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2016高考数学二轮复习 专题1 集合与常用逻辑用语 第四讲 导数及其应用 文


第四讲

导数及其应用

导数的应用涉及的知识点多,综合性强,要么直接求极值或最值,要么利用极值或最值 求参数的取值范围,常与函数的单调性、方程的零点、不等式及实际问题形成知识的交汇问 题,难度较大. 预测 2016 年的高考,可能出求导法则、切线问题的小题,还有压轴的综合题.

导数的概念及运算 1.导数的定义. (1)f(x)在 x=x0 处的导数为:

(2)f(x)在定义域内的导数(导函数)

2.导数的几何意义. 函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是:曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数). 基本初等函数的导数 1.基本初等函数的导数公式.

函数 ①f(x)=C(C 为常数)

导数

f′(x)=0

(续上表)

1

②f(x)=x (n∈N ) ③f(x)=sin x ④f(x)=cos x ⑤f(x)=a (a>0,且 a≠1) ⑥f(x)=e
x x

n

*

f′(x)=nxn-1 f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex f′(x)= xln a f′(x)= x
1 1

⑦f(x)=logax(a>0,且 a≠1) ⑧f(x)=ln x 2.导数的四则运算法则. (1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);

(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)·v(x)+u(x)·v′(x); (3)?

?u(x)?′=u′(x)·v(x)-u(x)·v′(x)(v(x)≠0). ? v2(x) ?v(x)?

3.复合函数求导. 复合函数 y=f(g(x))的导数和 y=f(u), u=g(x)的导数之间的关系为 yx′=yu′· ux′. 导数的应用 1.函数的单调性与导数的关系. 一般地,在某个区间(a,b)内: (1)如果 f′(x)>0? 函数 f(x)在这个区间内单调递增; (2)如果_f′(x)<0? 函数 f(x)在这个区间内单调递减; (3)如果 f′(x)=0? 函数 f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数的关系. 一般地,对于函数 y=f(x): (1)若在点 x=a 处有 f′(a)=0, 且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 则称 x=a 为 f(x)的极小值点,f(a)叫函数 f(x)的极小值. (2)若在点 x=b 处有 f′(b)=0, 且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 则称 x=b 为 f(x)的极大值点,f(b)叫函数 f(x)的极大值. 3.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 定积分与微积分基本定理 1.定积分的概念:

2

n b a

f(x)dx=

∑ i=1

b-a f(ξ i). n

2.定积分的几何意义. 函数 y=f(x)[f(x)>0]在区间[a,b]内的定积分的几何意义是 f(x)的图象,x 轴,x=

a,x=b 所围成的曲边梯形的面积.如图所示,则函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象围成的封
闭图形的面积为 .

3.定积分的性质.

4.微积分基本定理(牛顿莱布尼兹公式). 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么?af(x)dx=
b

F(x)|b a=F(b)-F(a).

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(×) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×) (4)若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f′(x)>0.(×) (5)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (6)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件.(√)

3

1.

π 2 0(sin x+acos x)dx=2,则实数 a 等于(B) D.- 3
x

A.-1 B.1 C. 3

2.(2015·新课标Ⅰ卷)设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整 数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是(D)

? 3 ? A.?- ,1? ? 2e ?
C.?

? 3 3? B.?- , ? ? 2e 4?

? 3 ,3? D.? 3 ,1? ? ?2e ? ?2e 4? ? ?

解析:∵ f(0) =-1 +a< 0,∴ x0= 0.又∵ x0=0 是唯一的使 f(x)<0 的整数,∴
? ?f(-1)≥0, ? ?f(1)≥0, ? ?e [2×(-1)-1]+a+a≥0, ? 3 3 即? 解得 a≥ .又∵ a<1,∴ ≤a<1,经检验 a= 2e 2e ?e(2×1-1)-a+a≥0, ?
-1

3 符合题意.故选 D. 4 3.(2015·天津卷)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为

f(x)的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为 3.
1? ? 解析:f′(x)=a?lnx+x· ?=a(1+ln x).

?

x?

由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3. 4.若 f′(x0)=2,则 5. 求下列函数的导数: (1)y=(2x -1)(3x+1); (2)y=x sin x. 答案:(1)y′=18x +4x-3 (2)y′=2xsin x+x cos x
2 2 2 2

f(x0-k)-f(x0) =-1. 2k

4


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