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第5讲 复合函数的导数与函数的单调性


第 5 讲 复合函数的导数与函数的单调性
一.基础知识回顾 1.复合函数的导数
复合函数的 概念 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表 示成 x 的函数,那么称这个函数为 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记 作

复合函数的 求导法则

复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=;g(x)的导数间的关 系为 yx′= 即 y 对 x 的导数等于

2.函数单调性:一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
导数 函数的单调性 单调递 单调递

f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0

二.题型探究
例 1:指出下列函数是怎样复合而成的: 2 2 (1)y=(3+5x) ;(2)y=log3(x -2x+5);(3)y=cos 3x.

跟踪训练 1:指出下列函数由哪些函数复合而成:

(1)y=ln

x;(2)y=e

sin x

;(3)y=cos ( 3x+1).

例 2:求下列函数的导数:

(1)y=(2x-1) ;(2)y=

4

π 2x+3 ;(3)y=sin(-2x+ );(4)y=10 . 3 1-2x 1

跟踪训练 2:求下列函数的导数.

1 3x (1)y=ln ;(2)y=e ;(3)y=5log2(2x+1). x

例 3:求曲线 f(x)=e

2x+1

1 在点(- ,1)处的切线方程. 2

跟踪训练 3:曲线 f(x)=e cos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 5, 求直线 l 的方程.

2x

例 4:已知导函数 f′(x)的下列信息:当 1<x<4 时,f′(x)>0;当 x>4,或 x<1 时,f′(x)<0; 当 x=4,或 x=1 时,f′(x)=0.试画出函数 f(x)图像的大致形状.

跟踪训练 5:函数 y=f(x)的图像如图所示,试画出导函数 f′(x)图像的大致形状.

例 6:求下列函数的单调区间:

(1)f(x)=2x -3x -36x+16;(2)f(x)=3x -2ln x.

3

2

2

跟踪训练 6:求下列函数的单调区间: x e 2 (1)f(x)=x -ln x; (2)f(x)= ; (3)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x<2π). x-2

三、方法小结: 1.求简单复合函数 f(ax+b)的导数:求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把 简单复合函数转化为常见函数 y=f(u),u=ax+b 的形式,然后再分别对 y=f(u)与 u=ax +b 分别求导,并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为 y=f(u),u=ax+b 的形 式是关键. 2.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对值的大小反映了函数在某个区 间或某点附近变化的快慢程度. 3.利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数 f(x)的定义域;(2)求导 数 f′(x);(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0;(4)根据(3)的结果确 定函数 f(x)的单调区间. 四.课后作业:
一.选择题 1. 下列函数不是复合函数的是 ( ) 1 π 1 3 4 A.y=-x - +1 B.y=cos(x+ )C.y= D.y=(2x+3) x 4 ln x 1 2. 函数 y= 的导数是 ( ) ?3x-1?2 6 6 6 6 A. B. C.- D.- ?3x-1?3 ?3x-1?2 ?3x-1?3 ?3x-1?2 3. 函数 y=x2cos 2x 的导数为 ( ) A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x 4. 已知直线 y=x+1 与曲线 f(x)=ln(x+a)相切,则 a 的值为 ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 1 2 5. 曲线 f(x)=e x 在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ) 2 9 A. e2 B.4e2 C.2e2 D.e2 2 6. 命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 8. 函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a2-3b<0 时,f(x)是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数 9. 下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 ( ) A.y=sin x B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=ln x-x 10. 如果函数 f(x)的图像如图,那么导函数 y=f′(x)的图像可能是 ( )

11. 函数 y=(2 011-8x)3 的导数 y′= π π 12. 曲线 y=cos(2x+ )在 x= 处切线的斜率为 6 6 2 13. 函数 f(x)=x(1-ax) (a>0),且 f′(2)=5,则实数 a 的值为 14. 函数 y=x-2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为 . 15.函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围为________. 16.求下列函数的导数: 1 (1)y=(1+2x2)8;(2)y= ;(3)y=sin 2x-cos 2x;(4)y=cos x2. 1-x2

17.已知 a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线.求切线 l 的方程.

18.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图像经过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0.(1)求函数 y=f(x)的解析式;(2)求函数 y=f(x)的单调区间.

19.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的 7 函数为 s=s(t)=5- 25-9t2.求函数在 t= s 时的导数,并解释它的实际意义. 15

20.求证:可导的奇函数的导函数是偶函数.

21.已知函数 f(x)=mx3+nx2 (m、n∈R,m≠0),函数 y=f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线与 x 轴平行. (1)用关于 m 的代数式表示 n;(2)求函数 f(x)的单调增区间.


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