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高一数学点直线平面之间的位置关系练习题


点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.垂直于同一条直线的两条直线一定( A.平行 B.相交 ). C.异面 D.以上都有可能

2.正四棱柱错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,则异面直线错误!未找
到引用源。所成角的余弦值为(

). B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 ).

C.只有一个 D.有无数个

A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。

3.经过平面外两点与这个平面平行的平面( A.可能没有 B.至少有一个

4.点 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB,BC,CD,AD 的中点,若 AC= BD,且 AC 与 BD 所成角的大小为 90° ,则四边形 EFGH 是( A.菱形 B.梯形 C.正方形 ) . D.空间四边形

5.已知 m,n 为异面直线,m错误!未找到引用源。 平面 ?,n错误!未找到引用源。 平面 ?,?∩ ?=l,则( A.l 与 m,n 都相交 C.l 与 m,n 都不相交 ). B.l 与 m,n 中至少一条相交 D.l 只与 m,n 中一条相交

6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2 错误!未找到引用源。,CC1=错误!未
找到引用源。,则二面角 C1-BD-C 的大小为(

). C.60° D.90°

A.30°

B.45°

7.如果平面 ? 外有两点 A,B,它们到平面 ??的距离都是 a,则直线 AB 和平面 ? 的 位置关系一定是( A.平行
到引用源。?

). B.相交 C.平行或相交 D. 错误!未找 AB

8. m, 是两条不同的直线, ??是两个不同的平面. 设 n ?, 下列命题中正确的是( A.?⊥?,m⊥?,n∥?错误!未找到引用源。m⊥n n∥?错误!未找到引用源。m⊥n C.m⊥?,n 错误!未找到引用源。?,m⊥n 错误!未找到引用源。?⊥?? ? ? D.?⊥?,?∩?=m,n⊥m 错误!未找到引用源。n⊥? ?

).

B.?∥?,m⊥?,

9.平面 ?∥ 平面 ?,AB,CD 是夹在 ??和 ??之间的两条线段,E,F 分别为 AB,CD 的中点,则 EF 与 ? 的关系是( A.平行 B.相交 ). C.垂直 D.不能确定

10.平面 ?⊥ 平面 ?,A∈ α,B∈ β,AB 与两平面 ?,β 所成的角分 别为错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。,过 A,B 分别作两平 面交线的垂线,垂足为 A′,B′,则 AB∶ A′B′ 等于( A.2∶ 1 C.3∶ 2 二、填空题 11.下图是无盖正方体纸盒的展开图,在原正方体中直线 AB,CD 所成角的大小为 . C A D B
(第 11 题)

).

B.3∶ 1 D.4∶ 3
(第 10 题)

12.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是 .

13.如图,AC 是平面 ? 的斜线,且 AO=a,AO 与 ? 成 60? 角,OC??,AA′⊥ ??于 A′,∠ A′OC=45? ,则点 A 到直线 OC 的距离是 .

14.已知正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为错误!未找到引用源。,则侧面与底面所 成二面角的大小为 .

15.已知 a,b 为直线,??为平面,a∥ ?,b∥ ?,对于 a,b 的位置关系有下面五个结论: ① 平行;② 垂直不相交;③ 垂直相交;④ 相交;⑤ 不垂直且不相交. 其中可能成立的有 三、解答题 16.正方体 AC1 的棱长为 a. (1)求证:BD⊥ 平面 ACC1A1; (2)设 P 为 D1D 中点,求点 P 到平面 ACC1A1 的距离. 个.

17.如图,ABCD 是正方形,O 是该正方形的中心,P 是平面 ABCD 外一点,PO 错误!未找到引用源。底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证:(1)PA∥ 平面 BDE ; (2)BD⊥平面 PAC.

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD =DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° . (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
(第 18 题)

19.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求证:AC⊥ 平面 B1D1DB; (2)求证:BD1⊥ 平面 ACB1; (3)求三棱锥 B-ACB1 体积. A

D B D1 A1
(第 19 题)

C

C1 B1

20. 已知△BCD 中,∠ BCD=90° ,BC=CD=1,AB⊥ 平面 BCD,∠ ADB=60° ,E,F 分 别是 AC,AD 上的动点,且错误!未找到引用源。=错误!未找到引用
源。=?(0<?<1).

(1)求证:不论 ??为何值,总有平面 BEF⊥ 平面 ABC; (2)当 ??为何值时,平面 BEF⊥ 平面 ACD?

(第 20 题)

参考答案
一、选择题 1.D 解析:当垂直于直线 l 的两条直线与 l 共面时,两条直线平行;当这两条直线与 l 不共 面时,两条直线平行或相交或异面. 2.D 解析:当将 AD1 平移至 BC1,连接 A1C1,∴∠A1BC1 是异面直线 A1B 与 AD1 所成的角. 在△A1BC1 中,容易计算 A1B=BC1=错误!未找到引用源。,A1C1=错误!未找到引用
源。.

∴由余弦定理得 cos∠A1BC1=错误!未找到引用源。. 3.A 解析: 当平面外两点的连线与此平面垂直时, 经过这两点与这个平面平行的平面不存在. 4.C

∥ ∥ 解析:依条件得 EF = 错误!未找到引用源。AC,GH = 错误!未找到引用源。AC,∴ ∥ EF = GH. ∥ ∥ ∥ 又 EH = 错误!未找到引用源。BD,FG = 错误!未找到引用源。BD,∴ EH = FG.
∵AB=BC,∴EF=EH. ∵ AC 与 BD 所成角的大小为 90° ,∴ EF 与 EH 所成角的大小为 90° . ∴四边形 EFGH 是正方形. 5.B 解析:对于 A,满足条件的直线 l 可以与 m,n 中一条相交;对于 C,若 l 与 m,n 都不 相交,∵ l 分别与 m,n 共面,∴ l∥m,l∥n.∴ m∥n.矛盾;对于 D,满足条件的直线 可以与 m,n 都相交. 6.A 解析:若设 AC,BD 交于点 O,连接 C1O,则 BD⊥CO,BD⊥C1O. ∴ ∠COC1 是二面角 C1-BD-C 的平面角.tan∠COC1=错误!未找到引用源。=错误!
未找到引用源。.

∴ ∠COC1=30° .

7.C 解析:当 A,B 两点在 ? 同侧时,直线 AB 和平面 ? 平行;当 A,B 两点在 ??异侧时, 直线 AB 和平面 ??相交. 8.B 解析:对于 A,?⊥?,m⊥?,n∥?,m,n 可以不垂直; 对于 C,m⊥?,n∥?,m⊥n,?,??可以不垂直; 对于 D,?⊥?,?∩?=m,n⊥m?, n,??可以不垂直. 9.A 解析:设 A,C∈?,B,D∈?, ① 若 AB,CD 共面,∵?∥ ?,∴ AC∥ BD. ∵ E,F 分别为 AB,CD 的中点, ∴ EF∥ AC,且 EF 错误!未找到引用源。?,AC 错误!未找到引用源。?,∴ EF∥ ?. ②若 AB,CD 为异面直线,则过点 F 做直线 MN∥ AB,MN 交 ? 于 M,交 ??于 N,则 MC∥ ND.∴ F 为的 MN 中点.∴EF∥ AM,且 EF 错误!未找到引用源。?,AM 错误!未找
到引用源。?,∴ EF∥ ?.

10.A 解析:连接 AB′,A′B,于是∠ ABA′=错误!未找到引用源。,∠ BAB′=错误!未找到引用
源。.

设 AB=a,∴ A′B=acos 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。a,BB′=acos
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。a.

∴ A′B′=错误!未找到引用源。a.∴ AB∶ A′B′=2∶ 1. 二、填空题 11.60° .

(第 10 题)

解析:将展开图恢复为正方体时,点 B,D 重合,∴ AB,CD,AC 三条面对角线构成 等边三角形,∴ 直线 AB,CD 所成角的大小为 60° . 12.错误!未找到引用源。. 如图,取 A1B1 的中点 G,连接 FG,EG, ∵FG=1,EG =2, EF=错误!未找到引用源。. ∴ B E C
(第 12 题)

B1 G C1 F A1

A

13.错误!未找到引用源。a. 解析: 如图过点 A 作 AB⊥OC, 垂足为 B, 连接 A′B, 点 A 到直线 OC 距离是 AB. 依条件得 AA′=错误!未找到引用源。a,A′O=错误!
未找到引用源。a,A′B=错误!未找到引用源。a.

A

A′

∴ AB=错误!未找到引用源。 a =错误!未找到引
用源。a.

C

B
(第 13 题)

O

14.60° . 解析:依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为 1,侧面等腰三角形底边上的高为 2,∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是错误!未找到引用源。. ∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是 60° . 15.5. 解析:依条件可知当 a∥?,b∥? 时,以上五种情况都有可能出现,因此五个结论都有 可能成立. 三、解答题 16. 证明:(1)∵ AA1⊥AB,AA1⊥AD,且 AB∩AD=A, ∴ AA1⊥平面 ABCD. 又 BD 错误!未找到引用源。平面 ABCD,∴ AA1⊥BD. 又 AC⊥BD,AA1∩AC=A,∴ BD⊥平面 ACC1A1. (2)∵ DD1∥AA1 , AA1 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 平 面 ACC1A1, ∴ DD1∥平面 ACC1A1. ∴ 点 P 到平面 ACC1A1 的距离即为直线 DD1 到面 ACC1A1 的距离. 也就是点 D 到平面 ACC1A1 的距离,设 AC ∩BD=O,则 DO 的长度是点 D 到平面 ACC1A1 的距离. 容易求出 DO=错误!未找到引用源。a.∴ P 到平面 ACC1A1 的距离为错误!未找到引
用源。a.

D1 A1 P· D O A
(第 16 题)

C1 B1

C B

P E

17.证明:(1)连接 EO,∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ O 为 AC 的中点. C D A O B
(第 17 题)

∵ E 是 PC 的中点,∴ OE 是△APC 的中位线. ∴ EO∥PA.∵ EO 错误!未找到引用源。平面 BDE,PA 错误!未找到引用源。平面 BDE, ∴ PA∥平面 BDE. (2)∵ PO⊥平面 ABCD,BD 错误!未找到引用源。平面 ABCD, ∴ PO⊥BD. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC⊥BD. ∵ PO∩AC=O,AC 错误!未找到引用源。平面 PAC,PO 错误!未找到引用源。平面 PAC, ∴ BD⊥平面 PAC. 18.(1)证明:∵ PD⊥平面 ABCD,BC 错误!未找到引用源。平面 ABCD,∴ PD⊥BC. 由∠BCD=90° ,得 CD⊥BC. 又 PD∩DC=D, PD,DC 错误!未找到引用源。平面 PCD, ∴ BC⊥平面 PCD. ∵ PC 错误!未找到引用源。平面 PCD,故 PC⊥BC. (2)解:(方法一)分别取 AB,PC 的中点 E,F,连 DE,DF, 则易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D,E 到平面 PBC 的距离相等. 又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的 距离的 2 倍, 由(1)知,BC⊥平面 PCD, ∴平面 PBC⊥平面 PCD. ∵ PD=DC,PF=FC,∴ DF⊥PC. 又 ∴ 平面 PBC∩平面 PCD=PC, ∴ DF⊥平面 PBC 于 F. 易知 DF=错误! 未找到引用源。 故点 A 到平面 PBC 的距离等于错误! , 未找到引用源。 . (方法二): 连接 AC, 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. ∵ AB∥DC,∠BCD=90° ,∴ ∠ABC=90° . 由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1.
(第 18 题)

(第 18 题)

由 PD⊥平面 ABCD,及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V=错误!未找到引用源。S△ABC·PD=错误!未找到引用源。. ∵ PD⊥平面 ABCD,DC 错误!未找到引用源。平面 ABCD,∴ PD⊥DC. 又 ∴ PD=DC=1,∴ PC=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 S△PBC=错误!未找到引用源。. ∵ VA - PBC=VP - ABC,∴ 错误!未找到引用源。S△PBC·h=V=错误!未找到引用源。,得 h=错误!未找到引用源。. 故点 A 到平面 PBC 的距离等于错误!未找到引用源。. 19. (1)证明: AC⊥BD, BB1⊥平面 ABCD, AC 错误! ∵ 又 且 未找到引用源。 平面 ABCD, ∴ BB1⊥AC. BD∩BB1=B,∴ AC⊥平面 B1 D1DB. (2)证明:由(1)知 AC⊥平面 B1D1DB, ∵ BD1 错误!未找到引用源。平面 B1D1DB,∴ AC⊥BD1. ∵ A1D1⊥平面 A1B1BA,AB1 错误!未找到引用源。平面 A1B1BA, ∴ A1D1⊥AB1. 又 ∵ A1B⊥AB1 且 A1B∩A1D1 于 A1, ∴ AB1⊥平面 A1D1B. ∵ BD1 错误!未找到引用源。平面 A1D1B, ∴ BD1⊥AB1, 又 ∴ AC∩AB1=A, ∴ BD1⊥平面 ACB1. (3)解:(方法 1)错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。×1×(错误!未找到引用
源。×1×1)=错误!未找到引用源。.

(方法 2)错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。V =错误!未找到引用源。. 20.(1)证明:∵ AB⊥平面 BCD,∴ AB⊥CD. ∵ CD⊥BC,且 AB∩BC=B,∴ CD⊥平面 ABC. 又错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=?(0<?<1), ∴ 不论 ??为何值,恒有 EF∥CD, ∴ EF⊥平面 ABC. ∵ EF 错误!未找到引用源。平面 BEF, ∴不论 ??为何值总 有平面 BEF⊥平面 ABC.
(第 20 题)

正方体

)

(2)解:由(1)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD,∴ BE⊥平面 ACD. ∴ BE⊥AC. ∵ BC=CD=1,∠BCD=90° ,∠ADB=60° ,∴ BD=错误!未找到引用源。,AB=错
误!未找到引用源。,AC=错误!未找到引用源。.

由△ABC∽△AEB,有 AB2=AE·AC,从而 AE=错误!未找到引用源。.∴ ?=错误!
未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

故当 ?=错误!未找到引用源。时,平面 BEF⊥平面 ACD.


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