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2015—2016学年高一数学期中考试题


2015—2016 学年高一数学期中考试题





本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意:1、答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卷(密封线内)上。 2、考试结束,只交答题卷。

第 ? 卷(选择题 共 40 分)

r />一、选择题:本题共 10 题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一个正确 答案,把正确答案填涂在机读卡上。
1.集合 {a, b} 的子集有 ( A.2 个 B.3 个 ) C.4 个 ) C. f ( x) ? 3 x 3 ( ) D. ?x | 0 ? x ? 2? D. f ( x ) ? D.5 个

2. 下列函数中哪个与函数 y ? x 相等( A. f ( x) ? ( x ) 2 B. f ( x) ?

x2

x2 x

3.若 A ? x | 0 ? x ? 2 , B ? ? x |1 ? x ? 2? ,则 A ? B ? A. ?x | x ? 0? 4.下列对应关系: ( B. ?x | x ? 2? ) C. 0 ? x ? 2

?

?

?

?

① A ? {1, 4,9}, B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}, f : x ? x 的平方根 ② A ? R, B ? R, f : x ? x 的倒数 ③ A ? R, B ? R, f : x ? x 2 ? 2 ④ A ? ??1,0,1? , B ? ??1,0,1? , f : A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 A.①③ B.②④ 5. (
3 6

C.③④

D.②③

a 9 )4( 6
B.a8

3

a 9 )4 等于( )
C.a4 D.a2

A.a16

6.

函数 y ?

x?2 的定义域为( x ?1

)

1

A. {x | x ? ?2, 且x ? 1} C. [?2,1) ? (1,??)

B. x ? ?2, 且x ? 1 D. (?2,1) ? (1,??)

7.若奇函数 f ?x ? 在 ?2,5? 上为增函数,且有最大值 2,则它在 ?? 5,?2? 上( ) A.是减函数,有最小值 2 C.是减函数,有最大值-2 B.是增函数,有最小值-2 D.是增函数,有最大值 2

8.已知函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,并且函数 f(x)是偶函数,那么下列式子一定成立的 是( ) A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9) 9.若函数 y=x2+(2a-1)x+1 在区间(-∞,2 ] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [ - ,+∞)
3 2



B. (-∞,-

3 2

]

C. [

3 2

,+∞) D. (-∞,

3 2

]

10.若 x ? R, n ? N * ,规定: H x ? x( x ? 1)( x ? 2) ????? ( x ? n ? 1) ,例如: (

n



H

4 ?4

? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 ,则 f ( x ) ? x ? H

5 x?2

的奇偶性为

A.是奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.是偶函数不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

第 ?? 卷(非选择题 共 70 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.
11.已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为 12.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N= 13.函数 f ? x ? ? ? . .

? x ? 1, x ? 1, 则 f ? f ? 4? ? ? ?? x ? 3, x ? 1,



14.某班 50 名学生参加跳远、铅球两项测试,成绩及格人数分别为 40 人和 31 人,两项测试均不及格的 人数是 4 人,两项测试都及格的有 人. 15.已知函数 f ? x ? ? ax5 ? bx3 ? cx ? 3 , f ? ?3? ? 7 ,则 f ? 3? 的值为

答题卷
一. 选择题:

2

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: 11. 14.

12. 15.

13.

三.解答题:本题 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (12 分)已知集合 A= x 1 ? x ? 7 ,B={x|2<x<10},全集为实数集 R. (1)求 A∪B,A∩B; (2)(CRA)∩B

?

?

17. (12 分)集合 A={x|x2-ax+a2-19=0} ,B={x|x2-5x+6=0} ,

C={x|x2+2x-8=0} .
(Ⅰ)若 A=B,求 a 的值; (Ⅱ)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

18. (12 分)已知二次函数 f ( x) 满足: f (0) ? 3 ; f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 在 [?1, 4] 上的最值.

19. (12 分)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ≤0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x .

3

(1)现已画出函数 f ( x) 在 y 轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数 f ( x) 的图像,并根据 图像写出函数 f ( x) 的单调区间; (2)写出函数 f ( x) 的解析式和值域.

20. ( 13 分 ) 设 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a ? 0 、

b?R ) ,若 f (?1) ? 0 ,且对任意实数 x ( x ? R )不等式 f ( x) ? 0 恒成立.
(1)求实数 a 、 b 的值; (2)当 x ?[-2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.

21. (14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x . (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)求证: f ( x) 是 R 上的增函数; (3)若 f (m ? 1) ? f (2m ? 3) ? 0 ,求 m 的取值范围.(参考公式: a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) )

参考答案
4

一、选择题 CCACA CBACB 二、填空题 11. 1 或—1 或 0 12. {(3,-1)} 13. 0 三、解答题 16.解: (1)A∪B={x|1≤x<10}…………………………3 A∩B={x|2<x <7 }…………………………6 (2)

14. 25

15.-13

(CRA)∩B={x|x<1 或 x≥7}∩{x|2<x<10}……………9 ={x|7≤x<10}………………………………………12

17.解: 由已知,得 B={2,3} ,C={2,-4} (Ⅰ)∵A=B 于是 2,3 是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根, 由韦达定理知:

?2 ? 3 ? a ? 2 ?2 ? 3 ? a ? 19

解之得 a=5. …………………………6

(Ⅱ)由 A∩B ? ? A ∩ B ? ? ,又 A∩C= ? , 得 3∈A,2 ? A,-4 ? A, 由 3∈A, 得 32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2 ?…………………………10 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3} ,与 2 ? A 矛盾; 2 当 a=-2 时,A={x|x +2x-15=0}={3,-5} ,符合题意. ∴a=-2. …………………………12
2 18.解:(1)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,由 f (0) ? 3 得 c ? 3 , 2 2 又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,所以有 a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? ax ? bx ? c ? 2x ,

整理得: (2a ? 2) x ? a ? b ? 0 ,此式对 x ? R 恒成立,所以 2a ? 2 ? 0, a ? b ? 0 ,
2 解得 a ? 1, b ? ?1 ,所以函数 f ( x) ? x ? x ? 3 ;…………………………6

(2)

1 11 1 1 1 11 f ( x) ? ( x ? ) 2 ? [ ?1, ] [ , 4] f ( x) min ? f ( ) ? 2 4 在 2 上单减,在 2 2 4 ,又 上单增,所以

f ( x)max ? f (4) ? 15 ………………………………………12 f (? 1 ) ? 5 , f (4) ? 15 ,所以
19.(1)函数图像如右图所示: (0,1) f ( x) 的递增区间是 (?1, 0) , (1, ??) .递减区间为(- ? ,-1),

? x 2 ? 2 x, x ? 0 f ( x ) ? (2)解析式为: ,值域为: ? y | y ? ?1? . ? 2 x ? 2 x , x ? 0 ?

5

20.解: (1)∵ f (?1) ? 0

∴a ? b ?1? 0

∵任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立∴ ?

解得: a ? 1 , b ? 2 ………………………………………6 (2)由(1)知 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ∴ g ( x) ? f ( x) ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 的对称轴为 x ? ∵当 x ?[-2,2]时, g ( x) 是单调函数 ∴

?a ? 0 2 ?? ? b ? 4a ? 0

k ?2 ……………8 2

k ?2 k ?2 ? ?2 或 ? 2 ……………………………………………………12 2 2 ∴实数 k 的取值范围是 (??,?2] ? [6,??) .…………………………13
21.解: 函数 f ( x) 的定义域为 R . (1) 函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,
3 3 因为对任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? (? x) ? (? x) ? ? x ? x ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是 R 上的奇函

数.……………………4

(2)设

x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x13 ? x1 ) ? ( x23 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[( x1 ?

1 2 3 2 x2 ) ? x2 ? 1] 2 4 ,……6

x ? x2 , 所 以 x1 ? x2 ? 0 , 又 因为 1

( x1 ?

1 2 3 2 x2 ) ? x2 ? 1 ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 2 4 ,所以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 R 上是增函数;………………………………………10
(3) 由 f (m ? 1) ? f (2m ? 3) ? 0 得 f (m ? 1) ? f (3 ? 2m) ,所以 m ? 1 ? 3 ? 2m ,解得 ……………………………………………14

m?

2 3.

6


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