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高一数学下册期末考试试题8


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高一数学下册期末考试试题 文科) 高一年级数学试卷 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题 两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 本试卷分第Ⅰ 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分, 分钟。 非选择题 两部分

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1. 若 a > b ,则下列不等式中成立的是 A. ( )

1 1 3 3 2 2 < C. a > b D. a > b a b uuu r uuur r r r r r r r 15 r 2. ?ABC 中, BC = a , AC = b , a ? b < 0 , S?ABC = , a = 3, b = 5, 则 a 与 b 的夹角是 4
B. ( ) A .30o 3. B. -150o C. 150o D. 30o 或 150o ( )

1 1 > a b

下列命题中, 甲是乙的充分不必要条件的是 A.甲: xy = 0 ;乙: x 2 + y 2 = 0 C.甲: xy = 0 ;乙: x, y 至少有一个是 0

B.甲: xy = 0 ;乙:| x | + | y |=| x + y | D.甲: x < y ;乙:

x <1 y
( )

则有 4. 设 M = 2a ( a ? 2) ,N = ( a + 1)( a ? 3) , A. M > N
2

B. M ≥ N

C. M < N

D. M ≤ N ( )

5. 若一元二次不等式 ax + bx + c > 0 的解集是 (? A. a < 0 B. a + b + c > 0

1 , 2) , 则下列不成立的为 2
C. b < 0 D. c > 0

6. 已知向量 a =(-2,-1), b =(λ,1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 ( )

1 A. (? ,2) U (2,+∞) 2

B. (2,+∞)

1 C. (? ,+∞) 2

1 D. (?∞,? ) 2
( )

7. 已知 a, b 是任意实数, | a + b |, | a ? b |, | b ? 1 | 中的最大值为 M , 记 则 A. M ≥ 0 B. 0 ≤ M ≤ 1 C. M ≥ 1 D. M ≥

1 2

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8. 函数 y = sin(

π
12

? x) cos(

π
12

? x) 的单调减区间是
B. ? 2kπ +





A. ?kπ +

? ?

π
3
π
6

, kπ +
, kπ +

5π ? 6 ? ?
π?
3? ?

(k ∈ Z )

? ?

π
3

,2kπ +

5π ? (k ∈ Z ) 6 ? ?

C. ? kπ ?

? ?

(k ∈ Z )

D. ?2kπ ?

? ?

π
6

,2kπ +

π?
3? ?

(k ∈ Z )
( )

9. 设 a, b, c ∈ R, | a ? c |<| b | , 则正确的是 A. a < b + c B. a > c ? b C. | a |>| b | ? | c | D. | a |<| b | + | c |

10. 已 知 在 三 角 形 ABC 中 , lg sin A ? lg cos B ? lg sin C = lg 2 则 三 角 形 一 定 是 ( ) A. 等边三角形 B.等腰三角形 C. 直角三角形 D.钝角三角形 ( )

11. 将函数 = sin 2 x 的图像按向量 a = (- A. y = sin( 2 x +

r

π
6

, 平移, 1) 得到的函数解析式为

π
3

) +1 ) +1

B. y = sin( 2 x ? D. y = sin( 2 x ?

π π
3 6

) +1 ) +1

C. y = sin( 2 x +

π
6

12. 若 定 义 在 区 间 D 上 的 函 数 f (x ) 对 于 D 上 任 意 n 个 值 x1 , x 2 L , x n 总 满 足

1 [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + L + f ( xn )] ≤ f ( x1 + x2 + L + x n ) ,则 f (x) 称为 D 上的凸函数.现已 n n
知 f ( x) = sin x 在 (0, π ) 上是凸函数,则三角形 ABC 中, sin A + sin B + sin C 的最大值为 ( A. )

3 2

B. 3 2

C.

3 3 2

D. 3

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(每题5分,共20分.把答案填在答题纸的横线上) ........ 13. 函数 y = sin x + cos x + 2 sin x cos x 的最小值是 .

14. 不等式 log 2 ( x 2 ? x ? 2) > 1 + log 2 ( x ? 1) 的解集为_________.

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15. 设 a、b 满足 | a |= 1 , | b |= 2 , | a ? b |= 2 ,则 | a + b | 等于 16. 若正实数 x, y 满足

→ →













. .

2 8 + = 1 ,则 x + y 的最小值是 y x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 写在答题纸的相应位置) .......... 17. (本题 10 分)

x2 已知函数 f ( x ) = (其中 a, b 为常数) 且 3 和 4 是方程 f ( x ) ? x + 12 = 0 的两个根. , ax + b
(1)求 a, b 的值; (2)当 1 < k < 2 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) <

(k + 1) x ? k 2? x

18. (本题 12 分) 已知 a = (1, 2), b = (?3, 2) . (1)当 k 为何值时, k a + b 与 a ? 3 b 垂直? (2)当 k 为何值时, k a + b 与 a ? 3 b 平行?平行时,它们同向还是反向?

r

r

r r

r r

r r

r r

19. (本题 12 分) 随着经济条件的改善,人们开始提高生活质量,讲究享受生活.某老师购买的某种 汽车的费用是 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费 9 千元,汽车的维修保养费: .. 第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,…,依等差数列递增.若年平均费用最 ..... 小时报废最为合算.请你帮这位老师核算一下,这种汽车应使用多少年即可报废?此时汽
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车的年平均费用是每年多少万元?

20. (本题 12 分) 已知点 A(3,0), B (0,3), C (cos α , sin α ) ,其中

π
2

<α <

3π 2

(1)若 | AC |=| BC | ,求 α ; (2)若 AC ? BC = ?1 ,求 sin 2α 的值.

21. (本题12分)

?ABC 的 外 接 圆 半 径 R = 3 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 且 2 sin A ? sin C cos C = sin B cos B

(1)求角 B 和边长 b ; (2)求 S ?ABC 的最大值及取得最大值时的 a, c 的值,并判断此时三角 形的形状.

22. (本题12分) 已知 f ( x ) =

x 2 + 2x + a , x

(1) 当 a = 1 时,求函数 f (x ) 在 x ∈ [0,+∞) 的最小值; (2) 若对任意的 x ∈ [1,+∞) 时,不等式 f ( x ) > 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

衡水中学 08-09 学年第二学期期末调研考试参考答案
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CCBAC

ACCDB AC

13.

?

5 4

14. (3,+∞)

15. 6

16.18

17. 分析: (1)由 3 和 4 是方程 f ( x ) ? x + 12 = 0 的两个根,得 a = ?1, b = 2 文科 理科 (2)由(1)知 f ( x) = 整理得 ………………….………4 分 …………………..………3 分

x2 x2 (k + 1) x ? k < ,则 2? x 2? x 2?x
文科 理科 ……………..……..……9 分 ………………..………6 分 …..…12 分 …..…12 分

( x ? k )( x ? 1) >0 x?2

若 k ∈ (1,2) ,则不等式的解集是 (1, k ) U ( 2,+∞) ;文科 若 k ∈ [ 2,+∞) ,则不等式的解集是 (1,2) U (k ,+∞) 理科

18. 分析: (1) k a + b = (k ? 3,2k + 2) , a ? 3 b = (10,?4) , k a + b 与 a ? 3 b 垂直可得 ( k a + b ) ?( a ? 3 b )=10( k ? 3) ? 4( 2k + 2) = 0 ,……………………4 分 解得 k =19 ………………………………………………………………………6 分 (2)当 k a + b 与 a ? 3 b 平行时, k a + b = λ ( a ? 3 b ) ,………………8 分 由(1)得 ?

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

?k ? 3 = 10λ 1 ,解得 λ = ? < 0 ……………………………10 分 3 ? 2 k + 2 = ? 4λ
r r r r 1 时 k a + b 与 a ? 3 b 平行,它们反向. ………………………12 分 3

所以, λ = ?

19. 分析:设这种汽车使用 n 年即可报废,汽车的年平均费用是 S 万元,由题意得

1 S = [10 + (0.2 + 0.4 + 0.6 + ... + 0.2n) + 0.9n] n 1 0.2n(n + 1) = [10 + + 0 .9 n ] ………………………6 分 n 2 n 10 n 10 = + +1 ≥ 2 × +1 = 3 10 n 10 n
当且仅当

n 10 = ,即 n = 10 时等号成立. …………………………………10 分 10 n

综上,这种汽车应使用 10 年即可报废,此时汽车的年平均费用是每年 3 万元. ……. .……………. .……………. .……………. 12分

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20. 分析: (1) AC = (cos α ? 3, sin α ), BC = (cos α , sin α ? 3) 因为 | AC |=| BC | ,所以 | AC | =| BC |
2 2

…………2 分

即 (cos α ? 3) 2 + sin 2 α = cos 2 α + (sin α ? 3) 2 化简得 cos α = sin α 因为

π
2

<α <

3π 5π ,所以 α = 2 4

…… …………………………………6 分

(2)因为 AC ? BC = ... = 1 ? 3(sin α + cos α ) = ?1 所以, sin α + cos α =

2 3 5 9

(文科)平方得, 2 sin α cos α = sin 2α = ?

(理科)化简

2 sin 2 α + sin 2α 5 = ... = 2 sin α cos α = ? ………………12 分 1 + tan α 9

21. 分析:由

cos C 2 sin A ? sin C (a 2 + b 2 ? c 2 )2ac 2a ? c = ,得: 2 = , cos B sin B b (a + c 2 ? b 2 )2ab 1 , 2
………………………4 分

即 ac = a 2 + c 2 ? b 2 ,所以 cos B = ... = 又 B ∈ (0, π ) ,所以 B = 又 2R =

π
3


.…………………………6 分

b , R = 3 ,所以 b = 3 sin B

(2)由 b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B , b = 3 , cos B =

1 2

得 ac + 9 = a 2 + c 2 ≥ 2ac,∴ ac ≤ 9 (当且仅当 a = c 时取等号)
…………………………………………8 分 所以, S ?ABC =

1 1 3 9 3 ac sin B ≤ × 9 × = (当且仅当 a = c 时取等号) 2 2 2 4
…………………………10 分

综上, S ?ABC 的最大值

9 3 ,取得最大值时 a = c = 3 ,此时三角形是等边三角形.…12 分 4

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a ? x+a ?x > 2 ? 22. 分析:理科 | x ? 3 |< , (a ∈ R) ? ? 3 2 ?x < a + 6 ?
(1)若 A = Φ ,则 2 ? 解得 a ≤ ?3

…………. 2 分

a ≥ a+6, 3

…….………….……………. 4分

……………….…………….…………….……………. 6分

?a > ?3 ? a ? (2)若 A I Z = {3,4} ,则 ?2 ≤ 2 ? < 3 , 3 ? ?4 < a + 6 ≤ 5 ?
分 解得 ? 2 < a ≤ ?1 文科 (1) 当 a = 1 时, f ( x) = x +

…….….…………….…………. 9

…….………….…………….…….……………. 12分

1 1 + 2 ≥ 2 x? +2 = 4 x x

………………4 分

(当且仅当 x = 1 时取等号)
所以,在 x ∈ [0,+∞) 时函数 f (x ) 的最小值为 4 . (2)当 x ∈ [1,+∞) 时, f ( x) = ……………6 分

x 2 + 2x + a > 0 恒成立, x

则 x 2 + 2 x + a > 0,∴ a > ?( x 2 + 2 x) 在 x ∈ [1,+∞) 时恒成立,…..……8分 令 g ( x) = ?( x 2 + 2 x), x ∈ [1,+∞) , 因为 x ∈ [1,+∞), g ( x) = ?( x + 1) 2 + 1 ≤ ?3 ,即 g (x) 的最大值是-3. ……. 10 分

若对任意的 x ∈ [1,+∞) 时,不等式 f ( x) > 0 恒成立,则需要 a > g (x) 的最大值. 所以, a > ?3 . ………. ……………………….…………. 12分

另解: (2)当 x ∈ [1,+∞) 时, f ( x) =

x 2 + 2x + a > 0 恒成立, x
…………..……8分

则 h( x) = x 2 + 2 x + a > 0, 在 x ∈ [1,+∞) 时恒成立,

由 h( x) = x 2 + 2 x + a 的图像特征,知 h(x) 在 x ∈ [1,+∞) 时单调递增, 只需 h(1) > 0 , ……. …………………….…………. 10 分
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解得 a > ?3 .

………. ………………….…………. 12 分

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