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四川省成都市2012-2013学年高二数学上学期期末模拟试题 理 新人教A版


望子成龙学校高二上数学期终摸拟题
一.选择题: (60 分) 1. 完成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收入 家庭中选出 100 户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况,宜采用的抽样方法依次是( A.①简单随机抽样,②系统抽样 C.①系统抽样,②分层抽样 )

/>
B.①分层抽样,②简单随机抽样 D.①②都用分层抽样

答: ∵①是由差异明显的几部分组成, B. 适用于分层抽样, 而②总体中的个体性质相似, 样本容量较小,适用于简单随机抽样。 2. 已 知 α , β , γ ( ) A.“若 a∥b,a⊥α ,则 b⊥α ”是随机事件 B.“若 a∥b,a? α ,则 b∥α ”是必然事件 C.“若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ⊥β ”是必然事件 D.“若 a⊥α ,a∩b=P,则 b⊥α ”是不可能事件 答:D。∵若 b⊥α ,又 a⊥α ,则必有 a∥b,与 a∩b=P 矛盾。 3.若右边的程序框图输出的 S 是 62,则条件①可为 A、m≤5 B、m≤6 C、m≤7 D、m≤8 答:D。 4.若不同直线 l1,l2 的方向向量分别为 μ ,v,则下列直线 l1,l2 中既不平行也不垂直的是 ( ) A.μ =(1,2,-1),v=(0,2,4) B.μ =(3,0,-1),v=(0,0,2) C.μ =(0,2,-3),v=(0,-2,3) D.μ =(1,6,0),v=(0,0,-4) 答:B,∵(A)与(D)中, u ? v ? 0 ? u ? v 。 (C)中 u ? ?v ? u ? v 。 5.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( A.至少有一个黑球与都是黑球 Z XXK]B.至少有一个黑球与至少有一个红球 C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球 ) 是不重合平面,a,b 是不重合的直线,下列说法正确的是

答:C。∵(A)与(]B)中均有交事件,“都是黑球”与“一黑一红”,而(D)是对立事件。 ( ) 6.袋中有红色、黄色、绿色球各 1 个,每次任取 1 个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同 的概率是( )A.
2 27

B.

1 9

C.

2 9

D.

1 27

1

答:B,此为古典概型,基本事件:相当于红、黄、绿三球去占三个座位(可重复) ,第一 个座位有三种不同取法,第二个座位有三种不同取法, ,第三个座位有三种不同取法,由乘 法计数原理,总共有 n ? 3 ? 3 ? 3 ? 27 种不同取法,而发生事件:球的颜色全相同有三种不同 取法,即 m ? 3 ,∴

p?

m 3 1 ? ? n 27 9

7.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是 ..

3

3

3

3

A. 1
正视图 2 俯视图 侧视图

B.

2 正视图 1 俯视图

C.
侧视图

1 正视图 2 俯视图

D.
侧视图

2 正视图 1 俯视图

侧视图

答:D 8.为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度,随机选取了 8 天,统计上午 8:00-10:00 的点击 量。茎叶图如图,设甲、乙的中位数分别为 x1 , x2 ,方差分别为

D1 , D2 ,则(

) B. x1 ? x2 , D1 ? D2 D. x1 ? x2 , D1 ? D2

A. x1 ? x2 , D1 ? D2 C. x1 ? x2 , D1 ? D2 答: D. ∵ x1 ?

75 ? 77 72 ? 74 ? 76, x2 ? ? 73 , x1 ? x2 。 2 2

又通过计算知: x1 ? x2 ? 75 ,且通过观察,乙的点击量在 75 左右的波动比甲大,顾方差也更大,∴ D1 ? D2 ,选 D. 9.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1D1 的中点,Q 是 A1B1 上的任意一点,E、 F 是 CD 上的任意两点,且 EF 的长为定值.现有如下结论: ①异面直线 PQ 与 EF 所成的角是定值; ②点 P 到平面 QEF 的距离是定值; ③直线 PQ 与平面 PEF 所成的角是定值; ④三棱锥 P-QEF 的体积是定值; ⑤二面角 P-EF-Q 的大小是定值. 其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 答: 解析: D ①错, ∵异面直线 PQ 与 EF 所成的角即为 ?AQP , 此角随 Q 点的移动而变化。

2

②正确,∵点 P 到平面 QEF 的距离即点 P 到平面 A B1CD 的距离,即 PA1 。③错。∵Q 点到 1 面 PEF 的距离是一个常数(∵ A B1 ?平面PEF ) ,而 PQ 是一个变量。④正确,∵Q 点到面 1

PEF 的距离是一个常数,∴三棱锥 P-QEF 的体积是定值。⑤正确,∵二面角 P-EF-Q 的平
面角即为 ?A DP 。 1 10.一个十字路口的交通信号灯,红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为 30 秒、 5 秒、 60 秒,

则某辆车到达路口,遇见绿灯的概率为(


1 D. 19

1 A. 95

12 B. 19

10 C. 19

答: B. 11.设三棱锥错误!未找到引用源。的顶点错误!未找到引用源。在平面错误!未找到引用 源。上的射影是错误!未找到引用源。,给出以下命题: ①若错误!未找到引用源。两两互相垂直,则错误!未找到引用源。是错误!未找到引用 源。的垂心 ②若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是斜边错误!未找到引用源。上的中 点,则错误!未找到引用源。 ③若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的外心 ④若错误!未找到引用源。到错误!未找到引用源。的三边的距离相等,则错误!未找到 引用源。为错误!未找到引用源。的内心 其中正确命题的是( ) A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 答:C 12.某几何体的一条棱长为 11 , 在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 10 的线段, 在该几何体的侧视图和俯视图中,这条棱的投影分别是长为 x 和 y 的线段,则 x ? y 的 最大值为( A、 2 2 答:D 二.填空题: (16 分) 13. 一组数据中共有 7 个整数:m,2,2,2,10,5,4,且 2 ? m ? 10 ,若这组数据的平均 ) B、 2 3 C、 4 D、 2 6

3

数、中位数、众数依次成等差数列,则 m 的值为

.(答:3) .

14.在区间 ? ?1, 2? 上随机取一个数 a, 则函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? a 有零点的概率为 (答:

2 ) 3

15.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是________.

【答:10】 16. .以下 5 个命题: (1)设 a , b , c 是空间的三条直线,若 a ? c , b ? c ,则 a // b ; (2)设 a , b 是两条直线, ? 是平面,若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; (3)设 a 是直线, ? , ? 是两个平面,若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? ; (4)设 ? , ? 是两个平面, c 是直线,若 c ? ? , c ? ? ,则 ? // ? ; (5)设 ? , ? , ? 是三个平面,若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中正确命题的序号是 三.解答题(74 分) . 【答: , 】 (2)(4)

17.(本题 12 分)已知一几何体的三视图如图(甲)示, (Ⅰ)在已给出的一个面上(图乙) ,用黑色中性笔画出该几何体 的直观图; (Ⅱ)设点 F、H、G 分别为 AC , AD ,DE 的中点,求证:FG 错误! 未找到引用源。平面 ABE; (Ⅲ)求该几何体的全面积错误!未找到引用源。 . 解: (1)该几何体的直观图如图示: (2)证明:由图(甲)知四边形 CBED 为正方形 ∵F、H、G 分别为 AC,AD ,DE 的中点 ∴FH//CD, HG//AE ∵CD//BE ∴FH//BE ∵ BE ? 面 ABE , FH ? 面 ABE ∴ FH // 面 ABE 同理可得 HG // 面 ABE 又∵ FH ? HG ? H ∴平面 FHG//平面 ABE 又∵ FG ? 面 FHG ∴FG//平面 ABE (3)由图甲知 AC ? CD,AC ? BC, BC ? CD
B

A

C

D

B (图乙)

E

C

D

E

A

H F C G B E D

4

∴CD ? 平面 ACB, 同理可得 ED ? AD

∴CD ? AB

∵ S?ACB ? S?ACD ? 2 , S?ABE ? S?ADE ? ∴该几何体的全面积:

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ,错误!未找到引用源。 2

S ? S?ACB ? S?ACD ? S?ABE ? S?ADE ? S? CBED =2+2+4 2 +4= 4(2 ? 2) .
18. (本题 12 分)某班同学利用春节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n 人进行 了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否 则称为“非低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (2)从年龄段在 [40,50) 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率. 解: (1)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为

0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 5

?????2 分

120 200 (3 (4 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 分)所以 n ? ? 1000 . 分) 0.6 0.2 由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 ,所以
第一组的人数为

5

195 (6 ? 0.65 . 分) 300 第四组的频率为 0.03? 5 ? 0.15,所以第四组的人数为, 1000 ? 0.15 ?150 所以 a ?150 ? 0.4 ? 60 . ????? 8分 p?
(2) 因为 [40, 45) 岁年龄段的 “低碳族” [45,50) 岁年龄段的 与 “低碳族” 的比值为 60:30 ? 2:1, 所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40, 45) 岁中有 4 人, [45,50) 岁中有 2 人. ???? 10 分 设 [40, 45) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [45,50) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为领 队的有 ( a, b) 、( a, c ) 、( a , d ) 、( a , m ) 、( a, n) 、(b, c) 、(b, d ) 、(b, m ) 、(b, n) 、(c, d ) 、(c, m ) 、 (c, n) 、( d , m ) 、( d , n) 、( m, n ) , 15 种; ( 共 其中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的有 ( a , m ) 、 a, n) 、 (b, m ) 、 (b, n) 、 (c, m ) 、 (c, n) 、 ( d , m ) 、 ( d , n) ,共 8 种. ????? 13 分 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率为 P ? (不列举,直接算答案不扣分,其它酌情给分) 19(本题 12 分).如图,在棱长为 1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC1 上的一点,

8 . 15

????? 14 分

CP ? m 。
A (1)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 。1 (2)在线段 AC1 上是否存在一定点 Q ,使得对任意的 m , D1Q 在平 1

D1 B1

C1

P D C B

面 APD1 内的射影垂直于 AP ,并证明你的结论。

???? ??? ? 解: (1)建系,平面 BDD1B1 的一个法向量 AC ? ? ?1,1,0 ? , AP ? ? ?1,1, m ?
??? ??? ? ? cos AC, AP ? 2 2? 2?m
2

A

,?sin ? ?

2 2 ? m2



2 1 ? 3 2,? m ? m 3 ??? ???? ? ? ???? ???? ? (2)由题意知, AP ? D1Q 。设 AQ ? ? AC1 , 1 1 tan ? ?

?? x ?1, y, z ?1? ? ? ? ?1,1,0? ,
?x ? 1? ? ? ?? y ? ? ? z ?1 ?

??? ? ???? ? ?Q ?1 ? ? , ? ,1? ,? D1Q ? ?1 ? ?, ?,0 ? , AP ? ? ?1,1, m?

6

??? ???? ? ? 1 ?1 1 ? ? AP ? D1Q ? 0,? ? ? ,? Q ? , ,1? 2 ?2 2 ?
20. (本题 12 分)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛,比赛得 分情况记录如下(单位:分) : 甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33 乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46 (1)根据得分情况记录,作出两名篮球运动员得分的茎叶图,并根据茎叶 图,对甲、乙两运动员得分作比较,写出两个统计结论; (2)设甲篮球运动员 10 场比赛得分平均值 x ,将 10 场比赛得分 xi 依次 输入如图所示的程序框图进行运算,问输出的 S 大小为多少? 并就 S ? S ? ( xi ? x)2 说明 S 的统计学意义;
开始

S ?0
i ?1
输入 xi

i ? i ?1

i ?10?




S?

S 10

输出 S 结束

解: (1)茎叶图如下图

????????????(2 分) 统计结论:①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值; ②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中; ③甲运动员得分的中位数为 27,乙运动员得分的中位数为 28.5; ④甲运动员得分基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近.乙运动员得分分 布较为分散. (给分说明:写出的结论中,1 个正确得 2 分)??????(6 分) (2) x ? 27, S ? 35 .???????(11 分)

S 表示 10 场比赛得分的方差,是描述比赛得分离散程度的量, S 值越小,表示比赛得分
比较集中, S 值越大,表示比赛得分越参差不齐.???(13 分) 21.(本题 12 分)若点 ? p, q ? ,在 p ? 3, q ? 3 中按均匀分布出现.(1)点 M ( x, y ) 横、纵

7

坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标,则点 M ( x, y ) 落在上述区 域的概率?(2)试求方程 x ? 2 px ? q ? 1 ? 0 有两个实数根的概率.
2 2

22.(本题 14 分)如图(1)所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD =2,E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(图 (2)).(1)若点 Q 是线段 PB 的中点,求证:PC⊥平面 ADQ; (2)求二面角 G-EF-D 的余弦值. (3)若 K 为 ? PAD 的重心,H 在线段 EG 上,KH∥平面 PDC,求出 H 到面 PAC 的距离

[解析] (1)解:连接 DE,EQ, ∵E、Q 分别是 PC、PB 的中点,∴EQ∥BC∥AD. ∵平面 PDC⊥平面 ABCD,PD⊥DC,∴PD⊥平面 ABCD.

8

∴PD⊥AD,又 AD⊥DC,∴AD⊥平面 PDC,∴AD⊥PC. 在△PDC 中,PD=CD,E 是 PC 的中点, ∴DE⊥PC,∴PC⊥平面 ADEQ,即 PC⊥平面 ADQ.。。。。。 分 。。。。。4 ( 2 ) 作 AD 中 点 M, 连 FM , GM , ? AD ? 平面PDC , EF ? PD ? EF ? FM ??DFM=? 即 为 二 面 角 G-EF-D 的 平 面 角 , 由 已 知

? ? 45?, cos ? ? ?
P

2 。。。。。 。。。。。。4 分 2

F

E

D C M A B G

(3) 连 AF,且 K 为 ? PAD 的重心, K在AF上, ∴ 又连 BE, 作 连 KJ, ? KJ ? EF , 又作

BJ 2 AK BJ 2 ? ,? ? ? JE 1 KF JE 1

AM BN 2 ? ? ,同理, MK ? DF ,?面MNJK ? 面PCD ,且 MD NC 1 HE NC 2 ? ? ,即点 H 到面 PAC 与线段 EG 交于 H,连 KH, KH∥平面 PDC, ? HN ? EC ? GE GC 3 2 的距离是点 G 到面 PAC 的距离的 ,又 G 为 BC 的中点,点 G 到面 PAC 的距离又是点 B 到面 3 1 1 PAC 的距离的 ,∴H 到面 PAC 的距离是点 B 到面 PAC 的距离的 ,由等体积法,设 B 到面 2 3 1 1 2 2 PAC 的距离为 h, ∵ VB?PAC ? VP? ABC , S? PAC ? h ? S ? ABC ? PD ,计算出 h= ,∴H 到面 3 3 3 2 3 PAC 的距离为 。。6 分 。 9

9

P

F K D M A J

E

H

C

N
G B

10


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