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1.3 全称量词与存在量词


1.3
1.下列命题中,全称命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行; ③存在一个菱形,它的四条边不相等. A.0 [答案] C B.1 C.2 D.3

[解析] ①②是全称命题,③是特称命题. ) C.存在 x>1,log2x≥0 D.存在 x≤1,log2x>0

2.命题“任意 x>1,log2x<0”的否定是( A.任意 x>1,log2x≥0 [答案] C

B.任意 x≤1,log2x>0

[解析] 全称命题的否定是特称命题,故选 C. )
2

3.给出下列四个命题,其中为真命题的是( A.任意 x∈R,x +3<0 [答案] C
2

B.任意 x∈N,x ≥1

C.存在 x∈Z,使 x5<1

D.存在 x∈Q,x2=3

[解析] 由于任意 x∈R,都有 x2≥0,因而有 x2+3≥3, 所以命题“任意 x∈R,x2+3<0”为假命题; 由于 0∈N,当 x=0 时,x2≥1 不成立, 所以命题“任意 x∈N,x2≥1”是假命题; 由于-1∈Z,当 x=-1 时,x5<1, 所以命题“存在 x∈Z,使 x5<1”为真命题; 由于使 x2=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数, 因此没有任何一个有理数的平方能等于 3,所以命题“存在 x∈Q,x2=3”是假命题.故选 C. 4.下列特称命题中真命题的个数是( )

①存在 x∈R,x≤0;②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;③存在 x∈{x|x 是整数},x2 是整数. A.0 [答案] D B.1 C.2 D.3

[解析] ①②③都是真命题. )

5.下列命题为特称命题的是( A.偶函数的图像关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是异面直线 D.存在实数大于等于 3 [答案] D

[解析] 分清各命题中含有的量词是全称量词还是存在量词,其中选项 A,B,C 都是全称命题. 6.下列命题中是全称命题的是( A.所有的正方形都是菱形 ) B.有两个实数 x,使得 x2+3x+2=0 D.存在一无理数 x,使得 x2 也是无理数

C.存在两条相交直线平行于同一个平面 [答案] A

[解析] B,C,D 是特称命题.

7.下列命题中真命题为________,假命题为________. ①末位是 0 的整数,可以被 2 整除;②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;③有的实数是无限不循环 小数;④有些三角形不是等腰三角形;⑤所有的菱形都是正方形 [答案] ①②③④ ⑤ 8.下列语句:①能被 7 整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数 a 使方程 x2-ax+1=0 成立;④等腰梯形 对角线相等且不互相平分. 其中是全称命题且为真命题的序号是________. [答案] ④ [解析] ①是全称命题,但为假命题,②不是命题,③是特称命题,只有④是全称命题且为真命题. 三、解答题 9.指出下列命题中,那些是全称命题,哪些是特称命题,并判断其真假. (1)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tanx1<tanx2; (3)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数. [解析] (2)是全称命题,(1)(3)是特称命题. (1)存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题. (2)存在 x1=0,x2=π,x1<x2,但 tan0=tanπ,所以该命题是假命题. (3)存在一个函数 f(x)=0,它既是偶函数又是奇函数,所以该命题是真命题. 10.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (2)有些整数只有两个正因数; (3)对任意实数 α,有 sin2α+cos2α=1; (4)存在一条直线,其斜率不存在; (5)对所有的实数 a、b,方程 ax+b=0 都有唯一解. [答案] (1)(2)(4)为特称命题 (3)(5)为全称命题 (2)(3)(4)真 (1)(5)假

[解析] (1)是特称命题.因为垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于 同一条直线.所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题. (2)是特称命题. 因为存在整数 2 只有两个正因数 1 和 2, 所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. (3)是全称命题,由三角函数知识知“对任意 α∈R,sin2α+cos2α=1 都成立”,故此命题是真命题. (4)是特称命题,因为垂直于 x 轴的直线斜率不存在,所以“存在直线 l,l 的斜率不存在”,是真命题. (5)是全称命题,因为 0x+3=0 无解,所以“对任意 a、b∈R,方程 ax+b=0 都有唯一解”,是假命题.


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