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2014年高一13数学优质课比赛课件:直线的倾斜角与斜率


用什么量来刻画直线 的倾斜程度?
y

l3

l2

?3 ?2 Q
O
P

l1
x

?1

直线的倾斜角 定义:当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作 为基准,x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角α 叫

做直线 l 的倾斜角.
y

直线倾斜角的范围?

a

? 0 ,180 ?

?
o

? ? 0?
α2 x

y

l
x O

y

l
x

O

l
O

y x O

? ? 0?
y

l
x

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

高 量

升高量 坡度(比) ? 前进量

?
A

C 升 高 量 升 前进量 B

3 2 陡一些,因为坡度(比) ? . 2 2

例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更

升高量 坡度(比)? 前进量

升 高

?

tan a

前进

1、直线斜率的定义:
我们把一条直线的倾斜角

a 的正切值叫做这

条直线的斜率
用小写字母 k 表示,即:

k ? tan a
π π ? ? [0, ) ? ( , π) 2 2

例如: 3 ? ? a ? 30 ? k ? tan30 ? 3

a ? 45 ? k ? tan45 ? 1
?

?

180 ? 60 ) ? ? tan60 ? ? 3 a ? 120 ? k ? tan(
?
。 ? ?

a?0

k? tan?
? ? [0, ) ? ( , π)
?
π 2 π 2

k

k ? (??,??)

π 2

O

π 2

π

3? 2

a

a?0
π 0?a? 2
π ?a?π 2

k ?0
k ?0

k?0

π k不存在 ? a? 时 , k 2

判断正误: ①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 ②直线的斜率的范围是(??,??)

tan ?

( (

) )

③任一条直线都有倾斜角,所以任一条直线都有 斜率. ( ④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ⑤两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等 ⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( ( (


) ) )

2 探究:由两点确定的直线的斜率 k ? tan ?

锐角
y
y2
P2 ( x2 , y2 )

能不能构造 一个直角三 如图,当α为锐角时, 角形去求?

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,
且x1 ? x2 , y1 ? y2

Q( x2 , y1 )

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

两点的斜率公式

?

y1 ? y2 . tan? ? tan( 180? ? ? ) ? ? tan? .
在直角△
P 1P 2Q

? ? ? 180 ? ?QP1 P2 , x1 ? x2 , ? 当 为钝角时,



| QP y2 ? y1 y2 ? y1 2 | t an? ? ? ?? , |P x1 ? x2 x2 ? x1 1Q |

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

两点的斜率公式

P1,P2的位置换一下会怎样?
同样,当 P2 P1 的方向向上时,也有

y2 ? y1 k ? tan a ? . x2 ? x1

当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗?
y P ( x , y ) 1 1 1 o
P2 ( x2 , y2 )

l x

y2 ? y1 k? ?0 x2 ? x1

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y1

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:斜率不存在, 因为分母为0。

o

x

3.斜率公式 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

公式的特点:
(1) 与两点的顺序无关;

(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900

Y

p

?
O

.
(1)

00 ? ? ? 900 Y

K>0

p

. .

900 ? ? ? 1800

?

K<0

X

O (2)

X

Y

p

.

K不存在 Y

K=0

p

? ? 90
X

o

??0
X

o

O

O

(3)

(4)

4

k?

例1 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角. 解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 kBC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.

y 2 ? y1 x 2 ? x1

练习1
已知直线 l 经过三点 p1 (3,5), p2 ( x,7), p3 (?1, y),若直线 l
的斜率为 k ? 2, 求.x, y.的值.
?7 ? 5 ? 2, ? ?x ?3 解:由斜率公式得 ? ? y ? 5 ? 2. ? ??1? 3

? x ? 4. 所以? ? y ? ?3.

例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分 别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4. 解:取 l1上某一点为 A1 的 y
l3

坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 有: y1 ? 0 1? , x1 ? 0
即 x1 ? y1 .

A3

l1

A1

A2

x
l2

l4 A4

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l2是过原点及 A2 (1,?1) 的直线,l3 是过原点及 A3 ( 1 , 2 )的直线, l4 是过原点及 A4 (1,?3) 的直线.

1.直线的倾斜角的定义

2.直线的斜率的定义

3.两点间斜率公式

P.89习题3.1 A组 1,2,3,4,

动动脑
设任意两直线 l1 , l 2的斜率分别为 k1 , k 2

l1 ? l 2



k1 ? k 2 ? ?1


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