新课标高三理科数学综合测试题与参考答案(七)

新课程高三年级理科数学综合测试题与参考答案（七）
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1. 若复数
a ? 3i 1 ? 2i ( a ? R , i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为

（

）

A．－2

r />
B．4

C．－6

D．6
? ? 1? ? 4?

2．已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上单调递减，若 a ? f ? ? 1 ? ， b ? f ? lo g 0 .5 则 a , b , c 之间的大小关系是 A． a ? b ? c C． b ? a ? c （ ）

， c ? f ? lg 0 .5 ? ，

B． c ? a ? b D． c ? b ? a ）.

3．如右图，该程序运行后输出的结果为（ A．36 B．56 C．55
2

D．45
2 s ixn c x?s 的 图 象 与 o 1

4. 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 c o s x ?

g ( x ) ? ? 1 的图象在 y 轴的右侧交点按从横坐标由小到大的

顺序记为 D 1 , D 2 , D 3 , ? ，则 D 5 D 7 ＝ A. ? B.
3? 2

( D.
5? 2

)

C. 2 ?

5．某公司新招聘进 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在 同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有 （ ） A．36 种 B．38 种 C．108 种 D．24 种 6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分 别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表： 甲 r m 0.82 106 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103 （ ）

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的线性相关性？ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．已知方程 | x |? ax ? 1 有一负根且无正根，则实数 a 的取值范围是 （ A. a >-1 8．如果椭圆 A.5
x
2

）

B. a=1
? y
2

C. a≥1

D. a≤1 ）

? 1 上一点 P 到它的右焦点是距离 3，那么点 P 到左焦点的距离为： （

16

9

B.1

C.15

D.8
1

二、填空题： （本大题共 7 小题，每小题 5 分，其中 9－12 为必做题，13－15 为选做题，13－15 题 只需选做 2 小题．共 30 分． ） 9．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生 1600 名，抽取一个容 量为 200 的样本.已知女生比男生少抽了 10 人，则该校的女生人数应是 10 ． 若 函 数 f ( x ) ? 是
2

人.

(a ? 2) x ? bx ? (a ? 2) (a , b ? R ) 的 定 义 域 是 R ， 则 3a ? b 的 取 值 范 围

。
2) ? (y ?
2

11．已知点 B（1，0） ，点 O 为坐标原点，点 A 在圆 ( x ? 的夹角 θ 的最大值与最小值分别为 .
2

2)

2

? 1 上，则向量 OA 与 OB

0

12 ． 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) ? f ( x? 2 )?
0 7

2x ?
2

4x ?

2 ,f

(? x

1) f ?

x? (

1)

? 4 ( x ? 2 ).若 f ( t ? 1), ?

1 2

, f ( t ) 成等差数列，则 t 的值为
0 4

。

（选做题，从下面的 3 道题中任选两道题作答，若三题都做,则按前两题计分）
0

13．已知 x , y ? R , 2 x ? y ? 6 ，则 V ? x y 的最大值为
2
4 1

?

．

14．已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? ?y ? t

3t

（t 为参数） ，又半径为 2，经过原点 O 的圆 C，其圆心在第

一象限并且在直线 l 上，若以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆 C 的极坐标方 程为 . 15．如下图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，BD、AC 相交于 O，过 O 的直线分别交 AB、CD 于 E、 F，且 EF//BC，若 AD=12，BC=20，则 EF= .

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 12 分） 在 ? ABC 中， a , b , c 为角 A , B , C 所对的三边，已知 a ? ( b ? c ) ? b c ，
2 2

（1）求角 A （2）若 B C ? 2 3 ，内角 B 等于 x ，周长为 y ，求 y ? f ( x ) 的最大值．

2

17. （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点． （Ⅰ）试确定点 F 的位置，使得 D 1 E ⊥平面 AB1F； （Ⅱ）当 D1E⊥平面 AB1F 时，求二面角 C1―EF―A 的余弦值; （III）求异面直线 D1E 与 BC1 所成的角.

18. （本小题满分 14 分） 为了对 2006 年某市中考成绩进行分析，所有成绩均按百分制进行了折算，在 60 分以上的全体 同学中随机抽出 8 位，他们的数学分数从小到大排是 60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数 从小到大排是 72、77、80、84、88、90、93、95. （I）若规定 85 分（包括 85 分）以上为优秀，求这 8 位同学中恰有 3 倍同学的数学和物理分数 均为优秀的概率； （II）若这 8 位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表： 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 化学分数 z 1 60 72 67 2 65 77 72 3 70 80 76 4 75 84 80 5 80 88 84 6 85 90 87 7 90 93 90 8 95 95 92

①用变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； ②求 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01） ，并用相关指数比较所求回归模型的效 果. （参考数学： x ? 77 . 5 , y ? 85 , z ? 81 , ? ( x i ? x ) ? 1050 , ? ( y i ? y ) ? 456 ,
2 2 i ?1 i ?1
8 8 8 8

8

8

? (z
i ?1

i

? z)

2

? 550 , ? ( x i ? x ) ( y i ? y )
i ?1

2

? 688 , ? ( x i ? x ) ( z i ? z )
i ?1

2

? ? 755 , ? ( y i ? y )
i ?1

2

? 7

? (z
i ?1

8

i

? ? z)

2

? 94 , 1050 ? 32 . 4 ,

456 ? 21 . 4 ,

550 ? 23 . 5 .

3

19． （本小题满分 14 分） 已知大西北某荒漠上 A、B 两点相距 2 千米，现准备在荒漠上围垦出一片以 AB 为一条对角线的平行 四边形区域建成农艺园，按照规定围墙总长 8 千米. (1)试求四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？ (3)该荒漠上一条直线型小溪 L 刚好通过点 A，且 L 与 AB 成 45°角. A B 现要对整条小溪进行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今 后重新设计改造，因此对该部分暂不改造.问暂不改造的部分有多长？

20． （本小题满分 14 分） 设 g ( x ) ? px ?
q x ? 2 f ( x ) ，其中 f ( x ) ? ln x ，且 g ( e ) ? qe ? p e ? 2 . （ e 为自然对数的底数）

（I）求 p 与 q 的关系； （II）若 g ( x ) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； （III）证明： ① f (1 ? x ) ? x , x ? ? 1 ；
ln 2 2
2

②

?

ln 3 3
2

?? ?

ln n n
2

?

2n

2

? n ?1

4 ( n ? 1)

(n ? N , n ? 2) .

21． （本小题满分 14 分） 已知数列 ? a n ? 的首项 a 1 ? 5, 前 n 项和为 S n ，且 S n ? 1 ? 2 S n ? n ? 5 ( n ? N ) 。
*

（I）证明数列 ? a n ? 1? 是等比数列；
2 n （II）令 f ( x ) ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ，求函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处的导数 f ? (1 ) 并比较 2 f ? (1) 与

4

2 3 n ? 1 3 n 的大小.
2

参考答案 一．选择题 DBCA ADCA 二．填空题 9．760 13．8 三．解答题
2 2 2 16．解： （1）由 a ? ( b ? c ) ? b c 得： a ? b ? c ? ? b c

10． [ ? 6 , ? ? )

11．
?
6 )

5? 12

,

?
12

12．2，3

14． ? ? 4 cos( ? ?

15．15

2

2

? c o sA ?

b ?c ?a
2 2

2

?

1 2

2bc

又0 ? A ? ?
AC s in x BC s in A

? A ?

?
3

（2）?

?

，

? AC ?

BC s in

?
3

? s in x ?

2 3 3 2

? s in x ? 4 s in x

同理： A B ?
? 4

BC s in A

? s in C ? 4 s in ( ?) ) 2

2? 3

? x)

2? ? y ? 4 s i nx ? 4 s i n ( ? x 3 ?0? B ? x ? 2? 3

?)

2

3

3 s i n (? x

?
6

3? A ?

?
3

故x ?

?
6

?(

?
6

,

5? 6

? 当x ?

?
6

?

?
2

? x ?

?
3

时， y m a x ? 6 3

17．解： （Ⅰ）连结 A1B，则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A1 上的射影． ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1 于是 D1E⊥平面 AB1F， D1E⊥AF． 连接 DE，则 DE 是 D1E 在 底面 ABCD 内的射影． ∴D1E⊥AF ，DE⊥AF． ∵ABCD 是正方形，E 是 BC 的中点， ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时，DE⊥AF， 即当点 F 是 CD 的中点时，D1E⊥平面 AB1F． （Ⅱ）当 D1E⊥平面 AB1F 时，由（Ⅰ）知点 F 是 CD 的中点． 又已知点 E 是 BC 的中点，连结 EF，则 EF∥BD．连接 AC； 设 AC 与 EF 交于点 H，则 CH⊥EF．连结 C1H，则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影．
5

∴C1H⊥EF，既∠C1HC 上二面角 C1－EF－C 的平面角． 在 Rt△C1CH 中，∵C1C=1，CH=
1 4

，AC=

2 4

．

∴ tan ? C 1 HC ?

C 1C CH

?

1 2 4

? 2

2 ．

∴cos∠C1HC=

1 3 1 3

故二面角 C1－EF－A 的余弦值为

。

（III）连结 BC 1 ，取 A1 D 1 的中点 G，连接 BG ，因为 BE// GD 1 ，BE= GD 1 ， 则 BG//D1E，则直线 BG 与 BC1 所成的角，即为异面直线 D1E 与 BC1 所成的角 在△BC1G 中，由余弦定理得 cos ? GBC
? 2 2

1

，则所求角为 45 ．

?

18．解： （I）这 8 位同学中恰有 3 倍同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的 4 个优秀 分数中选出 3 个与数学优秀分数对应，种数是 C 4 A 3 ( 或 A 4 ） ，然后将剩下的 5 个数学分数和物 理 分 数 任 意 对 应 ， 种 数 是 A5 . 根 据 乘 法 原 理 ， 满 足 条 件 的 种 数 是
C 4 A 3 A 5 .…………………………………………………………………………3 分
3 3 5 3 3 3

5

这 8 位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有 A 8 .…………………4 分 故所求的概率 P ?
C 4 A3 A5 A8
8 3 3 5

8

?

1 14

. ………………………………………………5 分

（II）①变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数分别是
r ? 688 32 . 4 ? 21 . 4 ? 0 . 99 、 r ? ? 755 32 . 4 ? 23 . 5 ? 0 . 99 .

可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.………………7 分
? ? ②设 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程分别是 y ? bx ? a 、 z ? b x ? ? a ?.

根据所给的数据，可以计算出 b

?

688 1050

? 0 . 66 , a ? 85 ? 0 . 66 ? 77 . 5 ? 33 . 85 , b ? ?

755 1050

? 0 . 72 , a ? ? 81 ? 0 . 72 ? 77 . 5 ? 25 . 20 . ……………………………………9 分

所以 y 与 x、z 与 x 的回归方程分别是
? ? y ? 0 . 66 x ? 33 . 85 、 z ? 0 . 75 x ? 25 . 20 . …………………………………10 分

又 y 与 x、z 与 x 的相关指数是 R 2 ? 1 ?

7 456

? 0 . 98 , R ?

2

?1?

94 550

? 0 . 83 . ………11 分

? ? 故回归模型 y ? 0 . 66 x ? 33 . 85 比回归模型 z ? 0 . 75 x ? 25 . 20 . 的拟合的效果好.…………12 分

6

19 解：(1)以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中点为原点， 建立如图直角坐标系，设平行四边形顶点为 P ( x , y ) ， 由题意平行四边形的周长为 8（千米） ，故|PA|+|PB|=4>|AB| ， 依椭圆定义可得 P 的轨迹为椭圆（除去与 x 轴的两个交点） ， 可求得其方程为
x
2

?

y

2

? 1 ( y ? 0 ) ·········5 分 ········

4

3

(2)农艺园的面积 S ? 2 S ? PAB ? | AB | ? y p ? 2 y p ，由于 - 3 ≤ y P ≤ 3 ， 所以当点 P 位于 B1 或 B2 时，农艺园的面积最大且此时
S ? 2 3 (km )···················8 分 ··················
2

y

(3)如图，设直线 L 与椭圆交于两点 C、D， 由题意可知|AB|即为所求。 点 A 的坐标为( － 1, 0 ) ，直线 L 的方程为： y ? x ? 1 ，
? y ? x ?1 ? 2 2 由? x2 ，消去 y ，整理得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 ， y ? ?1 ? 3 ? 4

B1

L CP

A D

O

B

x

设 C ( x1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 ) ，则 x1 ? x 2 ? ? 从而 | C D | ?
1? k
2

8 7

, x1 x 2 ? ?
2

8 7

，
24 7

B2 ，

| x1 ? x 2 |?
24 7

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?

故暂不改造部分的长为

千米。········ ·········14 分
q x ? 2 ln x ，

20．解： （I）由题意知 g ( x ) ? px ? 又 g ( e ) ? qe ? ∴ pe ?
q e p e ? 2 ? qe ? p e 1 e ? 2，

?2， ? 0 ，即 ( p ? q )( e ? 1 e ) ? 0，

∴ ( p ? q )e ? ( p ? q ) 而e ?
1 e

? 0 ，∴ p ? q .

…………………………………………………………3 分
p x ? 2 ln x ，

（II）由（I）知 g ( x ) ? px ?
p x
2

g ?( x ) ? p ?

?

2 x

?

px

2

? 2x ? p x
2

，

令 h ( x ) ? px

2

? 2 x ? p ，要使 g ( x ) 在其定义域 ( 0 , ?? ) 内为单调函数，只需 h ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内

满足： h ( x ) ? 0 或 h ( x ) ? 0 恒成立. ① 当 p ? 0 时， h ( x ) ? ? 2 x ，∵ x ? 0 ，∴ h ( x ) ? 0 ，∴ g ? ( x ) ? ?
2x x
2

? 0，

7

∴ g ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内为单调递减，故 p ? 0 适合题意. ② 当 p ? 0 时， h ( x ) ? px
x ? 1 p
2

………………………….5 分

? 2 x ? p ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为
1 p

? ( 0 , ?? ) ， ∴ h ( x ) min ? p ?

.

只需 p ?

1 p

? 1 ，即 p ? 1 时 h ( x ) ? 0 ， g ? ( x ) ? 0 ，

∴ g ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内为单调递增， 故 p ? 1 适合题意. …………………………………………………7 分
1 p

③当 p ? 0 时，h ( x ) ? px

2

? 2x ? p ， 其图象为开口向下的抛物线， 对称轴为 x ?

? ( 0 , ?? ) .

只需 h ( 0 ) ? 0 ，即 p ? 0 时 h ( x ) ? 0 在 ( 0 , ?? ) 恒成立. 故 p ? 0 适合题意. 综上可得， p ? 1 或 p ? 0 . ……………………………………………………9 分

（III）证明：①即证明 ln( 1 ? x ) ? x ? 0 , ( x ? ? 1) ， 设 k ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? x ， k ? ( x ) ?
? x 1? x

，

∴ x ? ( ? 1, 0 ) 时， k ? ( x ) ? 0 ，∴ k ( x ) 为单调递增函数；
x ? ( 0 , ? ? ) 时， k ? ( x ) ? 0 ，∴ k ( x ) 为单调递减函数；

x ? 0 为 k ( x ) 的极大值点.

∴ k ( x ) ? k ( 0 ) ? 0 , 即 ln( 1 ? x ) ? x ? 0 , ∴ ln( 1 ? x ) ? x . ② 由（I）知 ln( 1 ? x ) ? x ，又 1 ? x ? 0 ， 设 t ? 1 ? x ，则 t ? 0 ， ∴ ln t ? t ? 1 . ∵ n ? N,n ? 2 ，
ln n n
2 2

……………………11 分

∴ ln n ? n ? 1
2 2

∴

?

n

2

?1
2

?1?

1 n
2

，

n

8

∴

ln n n
2

?

1 2

(1 ?

1 n
2

)，

21．解： （Ⅰ）由已知 S n ?1 ? S n ? n ? 5 ( n ? N * ) 可得 n ? 2, S n ? 2 S n ?1 ? n ? 4
S n ? 1 ? S n ? 2 ? S n ? S n ?1 ? ? 1 即 a n ? 1 ? 1 ? 2 ? a n ? 1 ? .

两式相减得：

当 n ? 1 时， S 2 ? 2 S 1 ? 1 ? 5

? a 2 ? a1 ? 2 a1 ? 6 又 a1 ? 5 得 a 2 ? 1 1

从而 a 2 ? 1 ? 2 ? a 1 ? 1 ? ，故总有 a n ?1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) ， n ? N * 又 a 1 ? 5, a 1 ? 1 ? 0 从而
a n ?1 ? 1 an ? 1 ? 2 即数列 ? a n ? 1? 是等比数列；

（

II

）

由

（

I

）

知

an ? 3

n

?2

? ?1

f ( x ) ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x
2

n

n ?1 ? f ?( x ) ? a1 ? 2 a 2 x ? ? ? n a n x

从而 f ? (1) ? a 1 ? 2 a 2 ? ? ? n a n = ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 1 ? ? ? ? n (3 ? 2 n ? 1)
n ?1 = 3 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? - ?1 ? 2 ? ? ? n ? = 3 ? n ? 1 ? ? 2 ?

n ( n ? 1) 2

?6；

2 n ? 2 f ? (1) ? ( 23 n ? 13 n ) ? 1 2 ? n ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? n ? 1 ? ( 2 n ? 1) =12 ( n ? 1) ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? ① ? ?

n

当 n ? 1 时，①式=0 当 n ? 2 时，①式=-12 ? 0

2 ? 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n ；

2 ? 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n ；

n 0 1 n ?1 n 当 n ? 3 时， n ? 1 ? 0 又 2 ? ? 1 ? 1 ? ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ? 2 n ? 2 ? 2 n ? 1 n

?

? n ? 1? ? 2 ?

n

? ? 2 n ? 1 ? ? ? 0 ， 即① ? 0 ， 从而 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n . ?
2

9