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高中数学 2-3 第三章 数系的扩充与复数的概念学案 新人教A版选修1-2


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§3.1.1 数系的扩充与复数的概念 2012.3.28

学习目标 理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念. 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 了解复数的代数表示法 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P60~ P62,找出疑惑之处) 复习 1:实数系、数系的扩充脉络是: → →

→ ? ? 用集合符号表示为:


?

复习 2:判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生回顾根的个数与 ? 的关系) : 2 2 (1) x ? 3x ? 4 = 0 (2) x + 4 x + 5 = 0 2 (3) x + 2 x + 1 = 0 (4) x 2 + 1 = 0

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复数的定义 问题:方程 x 2 + 1 = 0 的解是什么? 为了解决此问题,我们定义 i ? i = i 2 = ?1 ,把新数添进实数集中去,得到一个新的数集,那么 此方程在这个数集中就有解为 . 新知:形如 a + bi 的数叫做复数,通常记为 z = a + bi (复数的代数形式) ,其中 i 叫虚数单位, a 叫实部, b 叫虚部,数集 C = {a + bi | a, b ∈ R} 叫做复数集. 试试:下列数是否是复数,试找出它们各自的实部和虚部。 2 + 3i , 8 ? 4i , 8 + 3i , 6 , i , ?2 ? 9i , 7i ,0

反思:形如 的数叫做复数,其中 和 都是实数,其中 叫做复数 z 的实部, 叫做复数 z 的虚部. 对于复数 a + bi (a, b ∈ R) 当且仅当 时,它是实数;当 时,它是虚数;当 时,它是纯虚数;

用心 爱心 专心

1

探究任务二:复数的相等 若两个复数 a + bi 与 c + di 的实部与虚部分别 相等. a + bi = c + di ? ; a + bi =0 ? . 注意: 注意:两复数 比较大小.

,即:



.则说这两个复数

※ 典型例题 例 1 实数 m 取什么值时,复数 z = m + 1 + (m ? 1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

变式:已知复数 z =

a 2 ? 7a + 6 + (a 2 ? 5a ? 6)i ( a ∈ R) ,试求实数 a 分别取什么值时,分别为(1) 2 a ?1

实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

?实数 (b=0) ? 小结:数集的关系: 复数z ? ?一般虚数(b ≠ 0, a ≠ 0) ?虚数 (b ≠ 0) ?纯虚数(b ≠ 0, a = 0) ? ?

例 2 已知复数 a + bi 与 3 + (4 ? k )i 相等,且 a + bi 的实部、虚部分别是方程 x 2 ? 4 x ? 3 = 0 的两根, 试求: a, b, k 的值.

2

变式:设复数 z = a + bi(a, b ∈ R) ,则 z 为纯虚数的必要不充分条件是( A. a = 0 B. a = 0 且 b ≠ 0 C. a ≠ 0 且 b = 0 D. a ≠ 0 且 b ≠ 0



小结:复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件. ※ 动手试试 练 1. 若 (3x + 2 y ) + (5 x ? y )i = 17 ? 2i ,求 x, y 的值.

练 2. 已知 i 是虚数单位,复数 z = m2 (1 + i) ? m(2 + 3i ) ? 4(2 + i ) ,当 m 取何实数时, z 是: (1)实数; (2) 虚数; (3)纯虚数; (4)零.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 复数的有关概念; 2. 两复数相等的充要条件; 3. 数集的扩充.

用心 爱心 专心

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※ 知识拓展 复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛 盾(数的运算规则、方程求根)对数学发展的推动作用,同时也体现了人类理性思维的作用. 学习评价 ). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 实数 m 取什么数值时,复数 z = m ? 1 + (m + 1)i 是实数( ) A.0 B. ?1 C. ?2 D. ?3 2. 如果复数 a + bi 与 c + di 的和是纯虚数,则有( ) A. b + d = 0 且 a + c ≠ 0 B. b + d ≠ 0 且 a + c = 0 C. a + d = 0 且 b + d ≠ 0 D. b + c = 0 且 b + d ≠ 0 3. 如果 z = a 2 + a ? 2 + (a 2 ? 3a + 2)i 为实数,那么实数 a 的值为( ) B. ?1 或 2 A.1 或 ?2 C.1 或 2 D. ?1 或 ?2 4.若 ( x 2 ? 1) + ( x 2 + 3x + 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是 5. 若 ( x + y ) + ( y ? 1)i = (2 x + 3 y ) + (2 y + 1)i ,则实数 x= ;y= .

课后作业 1. 求适合下列方程的实数与的值: (1) (3x + 2 y ) + (5 x ? y )i = 17 ? 2i (2) ( x + y ? 3) + ( x ? 4)i = 0

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由. (1)实部为 ? 2 的虚数 (2)虚部为 ? 2 的虚数 (3)虚部为 ? 2 的纯虚数

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§3.1.2 班级 姓名

复数的几何意义 2012.3.29

学习目标 1 理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其对应的 点及向量. 2 会求复数的模 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P62~ P64,找出疑惑之处) 复习 1:复数 z = ( x + 4) + ( y ? 3)i ,当 x, y 取何值时 z 为实数、虚数、纯虚数?

( 复习 2:若 ( x + 4) + ( y ? 3)i = 2 ? i ,试求 x, y 的值, ( x + 4) + ( y ? 3)i ≥ 2 呢?)

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复平面 复平面 问题:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,因此,实数可用数轴上的点来表示.类比实 数的几何意义,复数的几何意义是什么呢? 分析复数的代数形式,因为它是由实部 a 和虚部 b 同时确定,即有顺序的两实数,不难 想到有序实数对或点的坐标. 结论:复数与平面内的点或序实数一一对应.
用心 爱心 专心 5

新知: 1.复平面 复平面:以 x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面. 1.复平面 复数与复平面内的点一一对应.

显然,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的几何意义: 2. 复数的几何意义: 一一对应 复数 z = a + bi ←??? 复平面内的点 Z (a, b) ; →
一一对应 → 复数 z = a + bi ←??? 平面向量 OZ ; uuu r 一一对应 → 复平面内的点 Z (a, b) ←??? 平面向量 OZ . uu r 注意:人们常将复数 z = a + bi 说成点 Z 或向量 OZ ,规定相等的向量表示同一复数 相等的向量表示同一复数. 相等的向量表示同一复数

uuu r

3. 复数的模 uuu r 向量 OZ 的模叫做复数 z = a + bi 的模,记作 | z | 或 | a + bi | .如果 b = 0 ,那么 z = a + bi 是一个实数 a , 它的模等于 | a | (就是 a 的绝对值),由模的定义知:
| z |=| a + bi |= r = a 2 + b 2 (r ≥ 0, r ∈ R)

试试:复平面内的原点 (0, 0) 表示 (0, ?1) 表示 ,点 (?2,3) 表示复数

,实轴上的点 (2,0) 表示

,虚轴上的点

反思:复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的. ※ 典型例题 例 1 在复平面内描出复数 2 + 3i , 8 ? 4i , 8 + 3i , 6 , i , ?2 ? 9i , 7i ,0 分别对应的点.

变式:说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为 1).

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小结: 一一对应 复数 z = a + bi ←??? 复平面内的点 Z (a, b) . → 例 2 已知复数 z =
a 2 ? 7a + 6 + (a 2 ? 5a ? 6)i ( a ∈ R) ,试求实数 a 分别取什么值时,对应的点(1) a2 ? 1 在实轴上; (2)位于复平面第一象限; (3)在直线 x + y = 0 上; (4)在上半平面(含实轴)

变式:若复数 z = (m 2 ? 3m ? 4) + (m2 ? 5m ? 6)i 表示的点(1)在虚轴上,求实数 m 的取值; (2) 在右半平面呢?

一一对应 → 小结:复数 z = a + bi ←??? 平面向量 OZ .

uuu r

※ 动手试试 练 1. 在复平面内画出 2 + 3i, 4 ? 2i, ?1 + 3i, 4i, ?3 ? 0i 所对应的向量.

练 2. 在复平面内指出与复数 z1 = 1 + 2i ,z2 = 2 + 3i ,z3 = 3 ? 2i ,z4 = ?2 + i 对应的点 Z1 ,Z 2 , Z3 , Z 4 .试判断这 4 个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

用心 爱心 专心

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 复平面的定义; 2. 复数的几何意义; 3.复数的模. ※ 知识拓展

学习评价 ). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题(1)复平面内,纵坐标轴上的单位是 i (2)任何两个复数都不能比较大小(3) 任何数的平方都不小于 0(4)虚轴上的点表示的都是纯虚数(5)实数是复数(6)虚数是 复数(7)实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2. 对于实数 a, b ,下列结论正确的是( ) A. a + bi 是实数 B. a + bi 是虚数 C. a + bi 是复数 D. a + bi ≠ 0 3. 复平面上有点 A, 其对应的复数分别为 ?3 + i 和 ?1 ? 3i , 为原点, B O 那么是 ?AOB 是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 4. 若 z = 1 + 2i ,则 | z |= 5. 如果 P 是复平面内表示复数 a + bi (a, b ∈ R) 的点,分别指出下列条件下点 P 的位置: (1) a > 0, b > 0 (2) a < 0, b > 0 (3) a = 0, b ≤ 0 (4) b > 0

课后作业 1.实数取什么值时,复平面内表示复数 z = (m 2 ? 8m + 15) + (m2 ? 5m ? 14)i 的点(1)位于第四 象限?(2)位于第一、三象限?(3)位于直线 y = x 上?

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2. 在复平面内,O 是原点,向量 OA 对应的复数是 2 + i (1)如果点 A 关于实轴的对称点为点 uuu r B,求向量 OB 对应的复数.(2)如果(1)中点 B 关于虚轴的对称点为点 C,求点 C 对应的 复数.

uuu r

§3.2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

学习目标 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P66~ P67,找出疑惑之处) 复习 1:试判断下列复数 1 + 4i,7 ? 2i,6, i, ?2 ? 0i, 7i, 0 ? 3i 在复平面中落在哪象限?并画出其对应 的向量.

复习 2:求复数 z = log 2 2 + 3i 的模

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复数代数形式的加减运算 复数代数形式的加减运算 规定:复数的加法法则如下: 规定 设 z1 = a + bi, z2 = c + di ,是任意两个复数,那么。
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i

很明显,两个复数的和仍然是

.
用心 爱心 专心 9

问题:复数的加法满足交换律、结合律吗? 新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ∈ C ,有
z 1 + z2 = z2 + z1 ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )

探究任务二:复数加法的几何意义 复数加法的几何意义 问题:复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义,你能由 此出发讨论复数加法的几何意义吗?

由平面向量的坐标运算,有 OZ = OZ1 + OZ 2 =(

uuu uuuu r r

uuuu r



新知: 复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法 复数加法的几何意义 则) 试试:计算 (1) (1 + 4i )+(7 ? 2i ) = (2) (7 ? 2i )+(1 + 4i ) = (3) [(3 ? 2i)+(?4 + 3i )] + (5 + i ) = (4) (3 ? 2i )+[(?4 + 3i ) + (5 + i )] = 反思:复数的加法运算即是: 探究任务三:复数减法的几何意义 复数减法的几何意义 问题:复数是否有减法?如何理解复数的减法? 类比实数集中减法的意义,我们规定,复数的减法是加法的逆运算. 新知:复数的减法法则为:
(a + bi ) ? (c + di ) = (a ? c) + (b ? d )i

由此可见,两个复数的差是一个确定的复数. 复数减法的几何意义: 复数减法的几何意义:复数的减法运算也可以按向量的减法来进行. ※ 典型例题 例 1 计算 (5 ? 6i ) + (?2 ? i) ? (3 + 4i)

变式:计算
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(1) ( 8 ? 4i ) + 5 (2) ( 5 ? 4i ) ? 3i
2 + 3i

(3)
3

+ ( ?2 ? 9i ) ?

(

2 ?i

)

小结: 两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减. 例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数分别为 0,3 + 2i ,?2 + 4i ,试求: uuur uuu r (1) AO 表示的复数; (2) CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.

变式: ABCD 是复平面内的平行四边形,A,B,C 三点对应的复数分别是 1 + 3i, ?i, 2 + i ,求点 D 对应的复数.

小结:减法运算的实质为终点复数减去起点复数,即: AB = z B ? z A ※ 动手试试 练 1. 计算: (1) (2 + 4i) + (3 ? 4i ) ; (2) 5 ? (3 + 2i) ; (3) (?3 ? 4i ) + (2 + i) ? (1 ? 5i) ; (4) (2 ? i) ? (2 + 3i) + 4i

uuu r

用心 爱心 专心

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练 2. 在复平面内,复数 6 + 5i 与 ?3 + 4i 对应的向量分别是 OA 与 OB ,其中 O 是原点,求向量 uuu r uuu r AB , BA 对应的复数.

uuu r

uuu r

三、总结提升 ※ 学习小结 两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加减运算都可以按照向量的加减法进 行. ※ 知识拓展 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位的看作一类同类项,不含 的看作另一类同类项,分别合并即可. 学习评价 ). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. a = 0 是复数 a + bi (a, b ∈ R) 为纯虚数的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 uuu r uuu r uuu r 2. 设 O 是原点,向量 OA , OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ?3 + 2i ,那么向量 BA 对应的复数是 ( ) A. ?5 + 5i B. ?5 ? 5i C. 5 + 5i D. 5 ? 5i 3. 当 < m < 1 时,复数 m(3 + i) ? (2 + i) 在复平面内对应的点位于(
2 3



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 4. i + i 在复平面内表示的点在第 象限. 5. 已知 z1 = 3 + 4i ,点 z2 和点 z1 关于实轴对称,点 z3 和点 z2 关于虚轴对称,点 z4 和点 z2 关于原 点对称,则 z2 = ; z3 = ; z4 =

课后作业 1. 计算: (1) (6 ? 5i ) + (3 + 2i ) ; (2) 5i ? (2 + 2i) ;
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2 2 1 3 3 3 2 4 (4) (0.5 + 1.3i) ? (1.2 + 0.7i ) + (1 ? 0.4i )

(3) ( + i ) + (1 ? i ) ? ( + i) ;

uuu r

2. 如图的向量 OZ 对应的复数是 z ,试作出下列运算的结果对应的向量: (2) z ? i ; (3) z + (2 ? i ) (1) z + 1 ;

§3.2.2

复数代数形式的乘除运算

学习目标 1. 理解共轭复数的概念; 2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P68~ P70,找出疑惑之处) 复习 1:计算(1) (1 + 4i )+(7 ? 2i ) (2) (5 ? 2i)+(?1 + 4i ) ? (2 ? 3i ) (3) (3 ? 2i)-[(?4 + 3i ) ? (5 + i)]

用心 爱心 专心

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复习 2:计算: ( a ± b) 2 = (3a + 2b)(3a ? 2b) = (3a + 2b)(? a ? 3b) = 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复数代数形式的乘法运算 复数代数形式的乘法运算 规定,复数的乘法法则如下: 设 z1 = a + bi, z2 = c + di ,是任意两个复数,那么
(a + bi )(c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2

= (ac ? bd ) + (ad + bc)i 即:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把 i 2 换成 ?1 ,并且把实部 与虚部分别合并即可. 问题:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律? 试试:计算(1) (1 + 4i ) × (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) × (1 + 4i) (3) [(3 ? 2i ) × (?4 + 3i)] × (5 + i) (4) (3 ? 2i ) ×[(?4 + 3i ) × (5 + i)]

新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ∈ C ,有
z 1?z2 = z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 = z1 ? ( z2 ? z3 ) z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 )

反思:复数的四则运算类似于多项式的四则运算,也满足其在实数集上的运算律. 探究任务二:共轭复数 共轭复数 共轭 新知:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不 等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 试试: 3 + 4i 的共轭复数为 a + bi 的共轭复数为 bi 的共轭复数为 问:若 z1 , z2 是共轭复数,那么(1)在复平面内,它们所对应的点的位置关系为:
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(2) z1 ? z2 是一个怎样的数? 探究任务三:复数的除法法则 复数的除法法则
( a + bi ) ÷ (c + di ) = a + bi ( a + bi )(c ? di ) ac + bd bc ? ad = = + i c + di (c + di )(c ? di ) c 2 + d 2 c 2 + d 2

(c + di ≠ 0)

※ 典型例题 例 1 计算: (1) (3 + 4i )(3 ? 4i) ;

(2) (1 + i )2

变式:计算: (2) (1 ? i)2 ; (1) ( 3 + 2i )(? 3 + 2i) ; (3) i(2 ? i )(1 ? 2i )

小结:复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例 2 计算(1) (1 + 2i ) ÷ (3 ? 4i ) ; (2)
?2 3 + i 2 1996 +( ) 1? i 1 + 2 3i

用心 爱心 专心

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变式:计算(1)

3 ? 2i 3?i , (2) 2 (1 + 2i ) (1 + i )2 ? 1

小结:复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。 ※ 动手试试 练 1. 计算: (1) (1 + 2i )(3 ? 4i )(?2 ? i )

练 2. 计算: (1)

1+ i 1? i (?1 + i )(2 + i ) , (2) , (3) 1? i 1+ i ?i

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 复数的乘除运算; 2. 共轭复数的定义. ※ 知识拓展 i 具有周期性,即: i 4 n = 1 ; i 4 n +1 = i ; i 4 n + 2 = i 2 = ?1 ; i 4 n + 3 = ?i ; 学习评价 ). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

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1. 复数

5 的共轭复数是( i?2 A. i + 2 B. i ? 2 C. ?2 ? i

) D. 2 ? i

2. 复数 ( +

3 3 i ) 的值是( ) 2 A. ?i B. i C. ?1 D.1 2 ? bi 3. 如果复数 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值为( 1 + 2i 2 2 A. 2 B. ? 2 C. ? D. 3 3
1? z = i ,则 | z + 1| 的值为 1+ z

1 2



4.若 z = 1 + 2i ,则 z 2 ? 2 z 的值为 5. 若复数 z 满足

课后作业 1. 计算: (1) (? +
1 3 3 1 1 3 i )(1 + i ) ; (2) ( i ? )(? + i ) 2 2 2 2 2 2 5(4 + i ) 2 2+i (3) ; (4) i (2 + i ) 7 + 4i

2. 已知 2i ? 3 是关于 x 的方程 2 x 2 + px + q = 0 的一个根,求实数 p, q 的值.

用心 爱心 专心

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第三章 数系的扩充与复数的引入(复习课)

学习目标 掌握复数的的概念,复数的几何意义以及复数的四则运算.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P72 找出疑惑之处) 复习 1:复数集 C、实数集 R、有理数集 Q、整数集 Z 和自然数集 N 之间的关系为: 复习 2:已知 z1 = 5 + 10i , z2 = 3 ? 4i , =
1 z 1 1 + ,求 z . z1 z 2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:复数这一章的知识结构 复数这一章的知识结构 问题:数系是如何扩充的?本章知识结构是什么?

新知: 试试:若 z1 = a + 2i, z2 = 3 ? 4i ,且
z1 为纯虚数,求实数 a 的值. z2

变式: (1)

z1 z 对应的点在复平面的下方(不包括实轴) ,求 a 的取值范围.(2) 1 对应的点 z2 z2

在直线 x + y = 0 ,求实数 a 的值.

反思:若复数 a + bi (a, b ∈ R) 是实数,则 是虚数,则 ;是纯虚数,则 其模为 ;其共轭复数为 若 a + bi = c + di(a, b, c, d ∈ R) ,则 ※ 典型例题

; . .

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m(m + 2) + ( m 2 + 2m ? 3)i ,当 m 为何值时, m ?1 (1) z ∈ R ?(2) z 是纯虚数?(3) z 对应的点位于复平面第二象限?(4) z 对应的点在 直线 x + y + 3 = 0 上?

例 1 已知 m ∈ R ,复数 z =

变式:已知

m = 1 ? ni ,其中 m, n 是实数, i 是虚数单位,则 m + ni = 1+ i

小结:掌握复数分类是解此题的关键.在计算时,切不可忘记复数 a + bi (a, b ∈ R) 为纯虚数的一 个必要条件是 b ≠ 0 ,计算中分母不为 0 也不可忽视. 例 2 设存在复数 z 同时满足下列条件: (1)在复平面内对应的点位于第二象限; (2) z z + 2iz = 8 + ai(a ∈ R) ;试求 z 的取值范围

变式:已知复数 z 满足 z + | z |= 2 + 8i ,求复数 z

小结:复数问题实数化是解决复数问题的主要方法,其转化的依据主要就是复数相等的充要
用心 爱心 专心 19

条件.基本思路是:设出复数的代数形式 z = a + bi(a, b ∈ R) ,由复数相等得到两个实数等式所 组成的方程组,从而可以确定两个独立的基本量. 例 3 在复平面内 (1)复数 z = (a 2 ? 2a + 4) ? (a 2 ? 2a + 2)i , (2)满足 | z + 1| + | z ? 1|= 4 的复数 z ,对应的点的轨迹 分别是什么?

※ 动手试试 练 1. 已知复数 z = (2 + i )m2 ?
6m ? 2(1 ? i ) ,当实数 m 取什么值时,复数是(1)零; (2)虚数; 1? i

(3)纯虚数; (4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

练 2. 若 log 2 ( x 2 ? 3x ? 2) + i log 2 ( x 2 + 2 x + 1) > 1 ,则实数的值(或范围)是

.

三、总结提升 ※ 学习小结 复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法, 其转化的依据主要就是复 数相等的充要条件.基本思路是:设出复数的代数形式 z = a + bi(a, b ∈ R) ,由复数相等可以得 到两个实数等式所组成的方程组,从而可以确定两个独立的基本量.根据复数相等一般可解 决如下问题: (1)解复数方程; (2)方程有解时系数的值; (3)求轨迹问题. ※ 知识拓展

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学习评价 ). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 z1 = 3 ? 4i , z2 = ?2 + 3i ,则 z1 + z2 在复平面内对应的点( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) 2. (1 ? i)2 ? i 等于( A. 2 ? 2i B. 2 + 2i C. ?2 D.2 3. 复数 (1 + )2 的值是( B. ?2i 2 4.复数 的实部是 1+ i 5. (15 + 8i)(?1 ? 2i ) 的值是 A. 2i
1 i



) C. 2 D. ?2

,虚部是

课后作业 1. 已知 (1 + 2i) z = 4 + 3i ,求 z 及 .
z z

2. 设 z1 是虚数, z2 = z1 + (2)若 ω =

1 是实数,且 ?1 ≤ z2 ≤ 1 (1)求 | z1 | 的值以及 z1 的实部的取值范围; z1

1 ? z1 ,求证 ω 为纯虚数. 1 + z1

用心 爱心 专心

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