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期末复习专题1常用逻辑用语


■桂城中学 2015 届高二文科数上学期末复习

专题 1 《选修 1-1 常用逻辑用语》(1 课时)
■考点 1:写出“若 p ,则 q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系 1.四种命题之间的相互关系: 2.四种命题之间的真假关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性。即:原命 题与其逆否命题同真假;逆命题与否命题互为逆否命题,所以真 假性也相同. (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

【题组训练 1】
(1) (2009 重庆)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( (A) “若一个数是负数,则它的平方不是正数” (C) “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” )

(B) “若一个数的平方是正数,则它是负数” (D) “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” ) .

(2) (2011 天津)命题“若 f ? x ? 是奇函数,则 f ? ? x ? 是奇函 数”的否命题是( (A)若 f ? x ? 偶函数,则 f ? ? x ? 是偶函数.

(B)若 f ? x ? 不是奇函数,则 f ? ? x ? 不是奇函数.

(C)若 f ? ? x ? 是奇函数,则 f ? x ? 是奇函数. (D)若 f ? ? x ? 不是奇函数,则 f ? x ? 不是奇函数.
2 (3) (2007 重庆)命题“若 x ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(



(A)若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1
2

2 (B)若 ?1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

(C)若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

(D)若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

(4) (2010 广二模)命题“若 x, y 都是偶数,则 x ? y 也是偶数”的逆否命题是( (A)若 x ? y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 (C)若 x ? y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数



(B)若 x ? y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 (D)若 x ? y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

(5) (2008 山东)给出命题:若函数 y ? f ( x) 是幂函数, 则函数 y ? f ( x) 的图象不过第四象限. 在它的逆命题、 否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( (A)3 (B)2 (C)1 ) (D)0

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■考点 2:充分条件与必要条件的判断
1. ① 若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件;② 若 p ? q ,但 q ? p ,则 p 是 q 的充分而不必要条件; ③ 若 q ? p ,但 p ? q ,则 p 是 q 的必要而不充分条件; ④ 若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 2. 用集合的关系理解充分、必要条件:设命题 p 对应集合 A ,命题 q 对应集合 B ,则 p ? q 等价于 A ? B ,

p ? q ,但 q ? p 等价于 A ? B , p ? q 等价于 A ? B .

【题组训练 2】
(1) (2010 广东文)“ x ? 0 ”是“ 3 x2 ? 0 ”成立的( (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 ) (C) 非充分非必要条件(D)充要条件 )

(2) (2010 广东理) “ m ?

1 2 ”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解的( 4


(A)充分非必要条件 (B)充分必要条件
2

(C)必要非充分条件 (D)非充分必要条件

(3) “关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 的解集为 R ”是“ 0 ? a ? 1 ” (

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4) (2008 福建)设集合 A ? ? x (A)充分而不必要条件

?

x ? ? 0? }, B ? ? x 0 ? x ? 3? 那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( ? x ?1 ?
(B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 )



(5)(2011 天津)设 x, y ? R ,则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x2 ? y 2 ? 4 ”的(

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件 (6) (2008 上海)给定空间中的直线 l 及平面 ? ,条件“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平 面 ? 垂直”的( )条件

(A)充要 (B)充分非必要 (C)必要非充分 (D)既非充分又非必要 (7)已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充 分条件(C)充分 必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(8) (惠州市 2014 调研 2) “ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(9) (2010 揭阳一模) 已知函数 y ? lg(4 ? x) 的定义域为 A , 集合 B ? {x | x ? a} , 若 P: “ x ? A ”是 Q: “x? B” 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

■考点 3:了解逻辑联结词“ ? ”、“ ? ”、“ ? ”的含义,会对含
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有逻辑联

结词的命题进行真假性判定
对含有逻辑联结词的命题进行真假性判定,应先判定 p, q 的真假,再利用如下真值表加以判定:对于 p ? q 命 题,只有 p 、 q 都为假时,才会为假;对于 p ? q 命题,只有 p 、 q 同真时,才会为真;对于 ? p 命题,真假与 p 相反.

【题组训练 3】
( 1) (2008 广东理)已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题 的是( ) (B) p ? q (C) (?p) ? (?q) (D) (?p) ? (?q) )

(A) (?p) ? q

(2) (2009 广一模)如果命题“ p且q ”是假命题, “非 p ”是真命题,那么( (A)命题 p 一定是真命题 (C)命题 q 一定是假命题 (B)命题 q 一定是真命题 (D)命题 q 可以是真命题也可以是假命题

(3) (2013 湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降 落在指定范围 ”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( (A) (?p) ∨ (?q) (B) p ∨ (?q) (4)已知命题 p :存在 a ? R ,曲线 x ?
2



(C) (?p) ∧ (?q)

(D) p ∨ q

x ?1 y2 ? 0 的解集是 {x | 1 ? x ? 2} .给出下列 ? 1 为双曲线;命题 q : x?2 a
②命题“ p 且( ? q )”是真命; ④命题“( ? p )或( ? q )”是真命题.
2

结论:①命题“ p 且 q ”是 真命题; ③命题“( ? p )或 q ”为真命题; 其中正确的是______.

2 (5)已知命题 P :对 x ? [1,2], 不等式 x ? k 恒成立.命题 Q :关于 x 的方程 x ? x ? k ? 0 有实数根.如果命题

“ ? P ”为假,命题“ P ? Q ”为假,求 k 的取值范围.

■考点 4:理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.全称命题的否定是一个特殊命题,特称命题的否定是一个全称命题,因此在书写它们的否定时,相应的全称 量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,同时否定结论.
? ? 即:全称命题 p : ?x ? M , p ? x ? , 它的否定 p : ?x0 ? M , p ? x0 ? .

? ? 特称命题 p : ?x0 ? M , p ? x0 ? ,它的否定 p : ?x ? M , p ? x ? .

2.对含有量词的命题进行真假性判定,做好对符号 ?和? 的理解: (1)要判定全称命题“ ?x ? M , p( x) ”是真命题,必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p ( x) 成立;但要判
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定全称命题“ ?x ? M , p( x) ”是假命题,只要能举出一个反例,即在集合 M 中找到一个元素 x0 ,使得 p( x0 ) 不 成立,那么这个全称命题就是假命题. (2)要判定特称命题“ ?x0 ? M , p( x0 ) ”是真命题,只需要在集合 M 中找到一个元素 x0 ,使得 p( x0 ) 成立即 可.只有当对集合 M 中的任意一个元素 x , p ( x) 都不成立时,才说明这个特称命题是假命题.

【题组训练 4】
(1) (2009 天津)命题“存在 x0 ? R , 2 (A)不存在 x0 ? R , 2
x0

x0

? 0 ”的否定是(
(B)存在 x0 ? R , 2


x0

?0

?0

x ?0 (D)对任意的 x ? R , 2 0 ? 0 (2) (2013 重庆)命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为( ) 2 A.对任意 x ? R ,使得 x ? 0 B.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0 2 2 C.存在 x0 ? R ,都有 x0 D.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0 ?0 (3) (2007 海南、宁夏)已知命题 p : ?x ? R , sin x ? 1 ,则( ) (A) ?p : ?x ? R , sin x ? 1 (B) ?p : ?x ? R , sin x ? 1 (C) ?p : ?x ? R , sin x ? 1 (D) ?p : ?x ? R , sin x ? 1

(C)对任意的 x ? R , 2

x0

(4) (2011 安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是( .. (A)所有不能被 2 整除的数都是偶数 (C)存在一个不能被 2 整除的数都是偶数
2



(B)所有能被 2 整除的整数都不是偶数 (D)存在一个能被 2 整除的数不是偶数

(5)命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是_____________________. (6)已知命题 p : ?x ? 0 ,使 2 ? 3 ,则 ?p : _____________________.
x

(7) (2013 四川文)设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则 ( A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B ) (C) ?x ? R , x ? 0
3



(8) (2010 湖南文)下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R , lg x ? 0

(B) ?x ? R , tan x ? 1
2

(D) ?x ? R , 2 ? 0
x

(9)若命题“存在实数 x ,使 x ? ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的 取值范围为__________.

(10) (2013 课标Ⅰ)已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 3x ;命题 q : ?x ? R , x 3 ? 1 ? x 2 ,则下列命题中为真命题的是: ( A. p ? q ) B. ?p ? q C. p ? ? q D. ?p ? ? q

(11) (2011 珠海一模)下列命题错误的是( ) (A)命题“若 lg x ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 lg x ? 0 ” (B)若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 (C)命题 p : ?x ? R ,使得 sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 sin x ? 1 (D) “ x ? 2 ”是“

1 1 ? ”的充分不必要条件 x 2

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1. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R , x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命
x x 3 2

题的是: A. p ? q
【答案】B

( B. ?p ? q C. p ? ? q D. ?p ? ? q



2. ( 广 东 省 深 圳 中 学 2013-2014 学 年 度 高 三 年 级 第 一 次 阶 段 性 测 试 理 科 数 学 ( A 卷 ) )若命题

“ ?x ? R , x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定为真命题,则实数 m 的取值范围是_________.
2

【答案】

? ??,1?
x ,使

3. ( 广 东省南 雄市黄 坑中学 2014 届高三 上学期 第一 次月考 测试数 学(理 )试 题) 若命题“存在实数

x 2 ? ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的 取值
范围为_______
【答案】 a ? 2或a ? ?2 4. (广东省南雄市黄坑中学 2014 届高三上学期第一次月考测试数学(理)试题) 已知命题

p :存在 a ? R ,曲线

x ?1 y2 ? 0 的解 x ? ? 1 为双曲线;命题 q : x?2 a
2

集是 {x | 1 ? x ? 2} .给出下列结论: ①命题“ p 且 q ”是 真命题; ②命题“ p 且( ? q )”是真命题;

③命题“( ? p )或 q ”为真命题; ④命题“( ? p )或( ? q )”是真命题. 其中正确的是______ 【答案】②④

5. (广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试数学理试题) 设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与

直线 x ? ay ? 1 ? 0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





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典例 7: (1) (2009 浙江文)“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件



.

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

5、 (广州 2011 高三上期末调研测试)已知 p : x ? 2 , q : 0 ? x ? 2 ,则 p 是 q 的( (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分又不必要条件 )

(3) ( 2009 安徽)下列选项中, p 是 q 的必要不充分条件的是( (A) (B) (C) (D)

p:a?c ?b?d p : a? 1 , b ? 1 p : x ?1 p : a ?1

q : a ? b, c ? d
q : f ( x) ? a x ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限

q : x2 ? x
q : f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数

(4) (2008 福建)设集合 A ? ? x (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

?

x ? ? 0? }, B ? ? x 0 ? x ? 3? 那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( ? x ?1 ?
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



(5) (2010 揭阳一模) 已知函数 y ? lg(4 ? x) 的定义域为 A , 集合 B ? {x | x ? a} , 若 P: “ x ? A ”是 Q: “x? B” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围__________. 9、 (汕头市聿怀中学 2014 届高三上学期期中考试)下列命题:①若 p , q 为两个命题,则“ p 且 q 为真” 是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件; ②若 p 为: ?x ? R, x2 ? 2x ? 0 ,则 ? p 为: ?x ? R, x2 ? 2 x ? 0 ;
? ③命题 p 为真命题,命题 q 为假命题。则命题 p ? ( q) , (?p) ? q 都是真命题;

④命题“若 ? p ,则 q ”的逆否命题是“若 p ,则 ?q ”.其中正确结论的个数是 A.1 答案:A B. 2 C.3 D.4

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