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把握六个环节构建高效课堂---“差角的余弦公式”教学案例


2014 年第 11 期

福建中学数学

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使得 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围; (5) 若对任意的 x1 ∈[?3 , 2] , 总存在 x2 ∈ [?3 , 2] , 使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围; (6)证明:对任意给定的

正数 c ,总存在 x0 ,
+ ∞) 时,恒有 g ( x) > cx 2 . 使得当 x ∈ ( x0 ,

上述例 5、例 6 是形异质同问题,例 7 是形似质 异问题. 编拟这些相关性问题,对形异质同问题的归类, 可以帮助学生归纳通性通法,提高学习的效率.对 形似质异问题的展示,可以提醒学生注意对数学语 言的阅读与理解,强化审题能力与辨别能力,提高

对数学问题的转化与化归能力.相关题组的讲解、 训练,可以激发学生认知兴趣,提高解题能力,提 升思维品质. 例题的讲解是数学教育中不可缺少的重要环 节,有效的例题讲解是学生有效学习的前提.对于 数学方法性例题教学,应暴露与展示数学思维过程, 揭示与归纳解题规律和例题蕴藏的数学思想与方 法.通过设问,以及解决问题过程思路、策略的讨 论,培养数学思维的深刻性.认真倾听学生的思路 和分析,鼓励学生进行数学思维和推理,体验数学 方法,培养数学能力与素养.

把握六个环节
黄如炎

构建高效课堂*

——“差角的余弦公式”教学案例 福建省闽清高级中学(350800) 一次式,推测 cos(α ? β ) 可表示为 sin β , cos β 的一 次式. 学生 2:由余弦函数的对称性, cos(α ? β ) 也可 表示为 sin α , cos α 的一次式. 教师:很好,大家已发现 cos(α ? β ) 可用 α , β 的正、余弦表示.为进一步发现 cos(α ? β ) 具体表达 式,先研究公式(1)的结构形式.设 cos( π ? β ) =
A cos β + B sin β ,这里 A , B 是什么呢?

一节高效的数学新授课常由六个环节构成:
创设情境,提出问题 尝试探究,解决问题 随堂训练,巩固新知

小组交流,感悟收获

释疑解惑,总结提炼

课后练习,深化提高

本文给出六环节模式下“ 差角的余弦公式” 的教 学案例,请同行品鉴. 1 创设情境,提出问题 复习诱导公式: cos (π ? β ) = ? cos β (1) π cos( ? β ) = sin β (2) 2 π 教师:当公式(1) 、 (2)中特殊角 π , 变为任 2 意角 α 时,公式会有怎样的结果?即 cos(α ? β ) = ? (从学生熟悉的诱导公式中提出问题,直截了 当.两个诱导公式是差角余弦公式的特例,具有潜 在的知识生长点, 是探究差角余弦公式绝佳素材. 这 样的以旧引新,承前启后,省时高效,有四两拔千 斤之效. ) 2 尝试探究,解决问题 2.1 观察归纳,猜想公式 教师:普遍性寓于特殊性之中.公式(1) 、 (2) 、 是否蕴含着 cos(α ? β ) 的结构形式?观察公式(1) (2) 右边结构特征, 你对 cos(α ? β ) 有怎样的推测? 学生 1:公式(1) 、 (2)右边为 β 正弦、余弦的

学 生 3 : 由 cos( π ? β ) = ? cos β 知 , A = ?1 ,
B = 0 . cos( π ? β ) 也可表示为 sinπ , cosπ 的一次式,

推测 A ,B 与 sinπ ,cosπ 有关.cos π = ?1 ,sinπ = 0 , 故 cos( π ? β ) 可表示为 cos π cos β + sin π sin β ,因此推 测: cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β . 教师(露出惊叹表情) :大家赞同学生 3 的推测 吗? π π 学生 4: 我发现 cos( ? β ) 也可表示为 cos cos β 2 2 π + sin sin β 的形式,赞! 2 π π π π 学生 5: 我发现 cos( ? ) 也可表示为 cos cos 3 6 3 6 π π + sin sin 的形式,赞! 3 6 众生(用热烈掌声点赞学生 3 的推测) :对任意

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角 α ,β , 推测 cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β(*) (波利亚说过:“学习任何知识的最佳途径是由 自己发现,因为这种发现,理解最深刻,也最容易 掌握其中内在的规律,性质和联系”.多数教师认为 差角的余弦公式课堂难以探究,本案例应用归纳推 理这一大众数学思想,从特殊到一般发现差角的余 弦公式.本探究完全顺应学生的认知规律,思维含 金量高,启迪学生心智,既不是表面繁荣但缺乏内 涵的“工匠式”、“验证式”的探究,也不是在教师一道 道意想不到的指令下“圈套式”的伪探究) 2.2 类比联想,巧证公式 教师: (*)式中 α , β 为任意角,解决此类问 题的经验是什么? 学生:用单位圆,三角函数定义. 教师:如图 1,设角 α , β 终边分别与单位圆交 于点 A , B ,则 A(cos α , sin α ) , B (cos β , sin β ) ) .观 察(*)式结构特征,与哪些知识似曾相似? 学生 6: ( * ) 式 右 边 类 似 向 量 a = ( x1 , y1 ) 与
b = ( x2 , y2 ) 的数量积 ab = x1 x2 + y1 y2 .

sin α sin β ” 的景情时,教师的点拔让学生 “ 触景生

情”,情不自禁地联想到用单位圆和向量解决问题) 3 随堂训练,巩固公式 训练 1 用差角的余弦公式求证: 3π (1) cos( ? α ) = ? sin α ; 2 (2) cos(2 π ? α ) = cos α . 训练 2 求下列各式的值: (1)cos15°=_____. (2)cos95°cos35°+sin95°sin35° = _____. 3 π π (3)cos α = ? , π) ,cos( ? α ) = ____ . α ∈( , 5 2 4 2 1 6+ 2 答案 (1) ; (2) ; (3) . 10 4 2 π 4 π) , 求 训 练 3 已 知 cos(θ ? ) = ? , θ ∈ (0 , 6 5 π cos(θ ? ) . 3 π π π 学生 9: cos(θ ? ) = cos θ ? cos + sin θ ? sin 6 6 6 3 1 4 cos θ + sin θ = , = 2 2 5 又 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ,解方程组得,
sin θ = ?4 + 3 3 ?3 ? 4 3 , cos θ = , 10 10

学生 7:是啊,左边 α ? β 还是向量 OA , OB 的 夹角呢?可用向量数量积证明(*)式!
OA ? OB = (cos α , sin α ) ? (cos β , sin β ) = cos α cos β + sin α sin β , OA ? OB =| OA | ? | OB | cos ∠AOB = cos(α ? β ) , ∴ cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β .

教师:引用向量巧证公式,让人赏心悦目,但 是否美中不足呢? 学生 8(课堂出现 2 分钟的悄寂) :由 α , β 的
∠AOB ≠ α ? β , 对称性, 还要考虑图 2 的情形, 此时,

π π π 3? 4 3 ∴ cos(θ ? ) = cos θ cos + sin θ sin = . 3 3 3 10 π π 教师: 把 cos(θ ? ) 和 cos(θ ? ) 直接用差角余弦 6 3 公式展开,这种循规蹈矩的解法值得肯定但计算量

应有 ∠AOB = 2kπ + ( β ? α ) . 图 由于 α ,β 为任意角, 1 中, ∠AOB = 2kπ + (α ? β ) ,∴∠AOB = 2kπ ± (α ? β )
(k ∈ Z) ,但都有 cos ∠AOB = cos(α ? β ) .
y A α B β O x 图1 y B β A α O x 图2

教师:学生 8 的严谨思维为公式证明画上了圆 满的句号.以后称公式(*)为差角的余弦公式,简 记为 C(α ? β ) . (既引导学生发现公式,又启发学生发现公式 的证明方法.当学生身临“任意角”、“ cos α cos β +

太大,可否简化解题? π π 学生 10:令 θ ? = α ,则 θ = + α , 6 6 π π π π 所以, cos(θ ? ) = cos( + α ? ) = cos(α ? ) 3 6 3 6 π π 4 3 3 1 = cos α cos + sin α sin = (? ) ? + ? 6 6 5 2 5 2 3? 4 3 = . 10 教师:机智换元,化繁为简. π π π 学生 11:∵θ ? = (θ ? ) ? , 3 6 6 π π π ∴ cos(θ ? ) = cos[(θ ? ) ? ] 3 6 6

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π π π π 3? 4 3 = cos(θ ? ) cos + sin(θ ? ) sin = . 6 6 6 6 10 π π 教师:把所求角( θ ? )用已知角 (θ ? ) 表示, 3 6 一步到位.

(“练是硬道理”.一组“短、平、快”的 基础训 练,从正用、逆用、变用多角度理解运用公式,让 学生尽情享用自己的劳动成果) 4 小组交流,感悟收获 教师:下面大家通过小组交流,谈谈本课学习 的疑惑和收获. 小组 1:我们发现并证明了差角的余弦公式. 小组 2: 我们掌握了差角的余弦公式, 并能正用、 逆用、变用. 小组 3:方法比知识更重要,最大的收获是掌握 了发现和证明差角余弦公式的思路方法,感到归纳 和类比是数学探究最重要的思想方法, 小组 4:数形结合、换元法、坐标法同样重要, 功不可没. 小组 5:向量法威力无比. 小组 6:为何不先研究两角和的余弦,差角的正 弦、正切是什么?和角的正弦、余弦、正切又是什 么? 小组 7:课本通过作图探究差角的余弦公式,那 个图形是怎么构造出来的?是否还有其他探究公式 的方法? (让学生交流学习感悟,可培养学生总结问题 和提出问题的能力,能及时反馈课堂教学效果.学 生所提问题可能是未理解的知识,也可能是课堂上 “美丽的意外”, 也可能是具有挑战性的问题, 因此对 教学起到提质增效的作用.从以上学生的感悟可看 出本课教学是高效的) 5 总结提炼,释疑解惑 教师:大家的感悟可提炼为: 公式探究:归纳猜想 特殊到一般 公式证明:类比联想 由任意角联想单位 圆,由结构特征联想向量 公式应用:正用 循规蹈矩,逆用 正 难则反,变用机智灵活 小组 6 和小组 7 所提的疑问是数学教育家要思 考的问题哦.差角的余弦公式是和角、差角的正弦、 余弦、正切公式中最容易研究的,由差角的余弦公

式容易推导出其他各公式,在后面的学习中大家就 明白了.课本通过作图探究差角的余弦公式,其关 键是在单位圆中通过构造直角三角形来表示相关角 的三角函数线,确有一定难度,有余力的同学课外 再好好琢磨. 6 课后练习,深化提高 15 (1)已知: sin θ = , θ 是第二象限的角,求 17 π cos(θ ? ) . 3 (2)化简:cos108°cos168°+sin72°sin12°. 1 (3) α , β 都是锐角, cos α = , cos(α + β ) 7 11 = ? 求 cos β . 14 π π cos(α + β ? )cos β + sin(α + β ? )sin β (4) 已知: 4 4 1 3π 7π 2 π) ,求 cos(α ? ). = ,α ∈( , 3 2 12 (5)观察下列各等式: 3 sin 2 60° + cos 2 30° ? sin 60° cos 30° = , 4 3 sin 2 50° + cos 2 20° ? sin 50° cos 20° = , 4 3 sin 2 45° + cos 2 15° ? sin 45° cos15° = , 4 请你提出一个能反映一般规律的等式,并予以 证明. 0) , ( 6 ) 如 图 3 , 设 A(1 , P
P sin α ) , P2 (cos β , ? sin β ) , 1 (cos α , P (cos(α + β ) , sin(α + β )) .
β P1 α O ?β A

x

请用多种方法证明: cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β .

图3

(学习上的掌握一半在课内,一半在课外.课 外练习的精心设计和课堂教学同样重要,它是高效 课堂不可忽视的一个环节.以上课外练习涵盖了本 课“三基”, 突出了本课重点和难点, 深化了本课所学 知识和方法) (在笑声、 掌声和下课铃声中师生说“再见”. 这 种“再见”不仅是礼仪用语更是学生心语, 是他们对数 学学习的殷切期盼)
*福建省教育科学“十二五”规划 2013 年度课题 《“三分六环节”高效课 堂教学模式的研究》 (立项批准号:FJJKXB13—162)的研究成果之一.


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