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广东仲元中学2016届高三九月月考数学试卷


广东仲元中学 2016 届高三九月月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U 和集合 A,B 如图所示,则(?UA)∩B=( )

A.{5,6}

B.{3,5,6}

C.{3}D.

{0,4,5,6,7,8}

2. A.﹣2i

=( ) B.﹣i C.1﹣i D.1+i

3.在如下的四个电路图中,记:条件 M:“开关 S1”闭合;条件 N:“灯泡 L 亮”,则满足 M 是 N 的必要不充分条件的图为( )

A.

B.

C.

D. 4.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 2 B. 命题“x>1,则 x >1”的否命题 2 C. 命题“若 x=1,则 x +x﹣2=0”的否命题 2 D.命题“若 x >0,则 x>1”的逆否命题 5.等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,若 a1+1,a3,a6 成等比数列,则 Sn=( 2 A.n(n+1) B. n C.n(n﹣1) D.2n )

6.已知向量 , 满足| ﹣ |= A. B. 2

, ? =1,则| + |=( C.
1

) D.10

7.在区间[0,1]内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为( A. B. C. D.



8.在△ ABC 中,已知 sinC=2sinAcosB,那么△ ABC 一定是( A.等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D.等边三角形



9.已知函数 f(x)及其导数 f′(x) ,若存在 x0,使得 f′(x0)=f(x0) ,则称 x0 是 f(x)的 一个“和谐点”,下列函数中①f(x)=x ;②f(x)= 存在“和谐点”的是( A.①② ) B.①④
2

;③f(x)=lnx;④f(x)=x+ ,

C.①③④

D.②③④

10.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D﹣ABC 的体积 为( ) A. B. C. ) D.

11.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( A.

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3

12.若函数 f(x)=alnx+ 在区间(1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,﹣1] C.[1,+∞) D.[2,+∞)



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 A、B 分别是椭圆 =1(a>b>0)的左、右顶点,点 P 在 C 上且异于 A、B 两

点,若直线 AP 与 BP 的斜率之积为﹣ ,则 C 的离心率为____________.

14. 定义一种新运算“?”: S=a?b, 其运算原理如图 3 的程序框图所示, 则 3?6﹣5?4=_____.
2

15. 设奇函数 ( f x) 在 (0 , +∞) 上为单调递增函数, 且( f 2) =0, 则不等式 的解集为___________________.

≥0

16.已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+1(n∈N ) ,则 an=_____________.

*

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现 从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (Ⅰ)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, 求 a、b、c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日 用品被取出的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等 的概率.

3

18. (12 分)已知 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? n ?1 ( n ? N ). (1)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,当 n ? 1 时, f ( A) ? 3 , 且 c ? 3 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求 b 的值. (2)若 f ( x ) 的最大值为 an ( an 为数列 ?an ? 的通项公式) ,又数列 ?bn ? 满足 bn ? 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

?

1 , an an ?1

19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为长方形, AD=2AB,点 E、F 分别是线段 PD、PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAB; (Ⅱ)在线段 AD 上是否存在一点 O,使得 BO⊥平面 PAC,若存在,请指出点 O 的位置, 并证明 BO⊥平面 PAC;若不存在,请说明理由.

20. (12 分)如图,已知抛物线 C:y =2px 和⊙M: (x﹣4) +y =1,过抛物线 C 上一点 H (x0,y0)作两条直线与⊙M 相切于 A、B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到 抛物线准线的距离为 .

2

2

2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率.

4

21. (12 分)已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx,a∈R. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围.

【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连接 EC、CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (2)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 10 分)

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, ) ,求|PA|+|PB|.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 24.已知一次函数 f(x)=ax﹣2. (1)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (2)若不等式|f(x)|≤3 对任意的 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的范围.
5

广东仲元中学 2016 届高三九月月考数学试卷(文科)答案
一. 选择题: ABCAA CDBCD AC 二. 填空题: 13.

6 3
16. 2
n﹣1

14. -3

15.

[?2,0) ? (0,2]



三.解答题: 17. 解: (I)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,即 a+b+c=0.35. 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= 从而 a=0.35﹣0.1﹣0.15=0.1 所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (II)从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件,所有可能的结果为: {x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3, y2},{y1,y2} 设事件 A 表示“从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件,等级系数相等”,则 A 包 含的基本事件为: {x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共 4 个, 又基本事件的总数为:10 故所求的概率 P(A)= =0.4 =0.1 =0.15

6

18.

(1)? f ( x) ? ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? n ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) ? n ? 1 ,……2 分

当 n ? 1 时,由 f ( A) ? 3 得: 2 sin( 2 A ? 又 ?ABC 是锐角三角形,∴ ? 又由 S ?ABC

?
3 ?

) ? 3 ,∴ sin(2 A ?

?
3

)?

2? ? ? ? ∴ 2 A ? ? 即 A ? ,…… 4 分 3 3 3 3 3 3 1 3 3 ? bc sin A ? b ? ? 3 3 得: b ? 4 ,………… 6 分 2 2 2 ? 2A ?

?

?

3 , 2

) ? n ?1, 3 ∴ f ( x) 取最大值为 n ? 1 ,? an ? n ? 1 ………………8 分 1 1 1 1 又 bn ? ……………10 分 ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………12 分 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4
19. 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 为长方形, ∴CD∥AB, ∵EF∥CD,∴EF∥AB, 又∵EF?平面 PAB,AB?平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. …(6 分) (Ⅱ) 在线段 AD 上存在一点 O,使得 BO⊥平面 PAC, 此时点 O 为线段 AD 的四等分点,满足 ∵长方形 ABCD 中, ∠BAO=∠ADC=90°, = ,…(8 分)

(2)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

∴△ABO∽△ADC, ∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°, ∴AC⊥BO, (10 分) 又∵PA⊥底面 ABCD,BO?底面 ABCD, ∴PA⊥BO, ∵PA∩AC=A,PA、AC?平面 PAC ∴BO⊥平面 PAC. (12 分) 20. 解: (1)∵点 M(4,0)到抛物线准线的距离为 ∴p= ,即抛物线 C 的方程为 y =x. (2)∵当∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H(4,2) ,∴kHE=﹣kHF, 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,
2



7





∴ ∴y1+y2=﹣2yH=﹣4. =



=



21. 解: (Ⅰ)在区间(0,+∞)上,



①若 a≤0,则 f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数; ②若 a>0,令 f′(x)=0 得 x= . 在区间(0, )上,f′(x)<0,函数 f(x)是减函数; 在区间 上,f′(x)>0,函数 f(x)是增函数;

综上所述,①当 a≤0 时,f(x)的递减区间是(0,+∞) ,无递增区间; ②当 a>0 时,f(x)的递增区间是 ,递减区间是 .

(II)因为函数 f(x)在 x=1 处取得极值,所以 f′(1)=0 解得 a=1,经检验满足题意. 由已知 f(x)≥bx﹣2,则 令 g(x)= =1+
2

,则
2

易得 g(x)在(0,e ]上递减,在[e ,+∞)上递增, 所以 g(x)min=
22.

,即



解: (1)如图,连接 OC, ∵OA=OB,CA=CB, ∴OC⊥AB. ∴AB 是⊙O 的切线; (2)∵BC 是圆 O 切线,且 BE 是圆 O 割线, 2 ∴BC =BD?BE, ∵tan∠CED= ,∴ .

8

∵△BCD∽△BEC,∴
2


2

设 BD=x,BC=2x.又 BC =BD?BE,∴(2x) =x?(x+6) , 解得 x1=0,x2=2,∵BD=x>0,∴BD=2,∴OA=OB=BD+OD=3+2=5. (10 分) .

23.

解: (Ⅰ)由 .

,可得

,即圆 C 的方程为



可得直线 l 的方程为



所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 . 由于△ =



…(5 分) ,即

.故可设 t1、t2 是上述方程的两个实根,

所以

,又直线 l 过点

, . …(10 分)

故由上式及 t 的几何意义得

24.

解: (1)|f(x)|<4 即为|ax﹣2|<4, 即﹣2<ax<6, 则当 a>0 时,不等式的解集为 当 a<0 时,不等式的解集为 ; . ,

(2)|f(x)|≤3?|ax﹣2|≤3?﹣3≤ax﹣2≤3?﹣1≤ax≤5? ∵x∈[0,1],∴当 x=0 时,不等式组恒成立;

9

当 x≠0 时,不等式组转化为

又∵ ∴﹣1≤a≤5 且 a≠0



? 所求a的取值范围是 [-1,0)? (0,5].

10


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