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文科数学 圆锥曲线专题练习


高考文科数学圆锥曲线专题练习
一、选择题 1 . 2013 年高考福建卷(文) 双曲线 x ( )
2

? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于
C.1 D. 2





A.

1 2

B.

2 2

【答案】B 2 . (2013 年高考广东卷(文) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于 )

1 ,则 C 的方程是 2
( )

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

【答案】D

x2 y 2 3 . (2013 年高考四川卷 (文) 从椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F , A ) 1 a b
是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB / / OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的 离心率是 A. ( B. )

2 4

1 2
2=

C.

2 2

D.

3 2

【答案】C 4 (2013 年高考课标Ⅱ卷 . (文)设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B 两点.若|AF|=3|BF|, )

则 L 的方程为 A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (X-1)或 y=(x-1)





C.y=

(x-1)或 y=-

(x-1)

D.y= (x-1)或 y=- (x-1)

【答案】C 5 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y ? 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 )
2

| PF |? 4 2 ,则 ?POF 的面积为
A. 2
【答案】C 6 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 已知双曲线 C : )

( C. 2 3 D. 4



B. 2 2

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方 2 a b 2
( )

程为

A. y ? ?
【答案】C

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3
2

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

7 . (2013 年高考四川卷(文) 抛物线 y )

? 8x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是
C. 3 D. 1





A. 2 3
【答案】D

B. 2

8 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 设椭圆 C : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点 a 2 b2
( )

PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为

A.
【答案】D 9 . ( 2013

B.

C.

D.

























F1 ? ?1

?

,

, ? F0? 是椭圆 2

且 则 的两个焦点 过 0 且垂直于 轴的直线交于 ,A、B两点, AB ? 3, 1 C , F x 2 ( )

C 的方程为
A.

x2 ? y2 ? 1 2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

【答案】C 10. (2013 年高考大纲卷(文) 已知抛物线 C : y )
2

? 8x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交
( )

于 A, B 两点,若 MA? MB ? 0 ,则 k ?

???? ????

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

【答案】D 11. (2013 年高考北京卷(文) 双曲线 x )
2

?

y2 ? 1 的离心率大于 2 的充分必要条件是 m
C. m ? 1 D. m ? 2





A. m ?

1 2

B. m ? 1

【答案】C 12.(2013 年高考安徽(文) 直线 x ? 2 y ? 5 ? . )

5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 (
D. 4 6
2



A.1
【答案】C

B.2

C.4

13. (2013 年高考江西卷(文) 已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与 )

其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|=





A.2:
【答案】C

B.1:2

C.1:

D.1:3

1 2 x2 14. (2013 年高考山东卷(文) 抛物线 C1 : y ? ) x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连 2p 3
线交 C1 于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p = ( )

A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3
x 4
2 2

D.

4 3 3

【答案】D 15. (2013 年高考浙江卷(文) 如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 )





A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是

(第 9 题图)

( 3 C. 2 6 2



A. 2
【答案】 二、填空题

B. 3 D.

D.

16. (2013 年高考北京卷(文) 若抛物线 y ) 【答案】2, x ? ?1 17. (2013 年高考陕西卷(文) 双曲线 ) 【答案】

2

? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =____;准线方程为_____.

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

5 4

x2 y 2 ? ? 1的左焦点, P, Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于 18. (2013 年高考辽宁卷(文) 已知 F 为双曲线 C : ) 9 16
虚轴长的 2 倍,点 A?5,0? 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为____________.
【答案】44 19 . 2013 年 上 海 高 考 数 学 试 题 ( 文 科 ) 设 AB 是 椭 圆 ( )

? 的 长 轴 , 点 C 在 ? 上 , 且 ?CBA ?

π .若 4

AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为_______.

【答案】

4 6 3

20. (2013 年高考湖南(文) 设 F1,F2 是双曲线 C, )

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 P. a 2 b2

使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为____ 3 ? 1 _______.
【答案】

3 ?1

21. (2013 年高考福建卷(文) 椭圆 ? : )

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c .若直 a2 b2

线y?3(x?c)与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________
【答案】

3 ?1
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且双 a 2 b2

22. (2013 年高考天津卷(文) 已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线 )

曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为______.
【答案】 x 三、解答题 23. (2013 年高考浙江卷(文) 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1) )
2

?

y2 ?1 3

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A.B 两点.若直线 AO.BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M.N 两点, 求|MN|的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为: x

2

? 2 py ( p ? 0) ,且

p ? 1 ? p ? 2 ,所以抛物线方 2

程是:

x2 ? 4 y ;

x2 x2 (Ⅱ)设 A( x1 , 1 ), B( x2 , 2 ) ,所以 k AO 4 4
x ? 8 ?y ? 1 x 由? 4 ? xM ? 4 ? x1 ?y ? x ? 2 ?
所以 | MN

?

x1 x x , kBO ? 2 , 所以 AO 的方程是: y ? 1 x , 4 4 4

x ? 8 ?y ? 2 x ,同理由 ? 4 ? xN ? 4 ? x2 ?y ? x ? 2 ?
x1 ? x2 8 8 ? |? 8 2 | |① 4 ? x1 4 ? x2 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2

|? 1 ? 12 | xM ? xN |? 2 |

设 AB : y ? kx ? 1 ,由 ? 且 | x1

? y ? kx ? 1 2 ? x ? x2 ? 4k ? , ? x ? 4kx ? 4 ? 0? ? 1 2 ?x ? 4 y ? x1 x2 ? ?4 ?

? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 4 k 2 ? 1 ,代入①得到:

4 k2 ?1 k2 ?1 , | MN |? 8 2 | |? 8 2 16 ? 16k ? 4 | 4k ? 3|
设 4k

? 3 ? t ? 0? k ?
? 0时

3?t , 4

① 当t

25 ? t 2 ? 6t 25 6 | MN |? 8 2 ? 2 2 1 ? 2 ? ? 2 2 ,所以此时 | MN | 的最小值是 2 2 ; 4t t t ② 当 t ? 0 时,
25 ? t 2 ? 6t 25 6 5 3 16 4 8 2 | MN |? 8 2 ? 2 2 1 ? 2 ? ? 2 2 ( ? )2 ? ?2 2? ? 4t t t 5 25 5 5 t
,所以此时 | MN | 的最小值是

8 2 5 8 2 5

,此时 t

??

25 4 ,k ? ? ; 3 3

综上所述: | MN | 的最小值是

;

24. (2013 年高考山东卷(文) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长 )

为 2,离心率为

2 2

(I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P, 4

设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.
【答案】

??? ?

??? ?

将 x ? m 代入椭圆方程 x ?
2

y2 ? 1,得 2

25. (2013 年高考广东卷(文) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F )

?0, c??c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的

距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2

(1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

【答案】(1)依题意 d

?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) ? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ; 2
1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

(2)设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) , 即 y ? 1 x ? y1 ? x12 . 2 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2
x x0 ? y . 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x 0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y 2 2 2 2 2 联立 ? ,消去 x 得 y ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 ? 0 , ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2 2 2 ? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0

2

1 9 ? 当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
26. (2013 年上海高考数学试题(文科) 本题共有 3 个小题.第 1 小题 )

满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 如图,已知双曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 2

是平面内一点,若存在过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点 ,则称 P 为“ C1 ? C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线 的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“ C1 ? C2 型点; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点”. 2

【答案】

27. (2013 年高考福建卷(文) 如图,在抛物线 E : )

y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点为 A .点 C 在抛

物线 E 上,以 C 为圆心 OC 为半径作圆,设圆 C 与准线 l 的交于不同的两点 M , N . (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (2)若 AF
2

? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

【答案】解:(Ⅰ)抛物线 y ? 4 x 的准线 l 的方程为 x ? ?1 , 由点 C 的纵坐标为 2 ,得点 C 的坐标为 (1, 2)
2

所以点 C 到准线 l 的距离 d ? 2 ,又 | CO |? 5 . 所以 | MN |? 2 | CO |2 ? d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2 .
2 y0 y2 y4 y2 2 , y0 ) ,则圆 C 的方程为 ( x ? 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 0 ? y0 , 即 x 2 ? 0 x ? y 2 ? 2 y0 y ? 0 . 4 4 16 2 2 y 由 x ? ?1 ,得 y 2 ? 2 y0 y ? 1 ? 0 ? 0 2

(Ⅱ)设 C (

? y2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(1 ? 0 ) ? 2 y0 ? 4 ? 0 ? ? 2 设 M (?1, y1 ) , N (?1, y2 ) ,则: ? 2 ? y y ? y0 ? 1 ? 1 2 2 ?
由 | AF |2 ?| AM | ? | AN | ,得 | y1 y2 |? 4
2 y0 ? 1 ? 4 ,解得 y0 ? ? 6 ,此时 ? ? 0 2 3 3 所以圆心 C 的坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6) 2 2 33 33 33 从而 | CO |2 ? , | CO |? ,即圆 C 的半径为 4 2 2

所以

28. (2013 年高考北京卷(文) 直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W : )

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , C 两点, O 是坐标原点 4

(1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.
【答案】解:(I)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.

所以可设 A(t , ) ,代入椭圆方程得

1 2

t2 1 ? ? 1 ,即 t ? ? 3 . 所以|AC|= 2 3 . 4 4

(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k ? 0 .

? x2 ? 4 y2 ? 4 由? ,消去 y 并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 . ? y ? kx ? m

x1 ? x2 y ? y2 x ?x 4km m ?? ?k? 1 2 ?m? , 1 . 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 4 km m 所以 AC 的中点为 M( ? , ). 2 1 ? 4 k 1 ? 4k 2 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m ? 0 , k ? 0 ,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k 1 ) ? ?1 ,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形, 与假设矛盾. 因为 k ? ( ? 4k
设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 所以当点 B 不是 W 的顶点 时,四边形 OABC 不可能是菱形.

29. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 已知圆 M )

: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并

且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长是,求 | AB | .

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第 一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.
【答案】解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r 1

? 1 ;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2 ? 3 .

设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以

PM ? PN ? (R ? r1 ) ? (r2 ? R) ? r1 ? r2 ? 4 .
有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左定点除外),其

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) 方程为 4 . 3
对于曲线 C 上任意一点 P( x, y) ,由于 PM ? PN ? 2R ? 2 ? 2 ,所以 R ? 2,当且仅当圆 P 的圆

(II)

心为(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ; 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得 AB ? 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,则 r ? R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, 1 则

QP QM

?

3k 2 R ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 于圆 M 相切得 . ? 1 , 解得 k=± 4 r1 1? k 2

当 k=

x2 y 2 2 2 ? ? 1 ,并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 , 时,将 y= x+ 2 代入 4 3 4 4

解得 x1,2 ?

?4 ? 6 2 18 .所以 AB = 1+k 2 x2 ? x1 ? . 7 7

当 k= ?

2 18 时,有图形的对称性可知 AB = . 4 7
18 . 7

综上, AB =2 3或 AB ?

30. (2013 年高考陕西卷(文) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. )

(Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则

| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ?1 4 3

所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为

(Ⅱ) P(0, 3), 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),由题知: 1 ? 0 ? x2,y1 ? 3 ? y 2 2x 2 椭圆 的上下顶点坐标分别是0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率 k 存 ( 在. 设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ?

? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? ? ? ? ?k ?? 2 x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率 k ? ?

3 2

31. (2013 年高考大纲卷(文) 已知双曲线 C : )

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心 a 2 b2

率为 3, 直线 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6. (I)求 a, b; ; (II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且 AF ? BF , 1 1 证明: AF2 、 、 2 成等比数列 AB BF

【答案】(Ⅰ)由题设知

c a 2 ? b2 ? 3 ,即 ? 9 ,故 b2 ? 8a 2 . 所以 C 的方程为 8x2 ? y 2 ? 8a 2 . 2 a a
2

将 y=2 代入上式,求得, x ? ? a ?

1 . 2

由题设知, 2 a ?
2

1 ? 6 ,解得, a 2 ? 1 . 所以 a ? 1, b ? 2 2 . 2
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, F1 (?3,0) , F2 (3,0) ,C 的方程为 8x ? y ? 8 .



由题意可设 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) , | k |? 2 2 ,代入①并化简得,

(k 2 ? 8) x2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0 .

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? ?1, x2 ? 1 , x1 ? x2 ? 于是 | AF1 |?

6k 2 9k 2 ? 8 , x1 ? x2 ? 2 . k ?8 k2 ?8

( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? ?(3x1 ? 1) ,

| BF1 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3x2 ? 1
由 | AF1 |?| BF1 | 得, ?(3x1 ? 1) ? 3x2 ? 1 ,即 x1 ? x2 ? ? 故

2 . 3

4 19 6k 2 2 ? ? ,解得 k 2 ? ,从而 x1 ? x2 ? ? . 2 5 9 k ?8 3
( x1 ? 3)2 ? y12 ? ( x1 ? 3)2 ? 8 x12 ? 8 ? 1 ? 3x1 ,

由于 | AF2 |?

| BF2 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3x2 ? 1 ,
故 | AB |?| AF2 | ? | BF2 |? 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ,

| AF2 | ? | BF2 |? 3( x1 ? x2 ) ? 9x1x2 -1 ? 16 .
因而 | AF2 | ? | BF2 |? |AB|2 ,所以 | AF2 | 、 | AB | 、 | BF2 | 成等比数列.
32. (2013 年高考天津卷(文) 设椭圆 )

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂 2 a b 3

直的直线被椭圆截得的线段长为

4 3 . 3

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 ???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB
【答案】

33. (2013 年高考辽宁卷(文) 如图,抛物线 C1 : x )

2

? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2

上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为

1 - . 2
(I)求 p 的值; (II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程. A, B重合于O时,中点为O .

?

?

【答案】

34. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 )

,在 Y 轴上

截得线段长为 2

.

(Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为
【答案】

,求圆 P 的方程.

35. (2013 年高考湖北卷(文) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴 )

长分别为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合 的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y A B

M

O C
D
第 22 题图

N x

【答案】依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程 分别为

m x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1, C2 : 2 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. n a2 m a n (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则 S | BD | 1 1 1 1 . S1 ? | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2 2 2
C1 :

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , 于是
| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1



S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 . 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合 ,则 | BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2 S | BD | m ? n ? ? 1 ? ? 所以 1 ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1 S1 ?


S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

y

A B

y A B

M

O C
D 第 22 题解答图 1

N x

M

O C
D
第 22 题解答图 2

N x

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? ,所以 d1 ? d2 . 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2 由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | , | AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是
1? k
2 2 2

| ?ak ? 0 |

?

ak

, d2 ?

| ak ? 0 |

?

ak

| AD | ? ? 1 ? . | BC | ? ? 1



将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得 am an xA ? , xB ? . 2 2 2 2 2 a k ?m a k ? n2 根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是

1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m
从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . 2 2 2 a k ?m ? (? ? 1)





令t ?

? ?1 n 2 (? 2 t 2 ? 1) ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 . ? (? ? 1) a (1 ? t 2 )
n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即
1

1

?

2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ?1,

?

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? ,所以 d1 ? d2 . 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 ??. 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2
1? k
2 2 2

| ?ak ? 0 |

?

ak

, d2 ?

| ak ? 0 |

?

ak

因为

x ? ?1 1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB | BD | . ? ? ? ? ,所以 A ? 2 xB ? ? 1 | AB | 1 ? k | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
xA2 k 2 xA2 x 2 k2x 2 x 2 ? x 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 xB 2 ) ? ? 1 , B2 ? 2B ? 1 ,两式相减可得 A 2 B ? ?0, 2 2 a m a n a m2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 (? 2 xB 2 ? xA2 )

因为 k 2 ? 0 ,所以由

x m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . 2 2 2 2 xB a ( ? xB ? x A )

从而 1 ?

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标 轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 .
36. (2013 年高考重庆卷(文) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 8 分) )

如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 2

A 、 A? 两点, AA? ? 4 .

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余 点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

【答案】

x2 37 . 2013 年 高 考 湖 南 ( 文 ) 已 知 F1 , F2 分别 是椭 圆 E : ( ) ? y 2 ? 1 的左 、右 焦点 F1 , F2 关 于直 线 5
x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时,求直线 l 的方程.
【 答 案 】 解 : (Ⅰ) 先 求 圆 C 关 于 直 线 x + y – 2 = 0 对 称 的 圆 D, 由 题 知 圆 D 的 直 径 为

F1 F2 , 所以圆D的圆心D(0,0),半径r ? c ? a 2 - b 2 ? 2,圆心D(0,0)与圆心C关于
x ? y ? 2 ? 0 对称 ? C (2,2) ? 圆C的方程为 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 .



线

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 (2,0), ,据题可设直线 l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线 l 可被 圆和椭圆截得 2 条 弦,符合题意.
2 2 圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 到直线 l 的距离 d =

| 2m ? 2 - 2 | 1? m2

?

| 2m | 1? m2

.

? 在圆中,由勾股定理得:b 2 ? 4(4 ?

4m 2 42 . )? 1? m2 1? m2

设直线与椭圆相交于点E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ), 联立直线和椭圆方程,整理得:
(m 2 ? 5)y 2 ? 4my ? 1 ? 0 ? x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 4 ? m
由椭圆的焦半径公式得: a ? 2 5 ?

? 4m 20 ?4? 2 2 m ?5 m ?5

2 5

( x1 ? x 2 ) ?

10 ? 2( x1 ? x 2 ) 5

?2 5?

m2 ? 1 m2 ? 5

? ab ? 2 5 ?

m2 ?1 4 m2 ?1 . ? ?8 5? 2 m2 ? 5 1 ? m2 m ?5

令f ( x) ?

x ?1 , x ? 0 ? y ? f ( x)在[0,3]上单调递增,在[3,??)上单调递减. x?5

令f ( x) ? f .(3) ? 当m 2 ? 3时,ab取最大值.这时直线方程为x ? ? 3 y ? 2.
所以当 ab取最大值,直线方程为x ? ? 3 y ? 2

38. (2013 年高考安徽(文) 已知椭圆 C : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2,3) . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q ( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E .取点 A(0, 2 2) ,连接

AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG ,问这样作出的直
线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由
【答案】解: (1)因为椭圆过点 P ( 2,3) ?

2 3 ? 2 ? 1 且 a 2 ? b2 ? c2 2 a b

? a2 ? 8
(2)

b2 ? 4

c2 ? 4

椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ?1 8 4

由题意,各点的坐标如上图所示,

8 x0 y?0 则 QG 的直线方程: ? 8 y0 x0 ? x0 x?
化简得 x0 y0 x ? ( x0 2 ? 8) y ? 8 y0 ? 0 又 x0 ? 2 y0 ? 8 ,
2 2

x2 y 2 所以 x0 x ? 2 y0 y ? 8 ? 0 带入 ? ? 1 求得最后 ? ? 0 8 4
所以直线 QG 与椭圆只 有一个公共点.

39. (2013 年高考江西卷(文) 椭圆 C: )

=1(a>b>0)的离心率

,a+b=3

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m-k 为定值.

3 c c 2 a 2 ? b2 b2 3 ? 故 ? ? 1? 2 ? 【答案】解:(1)因为e= 2 a a2 a2 a 4
x2 ? 椭圆C的方程为: ? y 2 ? 1 4

所以 a ? 2b 再由 a+b=3 得 a=2,b=1,

1 (2)因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则BP方程为y=k(x-2)(k ? 0且k ? ? ) 2



x2 8k 2 ? 2 4k 2 ? y ? 1,解得 P( 2 ,? 2 ) 将①代入 4 4k ? 1 4k ? 1
1 x ?1 ② 2 4k ? 2 4k , ) ①与②联立解得 M ( 2k ? 1 2k ? 1
又直线 AD 的方程为 y ? 由 D(0,1), P(

4k ? 2 8k 2 ? 2 4k , 0) , ? 2 ), N ( x, 0) 三点共线可角得 N ( 2 2k ? 1 4k ? 1 4 k ? 1

所以 MN 的分斜率为 m=

2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ? (定值) ,则 2m ? k ? 4 2 2


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