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高中数学数列知识点总结(经典)


数列基础知识点和方法归纳
1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法: (1)观察与归纳法:先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化,哪些因素不变:分析符号、数字、字母与 项数 n 在变化过程中的联系,初步归纳公式。 (2)公式法:等差数列与等比数列。 (3)利用 Sn 与 an 的关系求 an : an ? ?

? S1 , (n ? 1) ? Sn

? Sn ?1 , (n ? 2)

2. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数),通项: an ? a1 ? ? n ?1? d ? am ? (n ? m)d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列,

Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列,公差为 n 2 d ;

(3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,

?an ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0 ?an ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
.

1

(3) {kan } 也成等差数列;(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5) a1 ? a2 ? ? ? am , am?1 ? am?1 ? ? ? a2m , a2m?1 ? a2m?1 ? ? ? a3m ?仍成等差数列. (8)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和;

3. 等比数列的定义与性质

定义:

an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ), an ? a1qn?1 ? amq n ? m . an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy . 前 n 项和:
(q ? 1) ?na1 (q ? 1) ?na1 ? ? n S n ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q ) ?? a (要注意!) a n (q ? 1) ?? 1 q ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q 1? q ? 1? q ?

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n . 注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

(3) {| an |} 、 {kan } 成等比数列; {an }、 {bn } 成等比数列 ? {anbn} 成等比数列. (4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. (5) a1 ? a2 ? ? ? am , ak ? ak ?1 ? ? ? ak ? m?1,? 成等比数列.

(6)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等比数列,

2

(7) p ? q ? m ? n ? bp ? bq ? bm ? bn ; 2m ? p ? q ? bm2 ? bp ? bq Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .

(8)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.(9) 等差数列与等比数列的联系:各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?

1 k ?1 ak ak ?1

n

解:由 ∴?
n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列, 求数列 ?anbn ?(差比数列) 前 n 项和, 可由 Sn ? qSn , 求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比. 如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
①—② ?1 ? x ? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn
x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
3


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