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三角函数所有公式及基本性质[整理]


一、任意角的三角比
(一)诱导公式
sin( 2 k ? ? ? ) ? sin ? sin( ?? ) ? ? sin ? sin( ? ? ? ) ? ? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin ? sin( 2? ? ? ) ? ? sin ? cos( 2 k ? ? ? ) ? cos ? cos( ?? ) ? cos ? cos( ?

? ? ) ? ? cos ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ? cos( 2? ? ? ) ? cos ? tg ( 2 k ? ? ? ) ? tg ? tg ( ?? ) ? ? tg ? tg (? ? ? ) ? tg ? tg (? ? ? ) ? ? tg ? tg ( 2? ? ? ) ? ? tg ? ctg ( 2 k ? ? ? ) ? ctg ? ctg ( ?? ) ? ? ctg ? ctg (? ? ? ) ? ctg ? ctg (? ? ? ) ? ? ctg ? ctg ( 2? ? ? ) ? ? ctg ?

sin( sin( sin( sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? cos ? ? ? ) ? ? cos ?

cos( cos( cos( cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ? ? ) ? ? sin ? ? ? ) ? ? sin ? ? ? ) ? sin ?

tg ( tg ( tg ( tg (

?
2

? ? ) ? ctg ? ? ? ) ? ? ctg ? ? ? ) ? ctg ? ? ? ) ? ? ctg ?

ctg ( ctg ( ctg ( ctg (

?
2

? ? ) ? tg ? ? ? ) ? ? tg ? ? ? ) ? tg ? ? ? ) ? ? tg ?

?
2 3? 2 3? 2

?
2 3? 2 3? 2

?
2 3? 2 3? 2

?
2 3? 2 3? 2

(二)关系结构图

sin ? tg ?

cos ?
ctg ?

(三)三角比符号

1
sec ?

+ _
倒数关系 商数关系 平方关系

+ _
sin ? csc ? ? 1

_ _

csc ?

+ +
tg ? ctg ? ? 1

_ +

+ _

二、三角恒等式 1.同角三角比的关系

sinα &cscα
tg ? ?
2

cos ? sec ? ? 1

cosα &secα
cos ? sin ?
2

tgα &ctgα

sin ? cos ?
2

ctg ? ?
2

sin ? ? cos ? ? 1

1 ? tg ? ? sec ?

1 ? ctg ? ? csc ?
2 2

2.两角和与差的三角比 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

_

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

—1—

两角差的正弦公式 两角和的正弦公式

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

两角差的正切公式

tg (? ? ? ) ?

tg ? ? tg ? 1 ? tg ? tg ? tg ? ? tg ? 1 ? tg ? tg ?

两角和的正切公式

tg (? ? ? ) ?

a sin ? ? b cos ? ?

a ? b sin( ? ? ? )
2 2

A sin( ? ? ? ) 形式

cos ? ?

a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ?b
2 2

, 0 ? ? ? 2?

3.二倍角的三角比
sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2

tg 2? ?

2 tg ? 1 ? tg ?
2

4.半角的三角比
sin tg

?
2

?? ??

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?

cos ?

?
2

??

1 ? cos ? 2 ? 1 ? cos ? sin ?

?
2

sin ? 1 ? cos ?

5.万能置换公式
2 tg sin ? ? 1 ? tg

?
2
2

1 ? tg

2

? ?
2 tg ? ? 2

2 tg 1 ? tg

?
2
2

?
2

cos ? ? 1 ? tg
2

?
2

三、解斜三角形 三角形的面积
S ?? 1 2 bc sin A ? 1 2 ca sin B ? 1 2 ab sin C

正弦定理
a sin A sin B 余弦定理
2 2 2

?

b

?

c sin C

(? 2 R )

a ? b ? c ? 2 bc cos A ? b ? a ? c ? 2 ca cos B ? c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2 2 2 2

或 cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc

? cos B ?

c ?a ?b
2 2

2

2 ca

? cos C ?

a ?b ?c
2 2

2

2 ab

三角比补充概念或公式 有关 sinα 与 cosα ,tgα 与 tgα ,|sinα |与|cosα |,|tgα |与|ctgα |大小比较 1.sinα 与 cosα (下左图) 当α 的终边在第一、第三象限的角平分线上时,sinα =cosα 当α 的终边在此角平分线的上方,即图中区域①时,sinα >cosα 当α 的终边在此角平分线的下方,即图中区域②时,sinα <cosα
—2—

2.tgα 与 ctgα (上右图) 当α 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,tgα =ctgα 当α 的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时(不包括坐标轴) ,tgα >ctgα 当α 的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时(不包括坐标轴) ,tgα <ctgα 3. |sinα |与|cosα |(下左图) 当α 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|sinα |=|cosα | 当α 的终边在图中区域①或③时,|sinα |>|cosα | 当α 的终边在图中区域②或④时,|sinα |<|cosα |

4. |tgα |与|ctgα |(上右图) 当α 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|tgα |=|ctgα | 当α 的终边在图中区域①或③时(不包括坐标轴) ,|tgα |>|ctgα | 当α 的终边在图中区域②或④时(不包括坐标轴) ,|tgα |<|ctgα | 二、三角中常用的手法 (sinα +sinβ )与(cosα +cosβ )分别平方后相加,可以产生 cos(α -β ) (sinα +sinβ )与(cosα +cosβ )分别平方后相加,可以产生 sin(α +β ) 1.在非直角Δ ABC 中,有 tgA ? tgB ? tgC ? tgAtgBtgC 2.在 tgA,tgB,tgC 存在的前提下,A+B+C=kπ (k 属于整数)是 tgA ? tgB ? tgC ? tgAtgBtgC 的充要条 件。 增补公式
ctg ? ? ctg 2? ? tg ? ? tg ? ? tg ? ? tg ? ? 1 sin 2? sin( ? ? ? )

cos ? cos ? sin( ? ? ? ) cos ? cos ?

三角比的积化和差公式

—3—

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? ?

1 2 1 2 1

[sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? )] [sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? )]

[cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2

三角比的和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin sin ? ? sin ? ? 2 cos cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2 ? ??

cos sin

? ??
2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ?? 2

2 ? ??

cos ? ? cos ? ? ? 2 sin

2 ? ?? 2

cos sin

三角函数的性质 函 数
y ? sin x
y ? cos x
y ? tgx y ? ctgx

定义域

R

R

? x | x ? R且 ? ? ? ? ? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

? x | x ? R且 ? ? ? ? x ? k? , k ? Z ?





?? 1,1?
当 x ? 2 k? ?

?? 1,1?
?
2

R

R

?k ? Z ?时 ?k ? Z ?时

当 x ? 2 k ? ?k ? Z ?时 y max ? 1; 当 x ? 2 k ? ? ? ?k ? Z ?时 y min ? ? 1





y max ? 1; 当 x ? 2 k? ? y min ? ? 1

?
2

无最大值、最小值

无最大值、最小值

周期是 2 k ? ?k ? Z ? 周期性 最小正周期是 2? 奇偶性 奇函数

周期是 2 k ? ?k ? Z ? 最小正周期是 2? 偶函数

周期是 k ? ?k ? Z ? 最小正周期是 ? 奇函数

周期是 k ? ?k ? Z ? 最小正周期是 ? 奇函数

—4—

对 称 性

对 称 轴 对 称 点

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

x ? k ? ?k ? Z ?

?k? ,0 ??k ? Z ?
递增区间

? ? ? ? k ? ? ,0 ? ?k ? Z ? 2 ? ?
递增区间

?k? ,0 ??k ? Z ?
递增区间

? ? ? ? k ? ? ,0 ? ?k ? Z ? 2 ? ?

?k ? Z ?
单调性

? ?? ? ? 2 k? ? 2 ,2 k? ? 2 ? ? ?

?2 k?

? ? , 2 k ? ??k ? Z ?

? ? ? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

?k ? Z ?

递减区间

递减区间

递减区间
? ? ??k ? Z ?

?k ? Z ?

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 ,2 k? ? 2 ? ? ?

?2 k? , 2 k?

?k ? , k ? ? ? ? ?k ? Z ?

y ? sin x





y ? cos x

反三角函数性质 函数
y ? arcsin x

y ? arccos x
y ? cos x 在 x ? ?0 , ? ? 的 反 函

y ? arctgx

? ? ?? x ? ?? , ? y ? sin x 在 ? 2 2? 的

? ? ? ? x ? ?? , ? y ? tgx 在 ? 2 2 ? 的反

定义

反函数叫反正弦函数,记作
y ? arcsin x , x ? ?? 1,1?

数 叫 反 余 弦 函 数 , 记 作
y ? arccos x , x ? ?? 1,1?

函数叫反正切函数,记作
y ? arctgx , x ? R

表示一个角的弧度数 意义
? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 , 2 ? 或 ?0, ? ?或 ? ? 2 , ? 2? ? ? 这个角的范围是 ?

③这个角的正弦(或余弦或正切)等于 x 定义 域 值域 单调 性

?? 1,1?
? ? ?? ?? 2 , 2 ? ? ?

?? 1,1? ?0 , ? ?
减函数

R
? ? ? ? ?? , ? ? 2 2?

增函数

增函数

—5—

奇偶 性 常用 等式

奇函数
arcsin( ? x ) ? ? arcsin x

非奇非偶函数
arccos( ? x ) ? ? ? arccos x

奇函数
arctg ( ? x ) ? ? arctgx

arcsin x ? arccos x ?

?
2

y ? arcsin x

图像

反三角函数其它常用等式
? arcsin( ? x ) ? ? arcsin x ? ? arccos( ? x ) ? ? ? arccos x (1) ? ? arctg ( ? x ) ? ? arctgx ? arcctg ( ? x ) ? ? ? arcctgx ?
? sin(arcsin x ) ? x ( x ? 1) ? ? cos(arccos x ) ? x ( x ? 1) (2) ? ? tg ( a r c t g)x? x ? c t g( a r c c t g x x )? ?

? ? ? ? ?? ? ? x , 当 x ? ? ? , ?时, ? 2 2? ? arcsin(sin x ) ? ? ? ? ? x ?, 当 x ? ? ? ? , ? ?时 , ? x ? ? ? ? ? , ? ? , sin x ? sin x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? arccos(cos x ) ? ? x , 当 x ? ?0 , ? ?时 ? ? ? ? x ?, 当 x ? ?0 , ? ?时 , ? x ? ?0 , ? ?, cos x ? cos x ? ? (3) ? ? ? ? ? ? ? ? x , 当 x ? ? ? , ?时, ? ? 2 2? ? ? arctg ( tgx ) ? ? ? ? x ?, 当 x ? ? ? ? , ? ?时 , ? x ? ? ? ? ? , ? ? , tgx ? tg x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2? ? ? 2 2? ? ? ? ? ? x , 当 x ? ?0 , ? ?时 ? arcctg ( ctgx ) ? ? ? ? x ?, 当 x ? ?0 , ? ?时 , ? x ? ?0 , ? ?, ctgx ? ctg x ? ? ?

最简三角方程 方程 解集
a ?1
sin x ? a

?

a ?1 a ?1

?x | x ? 2 k ?

? arcsin a , k ? Z ?
k

?x | x ? k? ? ( ? 1)
?

arcsin a , k ? Z

?

cos x ? a

a ?1

—6—

a ?1 a ?1
tgx ? a

?x | x ? 2 k? ?x | x ? 2 k?
? arctga , k ? Z ?

? arccos a , k ? Z ? ? arccos a , k ? Z ?

?x | x ? k?

解最简三角方程补充公式
(1) sin x ? sin a ? x ? a ? 2 k ? 或 x ? (? ? a ) ? 2 k ? ( k ? Z ) ( 2 ) cos x ? cos a ? x ? a ? 2 k ? 或 x ? ( 2? ? a ) ? 2 k ? ( k ? Z ) ( 3) tgx ? tga ? x ? a ? k ? ( k ? Z ) ( 4 ) ctgx ? ctga ? x ? a ? k ? ( k ? Z )

整理时间:2010 年 11 月 15 日

—7—


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