 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由于定义 a⊙b=

+a+b(a,b 为正实数) ,若 1⊙k <3,则 k C. ﹣1<k<0 D. 0<k<2

2

+a+b (a, b 为正实数) , 因此 1⊙k <3 化为

2

<3, (|k|+2)

(|k|﹣1)<0,解出即可. 解答: 解:∵定义 a⊙b= 2 1⊙k <3, ∴ <3,

+a+b(a,b 为正实数) ,

化为(|k|+2) (|k|﹣1)<0, ∴|k|<1, ∴﹣1<k<1. 故选:A. 点评:本题考查了“新定义”、一元二次不等式的解法,属于基础题. 4.不等式 ax ﹣(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为( A. D. B. C.
2



考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:根据 a<0,把不等式化为(x﹣ ) (x﹣1)≤0,求出解集即可. 解答: 解:不等式 ax ﹣(a+2)x+2≥0 可化为 (ax﹣2) (x﹣1)≥0, ∵a<0, ∴原不等式可化为 (x﹣ ) (x﹣1)≤0, 解得 ≤x≤1, ∴原不等式的解集为[ ,1]. 故选:A. 点评:吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 5.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形 A′B′O′,若 O′B′=1,那么原 △ABO 的面积是( )
2

A.

B.

C.

D. 2

考点:斜二测法画直观图. 专题:计算题;作图题. 分析:可根据直观图和原图面积之间的关系求解,也可作出原图,直接求面积. 解答: 解:由题意,直观图的面积为 ,

因为直观图和原图面积之间的关系为

,故原△ABO 的面积是

故选 C 点评:本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系, 考查作图能力和 运算能力. 6.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中: ①BM 与 ED 平行②CN 与 BE 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60°角④DM 与 BN 是异面直线 以上四个命题中,正确的命题序号是( )

A. ①②③

B. ②④

C. ③④

D. ②③④

考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据恢复的正方体可以判断出答案. 解答: 解:根据展开图,画出立体图形,

BM 与 ED 垂直,不平行,CN 与 BE 是平行直线,CN 与 BM 成 60°,DM 与 BN 是异面直 线, 故③④正确. 故选:C 点评:本题考查了空间直线的位置关系,属于中档题. 7.如图,取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥, 把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 α 上. 用 一平行于平面 α 的平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面(图中阴影部分) .设 截面面积分别为 S 圆和 S 圆环,那么( )

A. S 圆>S 圆环

B. S 圆=S 圆环

C. S 圆<S 圆环

D. 不确定

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据图形得出,S 截面圆=π(R ﹣d ) ,r=d,S 圆环=π(R ﹣d ) ,即可判断. 解答: 解:根据题意:∵①半球的截面圆:r= ,S 截面圆=π(R ﹣d ) ,
2 2 2 2 2 2

②∵取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底 面圆心为顶点的圆锥, ∴r=d,S 圆环=π(R ﹣d ) , 根据①②得出:S 截面圆=S 圆环,
2 2

故选:B 点评:本题考查了球有关的截面问题,判断图形结构,求出半径即可,属于中档题.

8.已知一个棱锥的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个棱锥的侧面 积是( )

A. 4cm D. 4+4 +2

2

B. 12cm cm
2

2

C. 8+4

cm

2

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知的三视图可得: 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 计算出各个侧面的 面积,相加可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体直观图如下:

其中 PA⊥底面 ABCD, PA=AB=AD=2cm,BC=4cm,底面 ABCD 是以 AB 为直角角的直角梯形, 故 S△PAB=S△PAD= ×2×2=2cm , PB=PD=CD=2 cm,AC=2 cm,PC= ×4=4 cm , = cm,
2 2

cm,

故 PB⊥BC,S△PBC= ×

等腰△PCD 底边 PC 上的高为: 故 S△PCD= × × =2 cm ,
2 2

故棱锥的侧面积 S=2×2+4 +2 =4+4 +2 cm , 故选:D. 点评:本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的形 状. 9.已知 x> ,则函数 y=4x+ 取最小值为( )

A. ﹣3

B. 2

C. 5

D. 7

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x> ,∴4x﹣5>0. 则函数 y=4x+ 等号. ∴函数 y=4x+ 取最小值为 7. =4x﹣5+ +5 +5=7,当且仅当 x= 时取

故选:D. 点评:本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 10.若 α、β 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ) ①若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m?α,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;推理和证明. 分析:利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答. 解答: 解:对于①,若直线 m⊥α,如果 α,β 互相垂直,则在平面 β 内,存在与直线 m 平行的直线.故①错误; 对于②,若直线 m⊥α,则直线 m 垂直于平面 α 内的所有直线,则在平面 β 内,一定存在 无数条直线与直线 m 垂直.故②正确; 对于③,若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故③错误; 对于④,若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故④正确; 故选:C. 点评:本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系;关键是熟练运用定理, 全面考虑. 11.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过 直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 L=f(x) ,x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; 以上命题中假命题的序号为( )

A. ①④

B. ②

C. ③

D. ③④

考点:命题的真假判断与应用. 专题:压轴题;空间位置关系与距离. 分析:①利用面面垂直的判定定理去证明 EF⊥平面 BDD'B'.②四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的, 所以要使面积最小, 则只需 MN 的长度最小即可. ③判断周长的变化情况. ④ 求出四棱锥的体积,进行判断. 解答: 解: ①连结 BD, B'D', 则由正方体的性质可知, EF⊥平面 BDD'B', 所以平面 MENF ⊥平面 BDD'B',所以①正确. ②连结 MN, 因为 EF⊥平面 BDD'B', 所以 EF⊥MN, 四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的, 所以要使面积最小,则只需 MN 的长度最小即可,此时当 M 为棱的中点时,即 x= 时,此 时 MN 长度最小,对应四边形 MENF 的面积最小.所以②正确. ③因为 EF⊥MN, 所以四边形 MENF 是菱形. 当 x∈[0, ]时, EM 的长度由大变小. 当 x∈[ , 1]时,EM 的长度由小变大.所以函数 L=f(x)不单调.所以③错误. ④连结 C'E,C'M,C'N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以 C'EF 为底,以 M,N 分 别为顶点的两个小棱锥.因为三角形 C'EF 的面积是个常数.M,N 到平面 C'EF 的距离是个 常数,所以四棱锥 C'﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数,所以④正确. 所以四个命题中③假命题. 所以选 C.

点评:本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式, 本题巧妙的把 立体几何问题和函数进行的有机的结合,综合性较强,设计巧妙,对学生的解题能力要求较 高. 12.设函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的增函数,实数 a 使得 f(1﹣ax﹣x )<f(2 ﹣a)对于任意 x∈[0,1]都成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,1) B. [﹣2,0] C. (﹣2﹣2 ,﹣2+2 ) D. [0, 1] 考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用. 分析: 解法一:由条件得 1﹣ax﹣x <2﹣a 对于 x∈[0,1]恒成立,令 g(x)=x +ax﹣a+1, 只需 g(x)在[0,1]上的最小值大于 0 即可,分类讨论,求最值即可求出实数 a 的取值范围; 2 2 解法二:由 1﹣ax﹣x <2﹣a,得(1﹣x)a<x +1,对 x 讨论,再分离参数,求最值,即可 求出实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:法一:由条件得 1﹣ax﹣x <2﹣a 对于 x∈[0,1]恒成立 2 令 g(x)=x +ax﹣a+1,只需 g(x)在[0,1]上的最小值大于 0 即可. g(x)=x +ax﹣a+1=(x+ ) ﹣
2 2 2 2 2

﹣a+1.

①当﹣ <0,即 a>0 时,g(x)min=g(0)=1﹣a>0,∴a<1,故 0<a<1; ②当 0≤﹣ ≤1,即﹣2≤a≤0 时,g(x)min=g(﹣ )=﹣ 2+2 ,故﹣2≤a≤0; ﹣a+1>0,∴﹣2﹣2 <a<﹣

③当﹣ >1,即 a<﹣2 时,g(x)min=g(1)=2>0,满足,故 a<﹣2. 综上 a<1. 法二:由 1﹣ax﹣x <2﹣a 得(1﹣x)a<x +1, ∵x∈[0,1],∴1﹣x≥0, ∴①当 x=1 时,0<2 恒成立,此时 a∈R; ②当 x∈[0,1)时,a< 恒成立.
2 2

求当 x∈[0,1)时,函数 y=

的最小值.

令 t=1﹣x(t∈(0,1]) ,则 y=

=

=t+ ﹣2,

而函数 y=t+ ﹣2 是(0,1]上的减函数,所以当且仅当 t=1,即 x=0 时,ymin=1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立,只需 a<1, 由①②得 a<1. 故选:A

点评:本题考查恒成立问题, 考查分离参数法的运用, 利用函数的单调性求出函数的最值是 解决本题的关键.注意要利用分类讨论的数学思想. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) 13.已知四面体 OABC 各棱长为 1,D 是棱 OA 的中点,则异面直线 BD 与 AC 所成角的余 弦值是 .

考点:异面直线及其所成的角. 专题:空间角. 分析:先画出四面体 OABC,取棱 OC 中点 E,连接 DE,BE,可判断∠BDE 便是异面直线 BD 与 AC 所成角,并容易求出 ,这样便可得到 cos∠BDE= .

解答: 解:如图,取 OC 中点 E,连接 DE,BE; ∵D 是棱 OA 的中点; ∴DE∥AC; ∴∠BDE 或其补角为直线 BD,AC 所成角; 则在△BDE 中,BD=BE= ,DE= ;





∴∠BDE 为异面直线 BD,AC 所成角,其余弦值为 故答案为: .



点评:三角形中位线的性质,异面直线所成角的概念及求法,以及直角三角形边角的关系. 14.若正实数 a 使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a 对于任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 0<a≤ .
2

考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式. 2 分析:首先分析题目已知不等式|3x﹣2|+|2x﹣1|≥a 恒成立,求 a 的取值范围,故可以考虑设 y=|2x﹣1|+|3x﹣2|,然后分类讨论去绝对值号,求解出函数 y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值,从 而求出答案. 解答: 解:设 y=|2x﹣1|+|3x﹣2|, 当 ≤x≤ 时,y=2x﹣1﹣(3x﹣2)=﹣x+1≥ 当 x> 时,y=2x﹣1+3x﹣2=5x﹣3> 当 x< 时,y=﹣(2x﹣1)﹣(3x﹣2)=﹣5x+3> , 故 y=|2x﹣1|+|3x﹣2|有最小值 . 不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a 恒成立, 即 a 必小于等于 y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值 , 由 a ≤ ,解得:﹣ ∵a 是正实数, 故答案为: 点评:此题主要考查绝对值不等式的解法问题, 其中涉及到分类讨论去绝对值的思想, 题目 计算量小,涵盖知识点少,属于基础性题目. 15.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 AB=AD=2,AA1=3,棱 AD 在平面 α 内,则长方 体在平面 α 内的射影所构成的图形面积的取值范围是 4≤S≤2 .
2 2 2

≤a≤



考点:平行投影及平行投影作图法. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由题意,四边形 ABCD 和 ADD1A1 的面积分别为 4 和 6,长方体在平面 α 内的射影 可由这两个四边形在平面 α 内的射影组合而成.分别求出最小与最大,即可求出长方体在 平面 α 内的射影所构成的图形面积的取值范围. 解答: 解:由题意,四边形 ABCD 和 ADD1A1 的面积分别为 4 和 6,长方体在平面 α 内 的射影可由这两个四边形在平面 α 内的射影组合而成.显然,Smin=4.

若记平面 ABCD 与平面 α 所成角为 θ,则平面 ADD1A1 与平面 α 所成角为 它们在平面 α 内的射影分别为 4cosθ 和 6cos( 所以,S=4cosθ+6sinθ=2 因此,Smax=2 ﹣θ)=6sinθ,

﹣θ.

sin(θ+φ) (其中,tanφ= ) , ﹣φ 时取到.

,当且仅当 θ=

因此,4≤S≤2 . 故答案为:4≤S≤2 . 点评:本题考查长方体在平面 α 内的射影所构成的图形面积的取值范围,考查三角函数知 识,属于基础题.

16.若 x>0,y>0,且

+

=2,则 6x+5y 的最小值为



考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:6x+5y=

=

=



当且仅当 故答案为:

,a= .

时取等号.

点评:本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17.已知 A={x|﹣x +3x﹣2>0},B={x|x ﹣(a+1)x+a≤0} (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A?B 时,求实数 a 的取值范围. 考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:集合. 分析: (Ⅰ)B 是不等式的解集,解一元二次不等式可得 B,由不等式的解法,容易解得 B; (Ⅱ)通过解不等式求得集合 A,结合限制性条件 A?B 来求 a 的取值范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)由 x ﹣(a+1)x+a≤0 得(x﹣a) (x﹣1)≤0 当 a<1 时,B={a,1} 当 a=1 时,B={1} 当 a>1 时,B={1,a};

(Ⅱ)∵由﹣x +3x﹣2>0 得 x ﹣3x+2<0,即 1<x<2, ∴A={x|1<x<2} 若 A?B 时,由(Ⅰ)知 a>1,且 a≥2, 故实数 a 的取值范围是 a≥2. 点评:本题考查集合间的交、并、补的混合运算,这类题目一般与不等式、方程联系,难度 不大,注意正确求解与分析集合间的关系即可. 18.如图,在水平放置的直径与高相等的圆柱内,放入两个半径相等的小球(球 A 和球 B) , 圆柱的底面直径为 2+ ,向圆柱内注满水,水面刚好淹没小球 B (Ⅰ)求球 A 的体积; (Ⅱ)求圆柱的侧面积与球 B 的表面积之比.

2

2

考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;球的体积和表面积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)设圆柱的半径为 R,小球的半径为 r,且 r<R,利用勾股定理可求出 r 的值, 进而得到球 A 的体积; (Ⅱ)分别求出球的表面积和圆柱的侧面积,可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)设圆柱的半径为 R,小球的半径为 r,且 r<R 2 2 2 2 由圆柱与球的性质知 AB =(2r) =(2R﹣2r) +(2R﹣2r) , 2 2 即 r ﹣4Rr+2R =0, ∵r<R, ∴ ∴球 A 的体积 (Ⅱ)球 B 的表面积 圆柱的侧面积 ∴圆柱的侧面积与球 B 的表面积之比为 . …(6 分) …(6 分)

点评:本题考查的知识点是旋转体,球的体积与表面积公式,圆柱的侧面积公式,其中求出 球的半径 r 是解答的关键. 19.如图,边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正三角形 PAD 所在平面互相垂直,M,Q 分别为 PC,AD 的中点,

(1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)求证:PA∥平面 MBD; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N,使得平面 PCN⊥平面 PQB?若存在,试指出点 N 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)先证明 PQ⊥底面 ABCD,即为底面 ABCD 上的高,进而即可求出其体积; (2)连接底面的对角线交于点 O,再连接 OM,利用三角形的中位线即可证明; (3)由(1)可知:PQ⊥底面 ABCD,因此只要在底面上找到一条直线与 BQ 垂直即可, 由平面几何的知识可知,只要取 AB 的中点 N 即可. 解答: 解: (1)连接 PQ,∵PA=PD=AD=4,AQ=QD,∴PQ⊥AD,PQ= . 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥底面 ABCD. ∴ = .

(2)证明:连接 AC、BD 交于点 O,连接 OM. 则 AO=OC,又 PM=MC, ∴PA∥OM. ∵PA?平面 BMD,OM?平面 BMD, ∴PA∥平面 BMD. 3)存在,N 为 AB 中点. 证明:取 AB 的中点 N,连接 CN 交 BQ 于点 E. 由正方形 ABCD 可知:△ABQ≌△BCN,∴∠ABQ=∠BCN, ∵∠CNB+∠BCN=90°,∴∠ABQ+∠CNB=90°,∴BQ⊥CN. 由(1)可知:PQ⊥平面 ABCD,∴PQ⊥CN. 又 PQ∩QB=Q,∴CN⊥平面 PQB, ∵CN?平面 PCN, ∴平面 PCN⊥平面 PQB.

点评:熟练掌握线面、线面的平行与垂直的判定定理与性质定理即锥体的体积是解题的关 键. 20.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx﹣ (1+k )x (k>0)表
2 2

示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

考点:函数模型的选择与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)求炮的最大射程即求 y=kx﹣ (1+k )x (k>0)与 x 轴的横坐标,求出
2 2

后应用基本不等式求解. (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解. 解答: 解: (1)在 y=kx﹣ (1+k )x (k>0)中,令 y=0,得 kx﹣
2 2

(1+k )x =0.

2

2

由实际意义和题设条件知 x>0,k>0. ∴ ,当且仅当 k=1 时取等号.

∴炮的最大射程是 10 千米. (2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k>0,使 ka﹣ 即关于 k 的方程 a k ﹣20ak+a +64=0 有正根. 由韦达定理满足两根之和大于 0,两根之积大于 0, 2 2 2 故只需△=400a ﹣4a (a +64)≥0 得 a≤6. 此时,k= >0.
2 2 2

(1+k )a =3.2 成立,

2

2

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标. 点评:本题考查函数模型的运用,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 21.如图所示,在多面体 A1B1D1﹣ABCD,四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD 均为正方形, E 为 B1D1 的中点,过 A1,D,E 的平面交 CD1 于 F

(Ⅰ)证明:EF∥B1C; (Ⅱ)求二面角 E﹣A1D﹣B1 的正切值; (Ⅲ)求直线 A1C 与平面 B1CD1 所成角的余弦值.

考点:直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;二面角的平面角及求法. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由线面平行的判定定理证明:B1C∥A1DEF,即可证明 EF∥B1C; (Ⅱ)将多面体 A1B1D1﹣ABCD 补成正方体 A1B1C1D1﹣ABCD,取 B1C 的中点 G,A1D 的中点 H,连接 C1G,GH,C1H,则∠C1HG 是二面角 C1﹣A1D﹣B1 的平面角,即可求二 面角 E﹣A1D﹣B1 的正切值; (Ⅲ)连接 EC,A1C,证明∠A1CE 是直线 A1C 与平面 B1CD1 所成的角,利用余弦定理即 可求直线 A1C 与平面 B1CD1 所成角的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:∵B1C∥A1D,B1C?平面 A1DEF,A1D?平面 A1DEF 由线面平行的判定定理有 B1C∥A1DEF 又过 B1C 的平面 B1CD1 与平面 A1DEF 相交于 EF, 由线面平行的性质定理有 B1C∥EF (Ⅱ)解:将多面体 A1B1D1﹣ABCD 补成正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 如图,并设棱长为 a,∴二面角 E﹣A1D﹣B1 即为 C1﹣A1D﹣B1 取 B1C 的中点 G,A1D 的中点 H,连接 C1G,GH,C1H 可知 C1G⊥平面 A1B1CD,∵GH⊥A1D,∴C1H⊥A1D, 故∠C1HG 是二面角 C1﹣A1D﹣B1 的平面角, 在 RT△C1HG 中, 则二面角 E﹣A1D﹣B1 的正切值为 ,∴ .

(Ⅲ)解:连接 EC,A1C ∵B1D1⊥平面 AA1C1C,∴平面 B1CD1⊥平面 AA1C1C.∴EC 是 A1C 在平面 B1CD1 上的射 影, 故∠A1CE 是直线 A1C 与平面 B1CD1 所成的角, 在△C1AE 中, ,



则直线 A1C 与平面 B1CD1 所成角的余弦值为



点评:本题考查线面平行的判定与性质,考查线面角、二面角,考查学生分析解决问题的能 力,考查学生的计算能力,属于中档题. 22.设关于 x 的一元二次方程 ax +x+1=0(a>0)有两个实根 x1,x2. (1)求(1+x1) (1+x2)的值; (2)求证:x1<﹣1,且 x2<﹣1; (3)如果 ,试求 a 的最大值.
2

考点:根与系数的关系. 专题:计算题. 分析: (1)把(1+x1) (1+x2)展开,再利用根与系数的关系即可得出; (2)令 f(x)=ax +x+1,由
2

,可得抛物线 f(x)的对称轴

.又 f(﹣1)=a>0,可知 f(x)图象与 x 轴的交点都在点(﹣1,0) 的左侧,即可得出. (3)由(1)可得, .于是

.进而得到

,利用二次函数的性质即可得出. 解答: 解: (1)∵关于 x 的一元二次方程 ax +x+1=0(a>0)有两个实根 x1,x2. ∴ ∴ , . .
2

(2)令 f(x)=ax +x+1,由 ∴抛物线 f(x)的对称轴 .

2



又 f(﹣1)=a>0,所以 f(x)的图象与 x 轴的交点都在点(﹣1,0)的左侧, 故 x1<﹣1,且 x2<﹣1. (3)由(1) , .







故当

时,a 取得最大值为 .

点评:熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系等是解题的关键.


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