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安徽省安庆市2014届高三第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版,word答案)


2014 年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 6
[来源:Z|xx|k.Com]

7 C

8 B

9 B

10 A

B

1. 解析: z ? 1 ? i ,

z 2 ? 2 z (1 ? i)2 ? 2(1 ? i) ? 2 ? ? ? ?1 ? i ,选 A. 1? i 1? i z

2. 解析: B ? {x ? R x ? 1 } ,则 A I B ? {?1} ,阴影部分表示的集合为 {1,2,3} ,选 D. 3. 解析:由 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 8 得 a3 ? a5 ? 8 ,所以 a1 ? a7 ? 8 ,

S7 ?

7 ? (a1 ? a7 ) ? 28 ,选 C. 2 a ? 16 26 , y ? 80 ? , 5 5

4. 解析:设图中甲、乙丢失的数据分别为 a , b ,则 x ? 80 ? ∵0 ≤ a ≤ 9 ,∴x ? 80 ?

a ? 16 25 ≤80 ? ? y ,选 B. 5 5

5. 解析:多面体 ABCDE 为四棱锥,利用割补法可得其 体积 V ? 4 ?

4 8 ? ,选 D. 3 3

2 2 6. 解析:直线的方程为 x ? 2 ,圆的方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,圆心到直线的距离为 1,

故圆 C 上有 2 个点到 l 距离为 1,选 B. 7. 解析:设椭圆的长半轴长为 a1 ,双曲线的实半轴长为 a2 ,焦距为 2c , PF1 ? m ,

PF2 ? n ,且不妨设 m ? n ,由 m ? n ? 2a1 , m ? n ? 2a2 得 m ? a1 ? a2 , n ? a1 ? a2 .
又 ?F1 PF2 ?

?
3

,∴ 4c2 ? m2 ? n2 ? mn ? a12 ? 3a22 ,

2 a12 3a2 ∴ 2 ? 2 ? 4 ,即 c c

1 3 6 ? 2 ? 4 ,解得 e ? ,选 C. 2 2 2 e ( ) 2

8. 解析:设 bi ? ai ?1 ? ai , i ? 1, 2,3, 4 ,则 bi 等于 1 或-1, 由 a5 ? (a5 ? a4 ) ? (a4 ? a3 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? b4 ? b3 ? b2 ? b1 ,

1 知 bi (i ? 1,2,3,4) 共有 3 个 1,1 个-1.这种组合共有 C4 ? 4 个,选 B.

?2a ? b ? 1 ? 0 ?a ? 3b ? 1 ? 0 ? 9. 解析:由已知有 ? ,作出可行域, ?a ? 0 ? ?b ? 0
令d ?

?a ? 1?2 ? b 2

,则 d 的最小值为点 (1,0) 到直线

a ? 3b ? 1 ? 0 的距离,此时 d min ?
所以 ?a ? 1? ? b 2 的最小值为
2

10 , 5

第 9 题图

2 ,选 B. 5

10. 解析:令 f ( x) ? x ? ln x(1 ? x ? 2) ,则 f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ?0, x x

所以函数 y ? f ( x)(1 ? x ? 2) 为增函数,∴ f ( x) ? f (1) ? 1 ? 0 ,

ln x ? ln x ? ln x ? 1 ,∴ ? ∴ x ? ln x ? 0 ? 0 ? .又 ? ? x x ? x ?

2

ln x 2 ln x 2ln x ? x ln x (2 ? x) ln x ? ? ? ? 0, x2 x x2 x2
2 ? ln x ? ln x ln x ∴? ,选 A. ? ? ? x x2 ? x ? 2

二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) 11. 解析:∵ (1 ? x ? x )(x ? a) 的展开式所有项的系数和为 (1 ? 1 ? 1 )(1 ? a) ? 0 ,
2 5 2 5

∴ a ? 1, ∴ (1 ? x ? x )(x ? a) ? (1 ? x ? x )(x ? 1) ? ( x ? 1)(x ? 1) ? x ( x ? 1) ? ( x ? 1) ,
2 5 2 5 3 4 3 4 4
3 0 0 其展开式中含 x 项的系数为 C3 4 (?1) ? C4 (?1) ? ?5 .
4

12. 解 析 : 由 sin B ? 8 cos A sin C 及 正 、 余 弦 定 理 知 : b ? 8c ?

b2 ? c 2 ? a 2 ,整理得 2bc

3 a 2 ? b 2 ? c 2 ,由 a 2 ? c 2 ? 3b 联立解得: b ? 4 . 4

? 13. 解 析 : 当 输 出 的 n ? 6 时 , S ? 1 ? 2 L

5 ? 2

?6, 3设输入的 T 值为

T0 , T ? T0 ? 3(1 ? 2 ? L ? 5) ? T0 ? 45 , 且 S ? T ,解得 T0 ? 108 . T 最大值为108 .
14. 解析:函数 f ( x ) 有三个零点等价于方程

1 ? m x 有且仅 x?2

1 1 ? m x ? ? x ( x ? 2) ,作函数 y ? x ( x ? 2) 的图像,如图所示, x?2 m 1 由图像可知 m 应满足: 0 ? ? 1 ,故 m ? 1 . m
有三个实根. ∵ 15. 解析:显然①正确; a ? me1 ? ne2 ?

m2 ? n2 ? 2m ncos? ,∵ ? ?

?

误;由 a // b 得 b ? ? a(? ? R) ,所以 s ? ? m, t ? ? n ,所以 mt ? ns ? 0 ,故③正确; ∵ a ? b ? (me1 ? ne2 ) ? (se1 ? te2 ) ? ms ? nt ? (mt ? ns)cos ? ? ms ? nt ,所以④错误;根据 夹角公式 a ? b ? a b cos ? a, b ? ,又 a ? b ? 5 ? 4e1 ? e2 , a ? b ? 4 ? 5e1 ? e2 得 4 ? 5e1 ? e2 ? (5 ? 4e1 ? e2 ) cos 所以正确的是①、③、⑤. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? sin ( x ?
2

r

r

2

,所以②错

r r

u r

u r

u r

u r

r

r

u r u r

r r

u r u r

u r ur

u r ur

?
3

,故 e1 ? e2 ? ?

u r u r

1 1 2? ?? ? ,即 cos ? ? ? ,⑤正确 2 2 3

?
4

) ? 3 cos( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

)

1 3 ? 1 ? (1 ? sin 2 x) ? cos2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2
由于 sin( 2 x ?

…………4 分

[来源:学*科*网 Z*X*X*K][来源:学科网]

?
3

) ? 0 得 : 2x ?

?
3

? k? , k ? Z ,所以 x ? 1 2

1 ? k? ? , k ? Z . 2 6
…………6 分

所以 f ( x) 的图像的对称中心坐标为 ( k? ? (Ⅱ) g ( x) = sin( 2 x ?
? 3

? 1

, ), k ? Z 6 2

?
3

) ,列表:
? 2 ? 12 1 ? ? 3 0 3? 2 7? 12 -1 2? 5? 6 0

2x + x

0 ? 6

gf( x) ) (x

0

描点、连线得函数 y ? g ( x) 在 [?

? 5?
6 , 6

] 上的图象如图所示:

…………12 分

17. (本题满分 12 分) 解答:设“教师甲在 A 点投中”的事件为 A ,“教师甲在 B 点投中”的事件为 B . (Ⅰ)根据题意知 X 的可能取值为 0,2,3,4,5,7

1 1 1 P( X ? 0) ? P ( A ? B ? A ) ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? , 2 3 6 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? P( A ? B ? A ? A ? B ? A) ? C2 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 3 2 3 1 1 1 1 P( X ? 3) ? P( A ? B ? A ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 2 3 2 12 1 1 1 1 P( X ? 4) ? P( A ? B ? A) ? ? (1 ? ) ? ? 2 3 2 6 1 1 1 1 1 P( X ? 5) ? P( A ? B ? A ? A ? B ? A) ? C2 ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 6 1 1 1 1 P( X ? 7) ? P( A ? B ? A) ? ? ? ? 2 3 2 12
所以 X 的分布列是:
[来源:学|科|网]

…………6 分

X P

0

2

3

4

5

7

1 6

1 3

1 12

1 6

1 6

1 12
…………8 分

EX ? 0 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 7 ? ? 3 6 3 12 6 6 12

(Ⅱ)教师甲胜乙包括:甲得 2 分、3 分、4 分、5 分、7 分五种情形. 这五种情形之间彼此互斥,因此,所求事件的概率 P 为:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ? ? ? ? ( ? ) ? ? ( ? ? ) ? ? ( ? ? ? ) ? ? (1 ? ) 3 6 12 6 3 6 6 3 12 6 6 3 12 6 12 12 57 19 ? ? …………12 分 144 48
18.(本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ? 由 ? ? 1 ? 4a 知, ①当 a ? ?

a 1 x2 ? x ? a ? ? , x ? (0,??) x2 x x2

1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上递增,无最值; 4

②当 ? 值;

1 ? a ? 0 时, x 2 ? x ? a ? 0 的两根均非正,因此, f ( x) 在 (0,??) 上递增,无最 4

2 ③当 a ? 0 时, x ? x ? a ? 0 有一正根 x ?

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , f ( x) 在 (0, )上 2 2

递减,在 (

? 1 ? 1 ? 4a ,??) 上递增;此时, f ( x) 有最小值; 2
…………7 分

所以,实数 a 的范围为 a ? 0 . (Ⅱ)证明:依题意: 1 ?

a x1
2

?

1 a 1 1 1 ? 1? 2 ? ? a( ? ) ? 1, x1 x2 x1 x2 x2

由于 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ,则有

a?

x1 ? x2 x ? x2 2 ? 2 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ( 1 ) x1 ? x2 2

? 2( x1 ? x2 ) ? (

x1 ? x2 2 ) ? x1 ? x2 ? 8 . 2

…………12 分

19.(本题满分 13 分) 解答: (Ⅰ)∵平面 ABCD 垂直于圆 O 所在的平面,两平面的交线为 AB , BC ? 平面

ABCD , BC ? AB , ∴ BC 垂 直 于 圆 O 所 在 的 平 面 . 又 EA 在 圆 O 所 在 的 平 面 内 ,
∴ BC ? EA .∵ ?AEB 是直角,∴ BE ? EA ,∴ EA ? 平面 EBC ,∴ EA ? EC . …………6 分 (Ⅱ) 如图,以点 O 为坐标原点, AB 所在的直线为 y 轴, 过点 O 与 BC 平行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系

O ? xyz .由异面直线 AE 和 DC 所成的角为
知 ?BAE ? ∴ ?BOE ?

?
?
3 6

? ,AB / / DC 6

, , 第 19 题图

∴ E(

uuu r 3 1 3 3 a, a, 0) , 由 题 设 可 知 C (0, a, a) , D(0, ?a, a) , ∴ DE ? ( a, a, ?a) , 2 2 2 2

uur u r 3 1 CE ? ( a, ? a, ?a) .设平面 DCE 的一个法向量为 p ? ( x0 , y0 , z0 ) , 2 2

由 DE ? p ? 0 , CE ? p ? 0 得 z0 ?

uuu r u r

uur u r

3 x0 , y0 ? 0 ,取 x0 ? 2 ,得 z0 ? 3 . 2

∴ p ? (2,0, 3) .又平面 AEB 的一个法向量为 q ? (0,0,1) ,∴ cos ? p, q ??

u r

r

u r r

21 . 7

平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值 (其他解法可参考给分) 20.(本题满分 13 分)

21 . 7

…………13 分

2 解析: (Ⅰ)根据已知条件有 tan ? ? 0 ,且 tan ? ? 1 ? tan? ,故椭圆 E 的长轴在 y 轴上.

e ? 1?

tan ? 1 1 2 ? ,当且仅当 ? ? 时取等号. ? 1 ? sin 2? ? 1 ? ? 2 4 tan ? ? 1 2 2 2
2

[来源:学*科*网]

由于椭圆 E 的离心率 e 最小时其形状最圆,故最圆的椭圆方程为 x ?

y2 ? 1. 2
…………5 分

(Ⅱ )设交点 P ( x0 , y0 ) ,过交点 P 的直线 l 与椭圆 x ?
2

y2 ? 1相切. 2
…………6 分

(1)当斜率不存在或等于零时,易得 P 点的坐标为 P (?1, ? 2) .

(2)当斜率存在且非零时,则 x0 ? ?1 设斜率为 k ,则直线 l : y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 与椭圆方程联立消 y ,得: (2 ? k 2 ) x2 ? 2k ( y0 ? kx0 ) x ? ( y0 ? kx0 )2 ? 2 ? 0 . 由相切, ? ? [2k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(2 ? k 2 )[(kx0 ? y0 )2 ? 2] ? 0 ,
2 2 化简整理得 (1 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0k ? 2 ? y0 ?0. ①

因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切, 由已知两切线垂直, 故 k1k2 ? ?1, 而 k1 , k2 为方程①的两根, 故
2 2 ? y0 2 2 ? ?1 ,整理得: x0 ? y0 ? 3. 2 1 ? x0

又 (?1, ? 2) 也满足上式, 故 P 点的轨迹方程为 x ? y ? 3 ,即 P 点在定圆 x ? y ? 3 上. ………13 分
2 2 2 2

21.(本题满分 13 分)

解析 : (Ⅰ)若 ? ? ?2 ,则 an ?1 ? 2an ?

2 , an

由 an?1 ? an ? an?1 ? an ? 0 ? an ?

a2 ? 2 2 ?0? n ?0, an an

得 an ? 2 或 ? 2 ? an ? 0 ,所以只需 a1 ? 2 或 ? 2 ? a1 ? 0 . 所以实数 a 的取值范围为 (? 2,0) ∪ ( 2, ??) .
? (Ⅱ) an ? 2 对任意 n ? N 成立的充要条件为 ? ? ?4 .

…………6 分

必要性:由 a2 ? 2 ,解出 ? ? ?4 ; (另解:假设 an ?1 ? 2an ?

1 1 2 ? 2 ,得 ? ? ?2an ? 2an ,令 f (n) ? ?2(an ? ) 2 ? , 2 2 an
…………8 分

?

an ? 2 ,可得: f (n)max ? ?4 ,即有 ? ? ?4 .)

? 充分性:数学归纳法证明: ? ? ?4 时,对一切 n ? N , an ? 2 成立.

证明: (1)显然 n ? 1 时,结论成立; (2)假设 n ? k (k ? 1) 时结论成立,即 ak ? 2 , 当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 2ak ? 考察函数 f ( x ) ? 2 x ?

?
ak

.

?
x

, x ? [2,??) ,

① 若 ? 4 ? ? ? 0 ,由 f ' ( x) ? 2 ? 假设得 ak ?1 ? 2ak ?

?
x2

? 0 ,知 f ( x) 在区间 [2,??) 上单调递增.由

?
ak

?4?

?
2

? 2.

② 若 ? ? 0 ,对 x ? [2,??) 总有 f ( x) ? 2 x ? 则由假设得 ak ?1 ? 2ak ?

?
x

? 4 ? 2,

?
ak

? 2.

所以, n ? k ? 1 时,结论成立,
? 综上可知:当 ? ? ?4 时,对一切 n ? N , an ? 2 成立. ? 故 an ? 2 对任意 n ? N 成立的充要条件是 ? ? ?4 .

…………13 分


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