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2015届江苏高考南通市高考模拟密卷(四)(南通市数学学科基地命题)


2015 届江苏高考南通市高考模拟密卷(四)(南通市数学学 科基地命题)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 全集 U ? ?1,2,3,4,5? ,集合 A ? ?1,3, 4? , B ? ?3,5? ,则 CU ( A
B) ?

>.

2. 已 知 复 数 z 满 足 (1 ? i) z ? ?1 ? 5i , ( i 是 虚 数 单 位 ) , 则 复 数 z 的 共 轭 复 数

z=

.

3. 已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料,从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取两瓶中 至少有一瓶是果汁饮料的概率是 .

4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位:支)进行统计,统计时间是 4 月 1 日至 4 月 30 日,5 天一组分组统计,绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图.已知从左到右各长方 形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且第二组的频数为 180,那么该月共销售出的鲜花数(单 位:支)为
频率 组距



a ?1 b ?1 i?4

While i ? 5
a ? a?b b ? a ? 2b i ? i ?1

0 5

10 15 20 25 30 日期 (第 4 题图)

End While Print b . (第 5 题图) .

5. 如图程序运行的结果是 6. 顶点在原点且以双曲线 7. 给出下列命题:

x2 ? y 2 ? 1 的右准线为准线的抛物线方程是 3

(1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; 第 1 页,共 18 页

(4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号是 8. 已知 f ( x) ? 3sin(2 x ? 立,则 ? = .

π π ) ,若存在 ? ? (0, ) ,使 f ( x ? ? ) ? ? f (? ? x) 对一切实数 x 恒成 6 2
. .

? ?2x-y≥0, 9. 设实数 x, y, b 满足?y≥x, , 若 z=2x+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 ? ?y≥-x+b
10. 若 x ? 0, y ? 0, 则
x? y x? y

的最小值为



→ → 11. 在 Rt△ABC 中, CA=CB=2, M, N 是斜边 AB 上的两个动点, 且 MN= 2, 则 CM ·CN 的取值范围为 .

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2+y2=4,P 为圆 C 上一点.若存在一 个定圆 M,过 P 作圆 M 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,当 P 在圆 C 上运动时, 使得∠APB 恒为 60?,则圆 M 的方程为 .

(x1 , f ( x1 ))与原点 重合, Q( x2 , f ( x2 )) 又 13.三次函数 y ? f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 . 且 P
在曲线 y ? 1 ?

2 x ? x 2 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线斜率的最大值的最小值为_________.

14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求 C ; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a ? b 的取值范围. .

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16.(本小题满分 14 分)在正四棱锥 S ? ABCD 中,底面边长为 a ,侧棱长为 2a , P 为侧 棱 SD 上的一点.

SP 6a 3 时,求 的值; PD 18 (2)在(1)的条件下,若 E 是 SC 的中点,求证: BE // 平面APC
(1)当四面体 ACPS 的体积为

S P A B C D

17. (本小题满分 14 分)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知 AB 为直径,且 C 为圆周上靠近 A 的一点, AB ? 2 km, O 为圆心, D 为圆周上靠近 B 的一点, 且 CD ∥ AB . 现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条观光路线, 其中 A 到 C 是圆弧 AC ,C 到 D CD 是线段 .设 ?AOC ? x rad ,观光路线总长为 y km . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)求观光路线总长的最大值. C

D
B

A

O
(第 17 题图)

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18. (本小题满分 16 分) 如图, 设椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 1 , F2 , a 2 b2

点 D 在椭圆上, DF 1

? F1F2 ,

2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点 处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理 由.

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19. (本小题满分 16 分)已知函数 g ? x ? ? a ln x, f ? x ? ? x ? x ? bx .
3 2

(1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ? x ? ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(3)当 b ? 0 时,设 F ? x ? ? ?

? f (? x) x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上 ? g ( x) x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且 此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

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20. (本小题满分 16 分) 已知 a, b 是不相等的正数, 在 a, b 之间分别插入 m 个正数 a1, a2, ?, am 和正数 b1,b2,?,bm,使 a,a1,a2,?,am,b 是等差数列,a,b1,b2,?,bm,b 是等 比数列. a3 5 b (1)若 m=5, = ,求 的值; b3 4 a (2)若 b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在 n (n∈ N*,6≤n≤m)使得 an-5=bn,求 λ 的最小值及此 时 m 的值; (3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m).

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第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域 ................. 内作答 . ... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O 的直径 AB 的延长 线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC,求 证:∠PDE=∠POC. A C
(第 21-A 题图)

E · O B D P

B. (选修4-2:矩阵与变换)若二阶矩阵 M 满足: M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ;

?1 2? ?5 8 ? ??? ?. ?3 4? ?4 6?

(Ⅱ) 若曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ? , 求曲线 C ?
2 2

的方程.

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知点 P(?1 ? 2 cos ? , 2 sin ? ) (其中 ? ? ?0, 2? ?) ,点

P 的轨迹记为曲线 C1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 Q 在曲线
C2 : ? ? 1 2 cos(? ?

?
4

上.
)

(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? 时,求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标.

y D. (选修4-5:不等式选讲)已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)从集合 M ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} 中任取三个元素构成子集 {a, b, c} (1)求 a, b, c 中任意两数之差的绝对值不小于 2 的概率; (2)记 a, b, c 三个数中相邻自然数的组数为 ? (如集合 {3, 4,5} 中 3 和 4 相邻,4 和 5 相邻, ,求随机变量 ? 的分布率及其数学期望 E (? ) . ? ? 2)

23. (本小题满分 10 分)设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子 集.记 an 为所有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an.

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2014 年高考模拟试卷(4)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. {1, 2, 4,5}; 7 . ① ② 2. 2 ? 3i ; ; 8 . 3.

? 12

5 ; 6


4.1200; 9 .

5.14; ;

6. y 2 ? ?6x ; 10 .
2 2

9 4
2 xy 4 xy

. 【 解 析 】

x? y x? y

?

x? y x ? y ? 2 xy

? 1?

2 xy x ? y ? 2 xy

? 1?

?

2 ,当且仅当 x ? y 时,取等号; 2

?3 ? 11. ? ,2? . 【解析】 以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴,建立平面直角坐标系,设 M(x,y), ?2 ? 则 x+y=2,y=2-x,即 M(x, 2-x),又 MN= 2,所以点 N 坐标为(x+1,2-x-1),即 N(x
2 +1,1-x),于是 CM ? CN =x(x+1)+(2-x) (1-x)=2x2-2x+2= 2( x ? ) ?

1 2

3 (0≤x≤1), 2

1 3 时 CM ? CN 取最小值 ,x=0 或 1 时 CM ? CN 取最大值 2,因此 CM ? CN 的取值 2 2 3 ? 2 ? 范围为?2,2?; 12. ( x ?1) ? y 2 ? 1 .【解析】∵当 P 在圆 C 上运动时∠APB 恒为 60°,∴
所以 x= 圆 M 与圆 C 一定是同心圆,∴可设圆 M 的方程为(x-1)2+y2=r2.当点 P 坐标是(3,0)时,设直 线 AB 与 x 轴的交点为 H,则 MH+HP=2,MH= ×

1 1 3 3 r ,AB=2× r ,所以 r +2× r 2 2 2 2

3 =2,解得 r=1,所以所求圆 M 的方程为(x-1)2+y2=1; 2 3 3 2 ' 13. . 【解析】 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , 依题意知 f (0) ? 0且f (0) ? 0 , ∴c ? d ? 0 , 4
故 f ( x) ? ax ? bx , f ( x) ? 3ax ? 2bx ,由 y ? 1 ?
3 2 ' 2

2 x ? x 2 及点 Q 在其上,可设 Q 点

的 坐 标 为 (1 ? cos? ,1 ? sin ? ),? ? [0, ? ] . 由 Q 为 y ? f ( x) 的 一 个 极 值 点 得
3 2 ? ?1 ? sin ? ? a(1 ? cos? ) ? b(1 ? cos? ) , ? 2 ? ?0 ? 3a(1 ? cos? ) ? 2b(1 ? cos? )

? ?a ? 2b ? 显然 cos? ? ?1,? ? ? ,∴ 1 ? cos ? ? ? ,∴ ? 3a ?b ? ? ?

? 2(1 ? sin ? ) (1 ? cos? ) 3 , 3(1 ? sin ? ) (1 ? cos? ) 2

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2b 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? ) ? f '( )? ? , 3a 2 2 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? 3 3 ? ? k OQ ,其最小值为 . 数形结合可求得 ? 2 1 ? cos ? 2 4
∵ a ? 0 ,∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx 存在最大值 f (?
' 2
'

14.92. 【解析】易知 d=0,成立. 当 d>0 时, a54 ? a1 ? 53d ? 2014? a1 ? 2014? 53d

ak ? a54 ? ( k ? 54 )d ? 2014? ( k ? 54 )d

a54 ? a1ak ? ( 2014? 53d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 53( 38 ? d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 2014? 2014
2

( 38 ? d )?2014? ( k ? 54d )? ? 38? 2014

? ( k ? 54 )d 2 ? 38( k ? 107)d ? 0 ? ( k ? 54 )d ? 38( k ? 107)
kd ? 54d ? 38d ? 38? 107 ? ( d ? 38 )k ? 54 ? 38?107
k? 54 d ? 38 ? 107 54( d ? 38 ) ? 54 ? 38 ? 38 ? 107 38 ? 53 38 ? 53 ? ? 54 ? ? 54 ? ? N* d ? 38 d ? 38 d ? 38 38 ? d

又? ?

?a1 ? 2014? 53d ? 53( 38 ? d ) ? 0 ? 38 ? d ? 0 ?d ? 0

? 0 ? 38 ? d ? 38

?38 ? d ? 1, 2,19 , ? d ? 3 7 , 3 6 , ,所以公差 19 d 的所有可能取值之和为 92.
二、解答题 15. (1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) , 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? ; 3 (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a ? b ? (sin A ? sin B) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? 3 cos ? , 3 3

?

?
3

?? ?

?
3



3 1 ?a?b? 3. ? cos ? ? 1 , 2 2

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法二: a ? b ? sin A ? sin B ? sin A ? sin(

2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 3 2 2 6

0? A?

1 ? 3 2? ? ? 5? ?a?b? 3 . ,? ? sin( A ? ) ? 1,? , ? A? ? 2 6 2 3 6 6 6

16. (1)设 PD ? x ,设 P 作 PH ? BD 于 H ,

平面SBD ? 平面ABCD 且 BD 为交线,

则 PH ? 平面 ABCD ,又 SO ? 平面ABCD ? PH // SO , 在 Rt ?SOB 中, SO ?

SB 2 ? BO 2 ?

6 a, 2

PH PD PD ? SO ? ? PH ? ? SO SD SD

x?

6 a 3 2 x, 2a 2

1 1 6 3 6 3 ?VSPAC ? VS ? ACD ? VP ? ACD ? ? ( ? a ? a)( a? x) ? a , 3 2 2 2 18
解得 x ?

SP 2 2 ? ? 2. a? PD 1 3

(2)取 SP 中点 Q ,连结 QE, BQ , 则 EQ / / PC, EQ ? 平面PAC,PC ? 平面PAC,? EQ / / 平面PAC , 则 BQ / / PO, BQ ? 平面PAC,PO ? 平面PAC,? BQ / / 平面PAC , 而 EQ与BQ 为平面 BEQ 内的两条相交直线,?平面BEQ // 平面PAC , 而 BE ? 平面BEQ ,? BE // 平面APC . 【注】第(2)问,也可以连结 ED,ED 交 CP 于 Q,用平几知识证明 Q 为 ED 中点,进而 证明 OQ∥BE,从而获证. 17.(1)由题意知, AC ? x ?1 ? x , CD ? 2cos x ,因为 C 为圆周上靠近 A 的一点, D 为圆周 上靠近 B 的一点,且 CD // AB ,所以 0 ? x ? 所以 y ? x ? 2cos x , x ? ? 0,

? , 2

? ?? ? . ? 2? (2)记 f ? x ? ? x ? 2cos x ,则 f ?( x) ? 1 ? 2sin x ,

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令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 列表 x

? , 6
(0, + 递增

f ?( x )
f (x) 所以函数 f ? x ? 在 x ? 即 f( )?

? ) 6

? 6
0 极大值

(

? ? , ) 6 2

- 递减

? 6

? ? 3, 6

π 处取得极大值,这个极大值就是最大值, 6

答:观光路线总长的最大值为

? ? 3 千米. 6

2 2 2 18. (1)设 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,其中 c ? a ? b ,



F1F2 DF1

? 2 2 ,得 DF1 ?

F1F2 2 2

?

2 c. 2

从而 S?DF1F2 ?

1 2 2 2 DF1 ? F1F2 ? c ? , 故 c ? 1. 2 2 2
9 3 2 2 2 2 2 ? DF1 ? F1 F2 ? ,因此 DF2 ? ,由 DF . 1 ?F 1F 2 得 DF2 2 2 2

从而 DF1 ?

所以 2a ? DF1 ? DF2 ? 2 2 ,故 a ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 1 . 因此,所求椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1相交, P 1 ? x1, y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 是两个交 2

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C 的切线,且 F1 P ? F2 P2 由圆和椭圆的对称性,易知 点, y1 ? 0, y2 ? 0 , F1 P 1 , F2 P 2 是圆 1

x2 ? ? x1, y1 ? y2, PP 1 2 ? 2 | x1 | ,
由(1)知 F , 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0 ? ,所以 F 1P 1 ? ? x1 ? 1, y1 ? , F2 P 2 ? ? ? x1 ? 1, y1 ?

? F2 P2 得 ? ? x1 ? 1? ? y12 ? 0 , 再由 F1 P 1
2

由椭圆方程得 1 ? 解得 x1 ? ?

x12 2 ? ? x1 ? 1? ,即 3x12 ? 4x1 ? 0 , 2

4 或 x1 ? 0 . 3

当 x1 ? 0 时, P 1, P 2 重合,此时题设要求的圆不存在. 当 x1 ? ?

4 C ,设 C ? 0, y0 ? 时,过 P 1, P 2 分别与 F 1P 1 , F2 P 2 垂直的直线的交点即为圆心 3 1 5 y1 ? y0 y1 ? ? ?1, 而 y1 ? x1 ? 1 ? , 故 y0 ? . 3 3 x1 x1 ? 1

由 CP 1 ?F 1P 1, 得

圆 C 的半径 CP 1 ? ??

4 2 ? 4? ?1 5? . ? ?? ? ? ? 3 ? 3? ?3 3?
2 2

2

2

5 ? 32 ? 综上,存在满足条件的圆,其方程为 x ? ? y ? ? ? . 3? 9 ?
3 2 2 19.(1)由 f ?x? ? x ? x ? bx 得 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ,因 f ?x ? 在区间 ?1,2? 上不是单调函数.

所以 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b 在 ?1,2? 上最大值大于 0,最小值小于 0,
2

1? 1 ? f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ? 3? x ? ? ? b ? , 3? 3 ?
2

2

? f ??x ?max ? 16 ? b ,? ?16 ? b ? ?5 . ?? ? ? ? f x ? 5 ? b min ?
(2)由 g ?x? ? ? x ? ?a ? 2?x ,得 ?x ? ln x ?a ? x ? 2 x ,
2 2

? x ? ?1, e?,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 .

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?a ?

? x2 ? 2x ? x2 ? 2x 恒成立,即 a ? ? ? x ? ln x ? ? . x ? ln x ? ? min
x2 ? 2x ?x ? 1??x ? 2 ? 2 ln x ? , , ?x ? ?1, e?? ,求导得 t ??x ? ? x ? ln x ?x ? ln x ?2

令 t ?x ? ?

当 x ? ?1, e? 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ??x ? ? 0 .

? t ? x ?在 ?1, e? 上是增函数,?tmax ?x? ? t ?1? ? ?1 .
? a ? ?1 .

?? x3 ? x 2 , x ? 1 (3)由条件, F ?x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1
假设曲线 y ? F ?x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧,
3 2 不妨设 P?t , F ?t ???t ? 0? ,则 Q ? t , t ? t ,且 t ? 1 ,

?

?

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0 ,

? ?t 2 ? F ?t ??t 3 ? t 2 ? ? 0

?*?

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 是否有解.
2 3 2 3 2 4 2 ①当 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t ? ? ?t ? t ?? t ? t ? ? 0 ,化简 t ? t ? 1 ? 0 ,此方程无解;

2 3 2 ②当 t ? 1 时,方程 ?*? 为 ? t ? a ln t t ? t ? 0 ,即

?

?

1 ? ?t ? 1? ln t a

设 h?t ? ? ?t ? 1?ln t ?t ? 1? ,则 h??t ? ? ln t ? ? 1 , 显然,当 t ? 1 时, h??t ? ? 0 ,即 h ?t ? 在 ?1,??? 上为增函数.

1 t

? h?t ?的值域为 ?h?1?,???,即 ?0,??? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解.
? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标
原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 20. (1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, b-a 则 d= ,q= 6
6

b . a 第 14 页,共 18 页

a+b a3=a+3d= ,b3=aq3= ab. 2 a3 5 b 1 因为 = ,所以 2a-5 ab+2b=0,解得 =4 或 . b3 4 a 4 λ-1 λ-1 (2)因为 λa=a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an=a+ a× n. m+1 m+1 因为 λa=a× q
m+1

1 n ,所以 q=λm+1,从而得 bn=a× λm+1.

n (λ-1)(n-5) 因为 an-5=bn,所以 a+ × a=a× λm+1. m+1 n (λ-1)(n-5) m + 1(*) 因为 a>0,所以 1+ =λ . m+1 (λ-1)(n-5) 因为 λ,m,n∈ N*,所以 1+ 为有理数. m+1 n 要使(*)成立,则 λm+1必须为有理数. 因为 n≤m,所以 n<m+1. n m + 1为无理数,不满足条件. 若 λ=2,则 λ 同理,λ=3 不满足条件. n 2n 2n 2n m + 1 m + 1 m 当 λ=4 时,4 =2 .要使 2 +1为有理数,则 必须为整数. m+1 又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 3(n-5) 所以 1+ =2,从而解得 n=15,m=29. m+1 综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和. Sn 先证:若{cn}为递增数列,则{ }为递增数列. n Sn nbn+1 证明:当 n∈N*时, < =bn+1. n n Sn n+1 Sn Sn+1 Sn 因为 Sn+1=Sn+bn+1>Sn+ = Sn,所以 < ,即数列{ }为递增数列. n n n n+1 n

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Sn 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ }为递减数列. n Sm+1 Sn ①当 b>a 时,q>1.当 n∈N*,n≤m 时, > . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q-1 q-1 aqm 1-a aqn-a 即 > ,即 > . n n m+1 m+1


b-a + 因为 b=aqm 1,bn=aqn,d= , m+1 bn-a 所以 d> ,即 a+nd>bn,即 an>bn. n Sm+1 Sn ②当 b<a 时,0<q<1,当 n∈N*,n≤m 时, < . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) q-1 q-1 即 < . n m+1


aqm 1-a aqn-a 因为 0<q<1,所以 > .以下同①. n m+1


综上, an>bn(n∈N*,n≤m). 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.A.因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, M ? 所以,∠PDE=∠POC.

?1 2? ?5 8 ? ??? ? ?3 4? ?4 6?
? ?2 1 ? A? ? ?2 , ? A ? ? 3 1? ? 3 4 ? ? ?2 2?

B . ( 1 ) 设

?1 2? A?? ? , 则 ?3 4 ?

1 2

?1



? ?2 1 ? ?5 8 ? ? ? ? ? 2 1? ?M ? ? 3 1 ? ? ? ? 4 6 ? ? ? ? ?1 1? ?2 2?
(2)

? x ? ? x? ? ? x ? ? x? ? ? 1?1 ? ? x? ? M ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ?1 ? ? ? ? ?? ? , ? y ? ? y?? ? y ? ? y ? ? ? ? 1 2 ? ? y ??
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即?

? x ? x? ? y?, ? y ? ? x? ? 2 y?,
2 2

代入 x ? 2 xy ? 2 y ? 1可得

? x? ? y ? ?

2

? 2 ? x? ? y? ?? ? x? ? 2 y? ? ? 2 ? ? x? ? 2 y? ? ? 1 ,即 x?2 ? 4x?y? ? 5 y?2 ? 1 ,
2

故曲线 C ? 的方程为 x ? 4 xy ? 5 y ? 1.
2 2

C.(Ⅰ)曲线 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,极坐标方程为 ? 2 ? 1 ? 2? cos? , 曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ; (Ⅱ) 曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的坐标为 (0, ?1) ,极坐标为 (1, D.因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ . yz zx z y x z

3? ). 2

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22. (1)从 9 个不同的元素中任取 3 个不同的元素,为古典概型. 记“ a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2”为事件 A,
3 其基本事件总数为 n ? C9 .

3 由题意, a , b, c 均不相邻,利用插空法得,事件 A 包含基本事件数 m ? C7 ,

所以, a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率为 (2)

5 . 12

?
P

0

1

2

5 12

1 2

1 12

E(? ) ? 0 ?

5 1 1 2 . ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

23. (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 第 17 页,共 18 页

所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 , C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,n 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

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