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新课标高三理科数学综合测试题与参考答案(七)


新课程高三年级理科数学综合测试题与参考答案(七)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 若复数
a ? 3i 1 ? 2i ( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为





A.-2

r />
B.4

C.-6

D.6
? ? 1? ? 4?

2.已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上单调递减,若 a ? f ? ? 1 ? , b ? f ? lo g 0 .5 则 a , b , c 之间的大小关系是 A. a ? b ? c C. b ? a ? c ( )

, c ? f ? lg 0 .5 ? ,

B. c ? a ? b D. c ? b ? a ).

3.如右图,该程序运行后输出的结果为( A.36 B.56 C.55
2

D.45
2 s ixn c x?s 的 图 象 与 o 1

4. 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 c o s x ?

g ( x ) ? ? 1 的图象在 y 轴的右侧交点按从横坐标由小到大的

顺序记为 D 1 , D 2 , D 3 , ? ,则 D 5 D 7 = A. ? B.
3? 2

( D.
5? 2

)

C. 2 ?

5.某公司新招聘进 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在 同一部分,另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门,则不同的分配方案共有 ( ) A.36 种 B.38 种 C.108 种 D.24 种 6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分 别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 r m 0.82 106 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103 ( )

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的线性相关性? A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.已知方程 | x |? ax ? 1 有一负根且无正根,则实数 a 的取值范围是 ( A. a >-1 8.如果椭圆 A.5
x
2



B. a=1
? y
2

C. a≥1

D. a≤1 )

? 1 上一点 P 到它的右焦点是距离 3,那么点 P 到左焦点的距离为: (

16

9

B.1

C.15

D.8
1

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分,其中 9-12 为必做题,13-15 为选做题,13-15 题 只需选做 2 小题.共 30 分. ) 9.防疫站对学生进行身体健康调查,采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生 1600 名,抽取一个容 量为 200 的样本.已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 10 . 若 函 数 f ( x ) ? 是
2

人.

(a ? 2) x ? bx ? (a ? 2) (a , b ? R ) 的 定 义 域 是 R , 则 3a ? b 的 取 值 范 围


2) ? (y ?
2

11.已知点 B(1,0) ,点 O 为坐标原点,点 A 在圆 ( x ? 的夹角 θ 的最大值与最小值分别为 .
2

2)

2

? 1 上,则向量 OA 与 OB

0

12 . 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) ? f ( x? 2 )?
0 7

2x ?
2

4x ?

2 ,f

(? x

1) f ?

x? (

1)

? 4 ( x ? 2 ).若 f ( t ? 1), ?

1 2

, f ( t ) 成等差数列,则 t 的值为
0 4



(选做题,从下面的 3 道题中任选两道题作答,若三题都做,则按前两题计分)
0

13.已知 x , y ? R , 2 x ? y ? 6 ,则 V ? x y 的最大值为
2
4 1

?



14.已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? ?y ? t

3t

(t 为参数) ,又半径为 2,经过原点 O 的圆 C,其圆心在第

一象限并且在直线 l 上,若以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的极坐标方 程为 . 15.如下图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,BD、AC 相交于 O,过 O 的直线分别交 AB、CD 于 E、 F,且 EF//BC,若 AD=12,BC=20,则 EF= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中, a , b , c 为角 A , B , C 所对的三边,已知 a ? ( b ? c ) ? b c ,
2 2

(1)求角 A (2)若 B C ? 2 3 ,内角 B 等于 x ,周长为 y ,求 y ? f ( x ) 的最大值.

2

17. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点. (Ⅰ)试确定点 F 的位置,使得 D 1 E ⊥平面 AB1F; (Ⅱ)当 D1E⊥平面 AB1F 时,求二面角 C1―EF―A 的余弦值; (III)求异面直线 D1E 与 BC1 所成的角.

18. (本小题满分 14 分) 为了对 2006 年某市中考成绩进行分析,所有成绩均按百分制进行了折算,在 60 分以上的全体 同学中随机抽出 8 位,他们的数学分数从小到大排是 60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数 从小到大排是 72、77、80、84、88、90、93、95. (I)若规定 85 分(包括 85 分)以上为优秀,求这 8 位同学中恰有 3 倍同学的数学和物理分数 均为优秀的概率; (II)若这 8 位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表: 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 化学分数 z 1 60 72 67 2 65 77 72 3 70 80 76 4 75 84 80 5 80 88 84 6 85 90 87 7 90 93 90 8 95 95 92

①用变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度; ②求 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ,并用相关指数比较所求回归模型的效 果. (参考数学: x ? 77 . 5 , y ? 85 , z ? 81 , ? ( x i ? x ) ? 1050 , ? ( y i ? y ) ? 456 ,
2 2 i ?1 i ?1
8 8 8 8

8

8

? (z
i ?1

i

? z)

2

? 550 , ? ( x i ? x ) ( y i ? y )
i ?1

2

? 688 , ? ( x i ? x ) ( z i ? z )
i ?1

2

? ? 755 , ? ( y i ? y )
i ?1

2

? 7

? (z
i ?1

8

i

? ? z)

2

? 94 , 1050 ? 32 . 4 ,

456 ? 21 . 4 ,

550 ? 23 . 5 .

3

19. (本小题满分 14 分) 已知大西北某荒漠上 A、B 两点相距 2 千米,现准备在荒漠上围垦出一片以 AB 为一条对角线的平行 四边形区域建成农艺园,按照规定围墙总长 8 千米. (1)试求四边形另两个顶点的轨迹方程; (2)问农艺园的最大面积能达到多少? (3)该荒漠上一条直线型小溪 L 刚好通过点 A,且 L 与 AB 成 45°角. A B 现要对整条小溪进行改造,但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今 后重新设计改造,因此对该部分暂不改造.问暂不改造的部分有多长?

20. (本小题满分 14 分) 设 g ( x ) ? px ?
q x ? 2 f ( x ) ,其中 f ( x ) ? ln x ,且 g ( e ) ? qe ? p e ? 2 . ( e 为自然对数的底数)

(I)求 p 与 q 的关系; (II)若 g ( x ) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; (III)证明: ① f (1 ? x ) ? x , x ? ? 1 ;
ln 2 2
2



?

ln 3 3
2

?? ?

ln n n
2

?

2n

2

? n ?1

4 ( n ? 1)

(n ? N , n ? 2) .

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 的首项 a 1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ? 2 S n ? n ? 5 ( n ? N ) 。
*

(I)证明数列 ? a n ? 1? 是等比数列;
2 n (II)令 f ( x ) ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ,求函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处的导数 f ? (1 ) 并比较 2 f ? (1) 与

4

2 3 n ? 1 3 n 的大小.
2

参考答案 一.选择题 DBCA ADCA 二.填空题 9.760 13.8 三.解答题
2 2 2 16.解: (1)由 a ? ( b ? c ) ? b c 得: a ? b ? c ? ? b c

10. [ ? 6 , ? ? )

11.
?
6 )

5? 12

,

?
12

12.2,3

14. ? ? 4 cos( ? ?

15.15

2

2

? c o sA ?

b ?c ?a
2 2

2

?

1 2

2bc

又0 ? A ? ?
AC s in x BC s in A

? A ?

?
3

(2)?

?



? AC ?

BC s in

?
3

? s in x ?

2 3 3 2

? s in x ? 4 s in x

同理: A B ?
? 4

BC s in A

? s in C ? 4 s in ( ?) ) 2

2? 3

? x)

2? ? y ? 4 s i nx ? 4 s i n ( ? x 3 ?0? B ? x ? 2? 3

?)

2

3

3 s i n (? x

?
6

3? A ?

?
3

故x ?

?
6

?(

?
6

,

5? 6

? 当x ?

?
6

?

?
2

? x ?

?
3

时, y m a x ? 6 3

17.解: (Ⅰ)连结 A1B,则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A1 上的射影. ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1 于是 D1E⊥平面 AB1F, D1E⊥AF. 连接 DE,则 DE 是 D1E 在 底面 ABCD 内的射影. ∴D1E⊥AF ,DE⊥AF. ∵ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点, ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF, 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F. (Ⅱ)当 D1E⊥平面 AB1F 时,由(Ⅰ)知点 F 是 CD 的中点. 又已知点 E 是 BC 的中点,连结 EF,则 EF∥BD.连接 AC; 设 AC 与 EF 交于点 H,则 CH⊥EF.连结 C1H,则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影.
5

∴C1H⊥EF,既∠C1HC 上二面角 C1-EF-C 的平面角. 在 Rt△C1CH 中,∵C1C=1,CH=
1 4

,AC=

2 4



∴ tan ? C 1 HC ?

C 1C CH

?

1 2 4

? 2

2 .

∴cos∠C1HC=

1 3 1 3

故二面角 C1-EF-A 的余弦值为



(III)连结 BC 1 ,取 A1 D 1 的中点 G,连接 BG ,因为 BE// GD 1 ,BE= GD 1 , 则 BG//D1E,则直线 BG 与 BC1 所成的角,即为异面直线 D1E 与 BC1 所成的角 在△BC1G 中,由余弦定理得 cos ? GBC
? 2 2

1

,则所求角为 45 .

?

18.解: (I)这 8 位同学中恰有 3 倍同学的数学和物理分数均为优秀,则需要先从物理的 4 个优秀 分数中选出 3 个与数学优秀分数对应,种数是 C 4 A 3 ( 或 A 4 ) ,然后将剩下的 5 个数学分数和物 理 分 数 任 意 对 应 , 种 数 是 A5 . 根 据 乘 法 原 理 , 满 足 条 件 的 种 数 是
C 4 A 3 A 5 .…………………………………………………………………………3 分
3 3 5 3 3 3

5

这 8 位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有 A 8 .…………………4 分 故所求的概率 P ?
C 4 A3 A5 A8
8 3 3 5

8

?

1 14

. ………………………………………………5 分

(II)①变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数分别是
r ? 688 32 . 4 ? 21 . 4 ? 0 . 99 、 r ? ? 755 32 . 4 ? 23 . 5 ? 0 . 99 .

可以看出,物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.………………7 分
? ? ②设 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程分别是 y ? bx ? a 、 z ? b x ? ? a ?.

根据所给的数据,可以计算出 b

?

688 1050

? 0 . 66 , a ? 85 ? 0 . 66 ? 77 . 5 ? 33 . 85 , b ? ?

755 1050

? 0 . 72 , a ? ? 81 ? 0 . 72 ? 77 . 5 ? 25 . 20 . ……………………………………9 分

所以 y 与 x、z 与 x 的回归方程分别是
? ? y ? 0 . 66 x ? 33 . 85 、 z ? 0 . 75 x ? 25 . 20 . …………………………………10 分

又 y 与 x、z 与 x 的相关指数是 R 2 ? 1 ?

7 456

? 0 . 98 , R ?

2

?1?

94 550

? 0 . 83 . ………11 分

? ? 故回归模型 y ? 0 . 66 x ? 33 . 85 比回归模型 z ? 0 . 75 x ? 25 . 20 . 的拟合的效果好.…………12 分

6

19 解:(1)以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点, 建立如图直角坐标系,设平行四边形顶点为 P ( x , y ) , 由题意平行四边形的周长为 8(千米) ,故|PA|+|PB|=4>|AB| , 依椭圆定义可得 P 的轨迹为椭圆(除去与 x 轴的两个交点) , 可求得其方程为
x
2

?

y

2

? 1 ( y ? 0 ) ·········5 分 ········

4

3

(2)农艺园的面积 S ? 2 S ? PAB ? | AB | ? y p ? 2 y p ,由于 - 3 ≤ y P ≤ 3 , 所以当点 P 位于 B1 或 B2 时,农艺园的面积最大且此时
S ? 2 3 (km )···················8 分 ··················
2

y

(3)如图,设直线 L 与椭圆交于两点 C、D, 由题意可知|AB|即为所求。 点 A 的坐标为( - 1, 0 ) ,直线 L 的方程为: y ? x ? 1 ,
? y ? x ?1 ? 2 2 由? x2 ,消去 y ,整理得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 , y ? ?1 ? 3 ? 4

B1

L CP

A D

O

B

x

设 C ( x1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 从而 | C D | ?
1? k
2

8 7

, x1 x 2 ? ?
2

8 7


24 7

B2 ,

| x1 ? x 2 |?
24 7

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?

故暂不改造部分的长为

千米。········ ·········14 分
q x ? 2 ln x ,

20.解: (I)由题意知 g ( x ) ? px ? 又 g ( e ) ? qe ? ∴ pe ?
q e p e ? 2 ? qe ? p e 1 e ? 2,

?2, ? 0 ,即 ( p ? q )( e ? 1 e ) ? 0,

∴ ( p ? q )e ? ( p ? q ) 而e ?
1 e

? 0 ,∴ p ? q .

…………………………………………………………3 分
p x ? 2 ln x ,

(II)由(I)知 g ( x ) ? px ?
p x
2

g ?( x ) ? p ?

?

2 x

?

px

2

? 2x ? p x
2



令 h ( x ) ? px

2

? 2 x ? p ,要使 g ( x ) 在其定义域 ( 0 , ?? ) 内为单调函数,只需 h ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内

满足: h ( x ) ? 0 或 h ( x ) ? 0 恒成立. ① 当 p ? 0 时, h ( x ) ? ? 2 x ,∵ x ? 0 ,∴ h ( x ) ? 0 ,∴ g ? ( x ) ? ?
2x x
2

? 0,

7

∴ g ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内为单调递减,故 p ? 0 适合题意. ② 当 p ? 0 时, h ( x ) ? px
x ? 1 p
2

………………………….5 分

? 2 x ? p ,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为
1 p

? ( 0 , ?? ) , ∴ h ( x ) min ? p ?

.

只需 p ?

1 p

? 1 ,即 p ? 1 时 h ( x ) ? 0 , g ? ( x ) ? 0 ,

∴ g ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内为单调递增, 故 p ? 1 适合题意. …………………………………………………7 分
1 p

③当 p ? 0 时,h ( x ) ? px

2

? 2x ? p , 其图象为开口向下的抛物线, 对称轴为 x ?

? ( 0 , ?? ) .

只需 h ( 0 ) ? 0 ,即 p ? 0 时 h ( x ) ? 0 在 ( 0 , ?? ) 恒成立. 故 p ? 0 适合题意. 综上可得, p ? 1 或 p ? 0 . ……………………………………………………9 分

(III)证明:①即证明 ln( 1 ? x ) ? x ? 0 , ( x ? ? 1) , 设 k ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? x , k ? ( x ) ?
? x 1? x



∴ x ? ( ? 1, 0 ) 时, k ? ( x ) ? 0 ,∴ k ( x ) 为单调递增函数;
x ? ( 0 , ? ? ) 时, k ? ( x ) ? 0 ,∴ k ( x ) 为单调递减函数;

x ? 0 为 k ( x ) 的极大值点.

∴ k ( x ) ? k ( 0 ) ? 0 , 即 ln( 1 ? x ) ? x ? 0 , ∴ ln( 1 ? x ) ? x . ② 由(I)知 ln( 1 ? x ) ? x ,又 1 ? x ? 0 , 设 t ? 1 ? x ,则 t ? 0 , ∴ ln t ? t ? 1 . ∵ n ? N,n ? 2 ,
ln n n
2 2

……………………11 分

∴ ln n ? n ? 1
2 2



?

n

2

?1
2

?1?

1 n
2



n

8



ln n n
2

?

1 2

(1 ?

1 n
2

),

21.解: (Ⅰ)由已知 S n ?1 ? S n ? n ? 5 ( n ? N * ) 可得 n ? 2, S n ? 2 S n ?1 ? n ? 4
S n ? 1 ? S n ? 2 ? S n ? S n ?1 ? ? 1 即 a n ? 1 ? 1 ? 2 ? a n ? 1 ? .

两式相减得:

当 n ? 1 时, S 2 ? 2 S 1 ? 1 ? 5

? a 2 ? a1 ? 2 a1 ? 6 又 a1 ? 5 得 a 2 ? 1 1

从而 a 2 ? 1 ? 2 ? a 1 ? 1 ? ,故总有 a n ?1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) , n ? N * 又 a 1 ? 5, a 1 ? 1 ? 0 从而
a n ?1 ? 1 an ? 1 ? 2 即数列 ? a n ? 1? 是等比数列;



II







I





an ? 3

n

?2

? ?1

f ( x ) ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x
2

n

n ?1 ? f ?( x ) ? a1 ? 2 a 2 x ? ? ? n a n x

从而 f ? (1) ? a 1 ? 2 a 2 ? ? ? n a n = ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 1 ? ? ? ? n (3 ? 2 n ? 1)
n ?1 = 3 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? - ?1 ? 2 ? ? ? n ? = 3 ? n ? 1 ? ? 2 ?

n ( n ? 1) 2

?6;

2 n ? 2 f ? (1) ? ( 23 n ? 13 n ) ? 1 2 ? n ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? n ? 1 ? ( 2 n ? 1) =12 ( n ? 1) ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? ① ? ?

n

当 n ? 1 时,①式=0 当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0

2 ? 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n ;

2 ? 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n ;

n 0 1 n ?1 n 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又 2 ? ? 1 ? 1 ? ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ? 2 n ? 2 ? 2 n ? 1 n

?

? n ? 1? ? 2 ?

n

? ? 2 n ? 1 ? ? ? 0 , 即① ? 0 , 从而 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n . ?
2

9


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