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14.1.3反证法课件


14.1.3反证法

思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么?
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

反证法:

假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。

反证法的思维方法:
正难则反

归纳总结1
反证法:
假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。

反证法的思维方法:正难则反

例题
例1用反证法证明: 如果a>b>0,那么 a > b

证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b
若 a = b,则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾,

故假设不成立,结论 a > b成立。

试一试
1、证明:在 ?ABC 中,若 ?C 是直 角,则 ?B 一定是锐角。

直角 或______. 钝角 证明:假设结论不成立,则∠B是_____ 直角 时,则_____________ 当∠B是_____ ∠B+ ∠C= 180°
三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________ 矛盾; 钝角 时,则______________ ∠B+ ∠C>180° 当∠B是_____ 三角形的三个内角和等于180° 矛盾; 这与____________________________

综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.

归纳总结2
1、用反证法证题的一般步骤是什么?
(1)假设命题的结论不成立;即假设结论的反面成立 。

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 。

应用反证法的情形:
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论.
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷

多个” ---类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;

2、用反正法证明时,导出矛盾有那几种可能? (1)与原命题的条件矛盾;

(2)与假设矛盾。 (3)与定义、公理、定理、性质矛盾;
(4)与客观事实矛盾.

说明:常用的正面叙述词语及其否定:
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于(>) 小于 (<) 是 都是 只有一 个

不等于

小于或 大于或 等于(≤)等于(≥) 不是
任意的 所有的

没有或 不都是 至少有 两个 至多 有n个 任意两 个

至多有 至少有一 一个 个

至少有 否定 两个

一个也 没有

某个

某些

至少有n 某两 +1个 个

例2 求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,
m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n
2 2

∴ m = 2n ∴ m = 2n ∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4k = 2n ,即n = 2k
假设不成立,故

2

2

2

2

∴n2也是偶数,这与m,n互质矛盾!

2

是无理数。

? ? ? ? ? ?

?

练习 求证:两条相交直线有且只有一个交点. [证明] 假设结论不成立,即有两种可能: 无交点;不只有一个交点. (1) 若直线 a , b 无交点,那么 a∥b 或 a , b 是异面 直线,与已知矛盾; (2) 若直线 a , b 不只有一个交点,则至少有两个 交点 A和 B,这样同时经过点A, B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 故假设不成立,原命题正确.

牛刀小试
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角(如图) 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B

用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A

证明:假设所求的结论不成立,即 < ° ∠A__ < 60 ° ,∠ B__60 < ° ,∠ C __60 则∠A+∠ B+∠ C<180 ° 180 ° 这与三角形的三个内角之和等于 ______________________ 相矛盾 假设 所以______ 不成立, 所求证的结论成立

C

?
?

? ? ? ? ? ?

一、选择题 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下 列哪些作为条件使用 ( ) ①结论相反判断,即假设 ②原命题的结论 ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③ [答案] C [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用,故应选C.

2 .命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) ? A.两个内角是直角 ? B.有三个内角是直角 ? C.至少有两个内角是直角 ? D.没有一个内角是直角 ? [答案] C ? [ 解析 ] “ 最多只有一个 ” 即为 “ 至多一 个”,反设应为“至少有两个”,故应选 C.
?

3 .如果两个实数之和为正数,则这两个 数( ) ? A.一个是正数,一个是负数 ? B.两个都是正数 ? C.至少有一个正数 ? D.两个都是负数 ? [答案] C ? [ 解析 ] 假设两个数都是负数,则两个数 之和为负数,与两个数之和为正数矛盾, 所以两个实数至少有一个正数,故应选C.
?

二、填空题 ? 4 .“任何三角形的外角都至少有两个钝 角 ” 的 否 定 应 是 ______________________________. ? [ 答案 ] 存在一个三角形,其外角最多有 一个钝角 ? [ 解析 ] 全称命题的否定形式为特称命题, 而“至少有两个”的否定形式为“至多有 一个”.故该命题的否定为“存在一个三 角形,其外角最多有一个钝角”.
?

方法小结:
?
?

?
?

1.反证法 假设原命题 不成立 ( 即在原命题的条件下,结 论不成立 ) ,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因 此 说 明 假设错误,从而证明了 原命题成立 ,这种 证明方法叫做反证法. 2.反证法常见矛盾类型 在反证法中,经过正确的推理后“得出矛盾”, 已知条件 所得矛盾主要是指与 矛盾,与 、 数学公理 定义 定理 已被证明了的结论 、 、 公式 或 矛 盾 , 与 公认的简单事实 矛盾.

反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 反设

2.由这个假设 出发 , 经过正确的推理 , 归谬 .. 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).

3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 结论 命题的结论正确 .

运用好反证法的另一个关键是正确对结论进行否定

原结论词 反设词

大于(>) 小于(<) 都是
不大于(≤)不小于(≥)不都是

都不是
至少有一个是

至少n个
至多n-1个

至多n个
至少n+1个

原结论词 反设词

有无穷多个 只有有限多个

存在唯一的 不存在或至少存在两 个

对任意p,使…恒成立 至少有一个p,使…不成立


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