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闭区间上二次函数的单调性与最值


专题 1:闭区间上二次函数的最值问题 编者:陈清华
函数的最值问题是一类常见的问题,许多函数的最值问题都能转化为闭区间上二次函数的最值问 题,因此有必要进行专题探究

题型 1 定函数与定区间的最值问题 例 1 (1)求函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ?1在区间 [1, 4] 上的最值
(2)求函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1在区间 [4,5] 上的最值 (3)求函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1在区间 [?1,1] 上的最值 解:(1)抛物线的开口向上,对称轴为 x ? ? 递增,所以 f ( x)min ? f (2) ? ?5 ;

b ? 2 ,所以 f ( x) 在 ?1, 2? 上单调递减,在 ? 2, 4? 上单调 2a

f ( x)max ? max ? f (1), f (4) ? ? f (1) ? ?1
解:(2)抛物线的开口向上,对称轴为 x ? ?

b ? 2 ,所以 f ( x) 在 ? 4,5? 上单调递增,所以 2a

f ( x)min ? f (4) ? ?1 ; f ( x)max ? f (5) ? 4
解:(3)抛物线的开口向上,对称轴为 x ? ?

b ? 2 ,所以 f ( x) 在 ??1,1? 上单调递减,所以 2a

f ( x)min ? f (1) ? ?4 ;
f ( x)max ? f (?1) ? 4
评析:二次函数在闭区间 [m, n] 上的最值只有两种可能:(1)区间端点的函数值;(2)顶点的函数值. 何时取得最值受两个因素制约:(1)开口方向;(2)对称轴与闭区间的位置关系.

? 找到最值 第一类问题 ????
数形结合

解决这类问题可以遵循以下步骤: (1) 根据开口方向、对称轴,画出闭区间上二次函数的图像; (2) 根据图像,从顶点和两个端点函数值中选出最大、小值.

题型 2 定函数与动区间的最值问题 例 2 求函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ?1在闭区间 [1, a] 的最值.

1

解:抛物线开口向上,对称轴为直线 x ? 2 ,左端点关于对称轴对称点为 3. 对 a(隐含a ? 1) 的取值进行分类讨论: (1)当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ?1, a ? 上单调递减 所以,

f ( x)min ? f (a) ? a 2 ? 4a ? 1 f ( x)max ? f (1) ? ?4

(2)当 2 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 ?1, 2? 上单调递减,在 ? 2, a ? 上单调递增,且左端点距对称轴较远(如 图),所以

f ( x)min ? f (2) ? ?5,

f ( x)max ? max ? f (1), f (a) ? ? f (1) ? ?4
(3)当 a ? 3 时, f ( x ) 在 ?1, 2? 上单调递减,在 ? 2, a ? 上单调递增,且右端点距对称轴较远(如图),所 以

f ( x)min ? f (2) ? ?5, f ( x)max ? max ? f (1), f (a) ? ? f (a) ? a 2 ? 4a ? 1 f ( x)min ? f (a) ? a 2 ? 4a ? 1, (1 ? a ? 2) ?? f (2) ? ?5, (a ? 2) ?

综上所述:

? f (1) ? ?4,(1 ? a ? 3) f ( x)max ? ? 2 ? f (a) ? a ? 4a ? 1,(a ? 3)
例 3 若函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ?1在闭区间 [1, a] 的最小(或最大)值为 f (a ) ,求 a 的取值范围.
评析:这是闭区间上二次函数最值问题中的第二类问题——已知具体二次函数的解析式及含参闭区间, 求二次函数的最值。解此类问题的数学思想是分类讨论和数形结合.将第二类问题转化为第一类问题: 第二类问题 ???? ? 第一类问题
分类讨论 数形结合 ???? ? 找到最值

分类讨论的要点是,首先考虑“对称轴横坐标在闭区间内还是外”;如果对称轴横坐标在区间内,那么 还有考虑“闭区间的两个端点到对称轴的距离的大小关系”

题型 3 动函数与定区间的最值问题 例 4 求函数 f ( x) ? x2 ? ax ?1在闭区间 [1, 4] 的最值.
解:由题意可知:二次函数图像开口向上,对称轴为直线 x ?

a 5 ,闭区间的中点为 . 2 2

2

(1)当

a ? 1 即 a ? 2 时, f ( x) 在 ?1, 4? 上单调递增,所以 2

f ( x)min ? f (1) ? ?a f ( x)max ? f (4) ? 15 ? 4a
(2)当 1 ?

a 5 ? a? ?a ? ? 即 2 ? a ? 5 时, f ( x) 在 ?1, ? 上单调递减,在 ? , 4 ? 上单调递增,且右端点距离对 2 2 ? 2? ?2 ?
2

称轴较远,所以

a ?a? f ( x) min ? f ? ? ? ? ? 1, 4 ?2? f ( x) max ? max ? f (1), f (4) ? ? f (4) ? 15 ? 4a
(3)当

5 a ? a? ?a ? ? ? 4 即 5 ? a ? 8 时, f ( x) 在 ?1, ? 上单调递减,在 ? , 4 ? 上单调递增,且左端点距离对 2 2 ? 2? ?2 ?
2

称轴较远,所以

a ?a? f ( x) min ? f ? ? ? ? ? 1, 4 ?2? f ( x) max ? max ? f (1), f (4) ? ? f (1) ? ? a
(4)当

a ? 4 即 a ? 8 时, f ( x) 在 ?1, 4? 单调递减,所以 2

f ( x) min ? f ? 4 ? ? 15 ? 4a, f ( x) max ? f (1) ? ? a
综上所述

f ( x) min

? ? ? ??f ? ? ?

f (1) ? ? a, ( a ? 2) a ?a? ? ? ? ? ? 1, (2 ? a ? 8) 4 ?2? f (4) ? 15 ? 4a, (a ? 8)
2

? f (4) ? 15 ? 4a,(a ? 5) f ( x)max ? ? ? f (1) ? ?a,(a ? 5)
例 5 求函数 f ( x) ? ax2 ? 4x ?1 在闭区间 [1, 4] 的最值. 解:1.当 a ? 0 时,一次函数 f ( x) ? ?4 x ? 1在 ?1, 4? 上单调递减,所以

f ( x)min ? f (4) ? 16a ? 17 ? ?17 f ( x)max ? f (1) ? a ? 5 ? ?5
2.当 a ? 0 时,二次函数 f ( x) 开口方向未知,对称轴为直线 x ?
3

2 a

(1)当 a ? 0 时,开口向下且

2 ? 1 ,所以 f ( x) 在 ?1, 4? 上单调递减,所以 a

f ( x)min ? f (4) ? 16a ? 17 f ( x)max ? f (1) ? a ? 5
(2)当 a ? 0 时,分以下几种情况: 1 当 ? 1 即 a ? 2 时, f ( x) 在 ?1, 4? 上单调递增,所以 ○ a
2

f ( x)min ? f (1) ? a ? 5 f ( x)max ? f (4) ? 16a ? 17
? ? ? ? 2 当 1 ? ? 即 ? a ? 2 时, f ( x) 在 ?1, ? 上单调递减, f ( x) 在 ? , 4 ? 上单调递增,且右 ○ a 2 5 ? a? ?a ?
2 5 4

2

2

端点距离对称轴较远,所以
2 4 f ( x)min ? f ( ) ? ? ? 1 a a f ( x)max ? f (4) ? 16a ? 17

? ? ? ? 3 当 ? ? 4 即 ? a ? 时, f ( x) 在 ?1, ? 上单调递减, f ( x) 在 ? , 4 ? 上单调递增,且左 ○ 2 a 2 5 ? a? ?a ?
5 2 1 4

2

2

端点距离对称轴较远,所以
2 4 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? 1 a a f ( x) max ? f (1) ? a ? 5

4 当 ? 4 即 a ? 时, f ( x) 在 ?1, 4? 上单调递减,所以 ○ a 2

2

1

f ( x)min ? f (4) ? 16a ? 17 f ( x)max ? f (1) ? a ? 5
综上所述
? ? ? ? ??f ? ? ? ? 1 f (4) ? 16a ? 17, ( a ? ) 2 4 ?2? ?1 ? ? ? ? ? ? 1, ? ? a ? 2 ? a ?a? ?2 ? f (1) ? a ? 5, (a ? 2)

f ( x) min

4

f ( x)max

? 4? ? ? f (1) ? a ? 5, ? a ? 5 ? ? ? ? ?? ? f (4) ? 16a ? 17, ? a ? 4 ? ? ? ? 5? ? ?

评析:这是闭区间上二次函数最值问题中的第三类问题——已知含参二次函数的解析式及其具体的定义 域,求二次函数的最值,解此类问题的数学思想是依然分类讨论和数形结合.将第三类问题转化为第一类 问题: 第三类问题 ???? ? 第一类问题
分类讨论 数形结合 ???? ? 找到最值

分类讨论可以遵循以下思考顺序: 第一步:讨论开口方向; 第二步:在明确开口的前提下,讨论对称轴与区间端点的关系; 第三步:在对称轴在闭区间内的情况下,讨论对称轴与区间中点的位置关系.

1.求函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? x2 的最值. 2.已知 f ( x) ? x ? 2x ? 3 在区间 [0, a ] 上的最大值为 3,最小值为 2,求 a 的取值范围.
2

3.已知 x ? 1,求 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 的最小值 g (a ) 的表达式. 4.已知 f ( x) ? x ? ax ?
2

a ? a ? 0 ? 在区间 ?0,1? 的最小值为 g (a) ,求 g (a) 的最大值. 2

5.根据下列条件,求参数 a 的取值范围: (1)函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ?0,1? 上的最大值为 2;
2

(2)函数 f ( x) ? ax ? 4ax ? 3 在区间 [?4, 2] 上有最大值 7
2

5

自纠自查 1.当 x ? ?1 时, f ( x)max ? 2; 当 x ? ?3 或 1 时, f ( x)min ? 0 2. a ??1, 2? 3.当 a ? ? ??, ?1? 时, g (a) ? f (?1) ? 1 ? 3a; 当 a ? ? ?1,1? 时, g (a) ? f (a) ? ?a 2 ? a; 当 a ??1, ?? ? 时, g (a) ? f (1) ? 1 ? a 4. g ( a ) max ?

1 4
(2) a ? ?1 或

5.(1) a ? ?1 或 2

1 3

6


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