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2015-2016学年高中数学 第2章 2.2第1课时 综合法与分析法课件 新人教B版选修2-2


第二章
推理与证明

第二章 2.2 直接证明与间接证明
第1课时 综合法与分析法

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

夏天

,在日本东京的新宿区的一 幢公寓内,发生了一宗凶杀案,时间 是下午 4 时左右.警方经过三天的深 入调查后,终于拘捕到一个与案件有 关的疑犯,但是他向警方做不在现场证明时,说:“警察先生, 事发当天,我一个人在箱根游玩.直至下午 4 时左右,我到芦 之湖划船.当时适值雨后天晴,我看到富士山旁西面的天空上, 横挂着一条美丽的彩虹,所以凶手是别人,不是我!”你知道 疑犯的话露出了什么破绽吗?警方是怎样证明他在说谎的呢?

1.合情推理所得到的结论是否一定正确? 2.演绎推理中经常使用的是哪种形式的推理?

答案:1.合情推理所得到的结论不一定正确.
2 .演绎推理经常使用的是由大前提、小前提和结论组成 的三段论推理.

一、直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、 公理、定理,直接推证结论的真实性.常用的直接证明方法有 综合法与分析法. 二、综合法 综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待 证结论,它是一种由因导果的思维方法.

用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示 所要证明的结论,则综合法可用框图表示为: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q 1.综合法的特点 综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理,实 际上是寻找使结论成立的必要条件.

2.综合法证明问题的步骤 第一步: 分析条件, 选择方向. 仔细分析题目的已知条件(包 括隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的 公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法.第二步:转 化条件,组织过程.把题目的已知条件,转化成解题所需要的 语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过 程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.第三步:适 当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行 调整,有些语言可做适当的修饰,反思总结解题方法的选取.

3.综合法格式 从己知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由 “推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的 格式,它的常见书面表达是“∵,∴”或“?”.

如图,四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在

四边形 ABCD 中,∠ B =∠ C = 90°, AB = 4 , CD = 1 ,点 M 在
PB上,且PB=4PM,PB与平面ABC成30°角. (1)求证:CM∥平面PAD;

(2)求证:面PAB⊥面PAD.

[证明] (1)以 C 为原点,CD、CB、CP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 由∠ PBC = 30° , PC = 2 , BC = 2 3 , AB = 4 ,不难得到 3 3 D(1,0,0),B(0,2 3,0),A(4,2 3,0),P(0,0,2),M(0, 2 ,2). 3 1 → → → 设CM=xDP+yDA?x=4,y=4. → → → ∴CM,DP,DA共面. ∵CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD.

(2)作 BE⊥PA 于点 E,∴E(2, 3,1). → → → BE=(2,- 3,1),∴BE· DA=0. ∴BE⊥DA. 又∵BE⊥PA, ∴BE⊥面 PAD,∴面 PAB⊥面 PAD.

三、分析法 1. 分析法是从待证结论出发, 一步一步寻求结论成立的充 分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. 若用 Q 表示要证明的结论,则分析法可表示如下: 一个明显成立 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 的条件 2.分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已 知”其逐步推理,实际上是寻找使结论成立的充分条件.

(2)分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至 归结为已知条件、定义、公理、定理等. 3.分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为: “要证??, 只需证??, 只需证??, ? 由于?显然成立(已知,已证?), 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.

求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面 积比正方形的面积大.

[证明]

设圆和正方形的周长为 L,依题意,圆的面积为

L 2 L2 L 2 L2 π(2π) ,正方形的面积为(4) ,因此,本题只需证明 π(2π) >(4 ) . πL2 L2 L 2 L2 为了证明 π(2π) >(4 ) 成立,只需证明 4π2>16, 4 1 1 两边同乘正数L2,得π>4,因此,只需证明 4>π.

L 2 L2 因为 4>π 显然成立,所以 π(2π) >(4 ) . 这就证明了,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么 这个圆的面积比这个正方形的面积大.

四、分析法与综合法的综合应用 应用综合法可以使证明过程表述成简短的形式,所以,非 常适宜于叙述证明.但用综合法论证命题时,必须先想到从哪 里开始起步,而这一点正是我们所感到困难的.分析法就可以 帮助我们克服这种困难, 因为, 应用分析法思考起来比较自然, 容易探求到解题的途径.但分析的过程,叙述起来比较繁琐, 不及综合法那样简明.所以实际证明命题时,应当把分析法与 综合法结合起来使用.常用两种结合途径:一是以分析法为主 寻求解题思路,再用综合法有条理地表示证明过程;

二是用“两头凑”的方法, 即根据条件的结构特点去转化结论, 得到中间结论再进行证明.用 P 表示已知条件、定义、定理、 公理等,用 Q 表示要证明的结论,上述过程可用框图表示为: Pn=P′ P?P1 → P1?P2 →?→ ? ←?← Q2?Q1 ← Q1?Q Q′?Qm

π 已知 α , β≠kπ + 2 (k ∈ Z) ,且 sinθ + cosθ = 2sinα sinθ· cosθ=sin2β ②.

①,

1-tan2α 1-tan2β 求证: 2 = 2 . 1+tan α 2?1+tan β?

[解析] 由①得(sinθ+cosθ)2=4sin2α, 即 1+2sinθcosθ=4sin2α 把②代入上式并整理得:4sin2α-2sin2β=1③ 1-tan2α 1-tan2β 另一方面,要证 2 = 2 , 1+tan α 2?1+tan β?

sin2α sin2β 1-cos2α 1-cos2β 只需证 sin2α = sin2β 1+cos2α 2?1+cos2β? 1 即证 cos α-sin α=2(cos2β-sin2β),
2 2

1 只需证 1-2sin α=2(1-2sin2β),
2

即证 4sin2α-2sin2β=1. 由于上式与③相同,于是问题得证.

课堂典例探究

综合法

已知 a,b,c 为不全相等的正数,求证: b+c-a c+a-b a+b-c a + b + c >3.
[分析] 欲证的不等式右边为常数,而左边为对称式,故

想到将左边拆项,使用均值不等式.

[证明]

?b a? ?c b? ?a c ? 左边=?a+b?+?b+c ?+?c +a?-3, ? ? ? ? ? ?

∵a,b,c 为不全相等的正数, b a c b a c ∴a+b≥2,b+c ≥2,c +a≥2,且等号不能同时成立.
?b a? ?c b? ?a c ? ∴?a+b?+?b+c ?+?c +a?-3>6-3=3, ? ? ? ? ? ?

b+c-a c+a-b a+b-c 即 a + b + c >3.

[方法总结]

对不等式的左端进行恒等变形,其目的都是

为了有效地利用有关的基本不等式,这是利用基本不等式证明 不等式的一个难点.“变形”的形式很多,常见的是拆、并项, 也可乘一个数或加上一个数等.

已知 a、b、c∈R+且 a+b+c=1,
?1 ? ?1 ? ?1 ? ? -1?· ? -1?≥8. 求证:?a-1?· ? ? ?b ? ?c ?

[证明]

?1 ??1 ??1 ? ? -1?? -1?? -1? ?a ??b ??c ?

?b+c??a+c??a+b? = abc 2 bc· 2 ac· 2 ab 8abc ≥ = abc =8, abc 当且仅当 a=b=c 时等号成立,∴不等式成立.

在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA +cosB+cosC.

[分析]

考虑锐角三角形中三内角的特点,先构造角的不

等式,再用函数单调性转化为三角函数的不等式. π [证明] 锐角三角形中,A+B>2,

π π π ∴A>2-B,∴0<2-B<A<2.
? π? 又∵在?0,2?内正弦函数是单调递增函数, ? ?

?π ? ∴sinA>sin?2-B?=cosB, ? ?

即 sinA>cosB.① 同理 sinB>cosC② sinC>cosA.③ 由①+②+③得 sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

[方法总结]

本题采用综合法通过构造角的不等式转化为

利用三角函数的单调性来证明.

9 在△ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C≤4. [证明] sin2A+sin2B+sin2C
2 2 2

1 =2(1-cos2A+1-cos2B)+sin2C 1 =1-2· 2cos(A+B)cos(A-B)+1-cos2C =2+cosCcos(A-B)-cos2C ≤2+|cosC|· |cos(A-B)|-cos2C≤2+|cosC|-|cosC|2
? 1?2 9 9 =-?|cosC|-2? +4≤4. ? ?

分析法

已知 a,b,c∈R+,且 ab+bc+ca=1,求证: (1)a+b+c≥ 3; (2) a bc+ b ac+ c ab≥ 3( a+ b+ c).

[分析]

本题中,用综合法直接证明比较困难,我们可以

考虑用分析法证明.

[证明] (1)要证明 a+b+c≥ 3, 由 a,b,c∈R+,因此只需证(a+b+c)2≥3. 即证明 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3. 又因为由条件知 ab+bc+ca=1, 故只需证 a2+b2+c2≥1=ab+bc+ca. 也就是证 2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ca)≥0. 即证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0. 而上式显然成立,故原不等式成立.

(2)∵

a bc+

b ac+

c a+b+c ab= abc (已知 a,b,c∈R+),

在(1)中已证得 a+b+c≥ 3, 1 ∴原不等式成立只需证明 ≥ a+ b+ c. abc 也就是只需证明 a bc+b ac+c ab≤ab+bc+ca.而 a bc ab+ac ab+bc ca+bc = ab· ac≤ 2 ,b ac≤ 2 ,c ab≤ 2 , ∴a bc+b ac+c ab≤ab+bc+ca 成立. ∴原不等式成立.

[方法总结]

在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤

所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被 证明了的事实,因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论, 但这个倒推过程可以省略.

a b 已知 a>0,b>0,求证: + ≥ a+ b. b a a b [证明] ∵a>0,b>0,要证 + ≥ a+ b成立, b a
? 只需证? ? ?

a b? 2 2 + ? ≥ ( a + b ) 成立, b a? ?

a3+b3 a2 b2 即证 b + a +2 ab≥a+b+2 ab成立.即证 ab ≥a+b. 也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立. 即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立. a b ∵(a-b) ≥0 恒成立,∴ + ≥ a+ b. b a
2

分析法与综合法的综合应用
△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列. 求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
[证明] 分析法:结论是关于△ABC 三边的关系式. 要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 成立, 1 1 3 即证 + = 成立. a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 也就是 + =3, a+b b+c

c a 化简得 + =1. a+b b+c 只需证 c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c), 即 c2+a2=b2+ac. 猜想,可能使用余弦定理. 又△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,∴B=60° . a2+c2-b2 1 由余弦定理,有 cosB= 2ac =2, ∴a2+c2-b2=ac. 这也就是上面分析欲证的等式.

综合法:∵△ABC 三内角 A、B、C 成等差数列,∴B=60° . 由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos60° , 得 c2+a2=ac+b2, 两边加 ab+bc 得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),两边除 c a 以(a+b)(b+c)得 + =1, a+b b+c
? c ? ? a ? ? ? ? ∴?a+b+1?+?b+c+1? ?=3, ? ? ? ?

1 1 3 即 + = . a+b b+c a+b+c ∴(a+b) 1+(b+c) 1=3(a+b+c) 1.
- - -

[方法总结]

(1)综合法和分析法各有优缺点.从寻求解题

思路来看,综合法由因导果,往往枝节横生,不容易奏效;分 析法执果索因,常常根底渐近,有希望成功.就表达证明过程 而论,综合法形式简洁,条理清晰;分析法叙述繁锁,文辞冗 长.也就是说分析法利于思考,综合法宜于表述.因此,在实 际解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法 为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解答或证明过 程.有时要把分析法和综合法结合起来交替使用,才能成功.

(2)这种证明等式的方法叫混合型分析法,是同时从已知条 件与结论出发, 寻求其间的联系而沟通思路的方法. 具体来说, 一方面从问题的已知出发,经逻辑推演出中途结果,另一方面 从问题的结论出发,回溯到中途,即导出同一个中途结果,从 而沟通思路使问题得到解决.由于混合型分析法兼有分析与综 合的双重性质,因而在作为数学论证的方法时也称为“分析— 综合法”.

已知△ ABC 的三边 a , b , c 的倒数成等差数列,试分别用 综合法和分析法证明:B为锐角.
[证明] 证法 1: (分析法)要证明 B 为锐角, 只需证 cosB>0. a2+c2-b2 又因为 cosB= 2ac , 所以只需证明 a2+c2-b2>0,即 a2+c2>b2. 因为 a2+c2≥2ac,所以只需证明 2ac>b2.

2 1 1 由已知b=a+c ,即 2ac=b(a+c), 所以只需证明 b(a+c)>b2, 即 a+c>b 成立, 所以 B 为锐角. 2 1 1 a+c 证法 2:(综合法)由题意:b=a+c = ac , 2ac 则 b= ,b(a+c)=2ac>b2(因为 a+c>b). a+c a2+c2-b2 2ac-b2 因为 cosB= 2ac ≥ 2ac >0, π 又 y=cosx 在(0,π)上单调递减,所以 B<2,即 B 为锐角.

设 a≥3,求证: a- a-1< a-2- a-3.
[错解] 证明:由 a- a-1< a-2- a-3, 得 a+ a-3< a-1+ a-2. 两边平方,得 a?a-3? < ?a-1??a-2? ,两边再平方,得 a(a-3)<(a-1)(a-2),即 0<2,故原不等式得证.

[辨析]

错解可能是想用分析法证明,但对分析法的证明

书写形式及实质不理解,造成证明过程表述不规范.
[正解] 证明: 要证 a- a-1< a-2- a-3, 只要证 a + a-3 < a-1 + a-2 , 即 证 ( a + a-3 )2<( a-1 + a-2)2,即 a?a-3?< ?a-1??a-2?. 即证 a(a-3)<(a-1)(a-2),即证 0<2, ∵0<2 显然成立,∴原不等式成立.

1 1 已知 a≥-2,b≥-2,a+b=1,求证: 2a+1 + 2b+1≤2 2.
[错解] 证明:要证 2a+1+ 2b+1≤2 2,只需证 2(a

+b)+2+2 2a+1· 2b+1≤8, ∵ a +b = 1 ,即证 2a+1· 2b+1 ≤2 ,只需证 (2a + 1)(2b 1 +1)≤4,即证 ab≤4,
?a+b? a+b ? ?2 1 ∵ ab≤ 2 ,∴ab≤? ? =4. 2 ? ?

1 ∵ab≤4成立,因此 2a+1+ 2b+1≤2 2成立.

a+b 1 [辨析] 错解中, 对 ab≤4的证明是错误的. 因为 ab≤ 2 1 1 成立的条件是 a≥0,b≥0,而原题条件是 a≥-2,b≥-2,不 满足上述条件.

[正解] 证明:在错解中,得 2a+1· 2b+1≤2. 1 1 ∵a≥-2,b≥-2,∴2a+1≥0,2b+1≥0. ?2a+1?+?2b+1? 2?a+b+1? ∴ 2a+1· 2b+1≤ = =2. 2 2 即 2a+1· 2b+1≤2 成立,因此原不等式成立.

? ?定义:由因导果 ? ? ?综合法?了解??证题步骤:P0?已知??P1?P2 ? ? ???P ?结论? ? n ? 直接证明? ? ?定义:执果索因 ? ? ?分析法?了解??证题步骤:B?结论??B1?B2 ? ???B ?A?已知? ? ? n ?


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