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学案3 函数值域和最值(二)


学案 3

函数值域和最值(二)

一、课前准备: 【自主梳理】1、求函数的值域或最值不能只看解析式,要重视定义域对值域的影响. 2、会把稍复杂函数的值域转化为基本函数求值域,转化的方法是化简变形 , 换元等方法. 3、数形结合是求值域的重要思想,能画图像的尽量画图,可直观看出函数最值. 【自我检测】 1、函数 y ? x2 ? 2x 的定

义域为 ?0,1,2,3? ,则其值域为____________ . 2、定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为 ? a, b? ,则 y ? f ( x ? 1) 的值域为 ____________.

1 的值域为____________. x 1 4、 y ? x ? , x ? ? 2,3? 的值域为____________. x
3、 y ? x ? 5、 y ?

x ? 1 ? 1 ? x 的值域为____________.
1 3
x

6、 y ? ( ) 的值域为___________ .

二、课堂活动: 【例 1】求下列函数的值域: 1. y =
x2 ? x ; ___________. x ? x ?1
2

2. y ? x ? 1 ? x ? 2 ___________ . 3. y ? 2 ? 4 ? x __________ . 4.若函数 f (x) =

1 2 x ? x ? a 的定义域和值域均为 ?1, b? ?b ? 1? ,则 a, b 的值__________ . 2
2

【例 2】?求函数 y =|x| 1 ? x

的值域

【例 3】 用 min?a, b, c? 表示 a, b, c 三个数中的最小值, 设 f (x) =

min 2 x , x ? 2,10 ? x ( x ? 0) 求 f (x) 的最大值.

?

?

三、课后作业 1、已知 f ( x) ? x2 ? 2x , x ? ? a, b? 的值域为 ? ?1,3? ,则 b ? a 的范围是____________. 2、函数 y ? 2 ? x ? 1 的值域为___________. 3、已知定义在 __________. 4、函数 f ( x ) ? x ? x ?
2

??1,1? 上 的 函 数

f ( x) 的 值 域 为 ? ?2, 0 , 则 y ? f (cos x ) 值 域 为 的 ?

1 ? ,若 f ( x ) 的定义域为 ? n, n ? 1? , n ? N , f ( x ) 值域中整数的个 2

数为 ___________个. 5、函数 y ?

x ? 1 ? 1 ? x 值域为 ___________ .
x

6、 函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在区间 ?1,2? 上最大值比最小值大 7、函数 y ?

a , a 的值为___________. 则 2

1 ? x ? x2 的值域为___________. 1 ? x2

8、 y ? ax2 ? 2ax(a ? 0) 在区间 ?0,3? 上有最大值 3,则 a 的值为___________.
2 9、已知 f ( x) ? 2 ? log3 x(1 ? x ? 9) ,求 y ? ? f ( x) ? ? f ( x ) 的最大值 . 2

10、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流 速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 ? ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每

v x

小时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) .

四、纠错分析 题 号 错 题 卡 错 题 原 因 分 析

【自我检测】 1. ??1,0,3? 2.

? a, b?

3. ? ??, ?2? ??2, ???

4. ? , ? 2 3

?3 8? ? ?

5. ?0?

6. ? 0,1?

二、课堂活动: 【例 1】填空题: 1.方法一 (配方法)? ∵y=11 1 3 3 1 4 1 ? 1 ? , 而 x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? , ∴0< 2 ? , ∴ ? ? y ? 1. ∴值域为 ?? ,1? . x2 ? x ? 1 2 4 4 x ? x ?1 3 3 ? 3 ?

方法二 (判别式法) 由 y=
1 3 x2 ? x 又∵ x ? R, ∴必须 ? =(1-y)2-4y(y-1)≥0. , 得(y-1) x 2 ? (1 ? y ) x ? y ? 0. ∵y=1 时, x ? ?,? y ? 1. x ? x ?1
2

∴ ? ? y ? 1. ∵ y ? 1, ∴函数的值域为 ?? ,1? . ? ?
1 ? 3 ?

2. ?3,???

3. ?2,???

4. ?

3 ? ?a ? , 2 ?b ? 3. ?

【例 2】方法一 (换元法)?∵1-x2≥0,令 x=sin ? ,则有 y=|sin ? cos ? |= |sin2 ? |,? 故函数值域为[0, ] .
1 1 1 1 方法二 y=|x|· 1 ? x ? ? x ? x ? ? ( x ? ) ? , ∴0≤y≤ , 即函数的值域为 ?0, ? . ? ?
2 4 2 2 2

1 2

1 2

2

4

2

? 2?

【例 3】 作出函数的图象可知: f (x) 的 最大值为 f ( 4) =6

三、课后作业 1. ? 2, 4? 2. ?2,??? 3. ? ?2,0? 4 . 2n ? 2

5. ? ? 2, 2 ?

?

?

6.

1 3 , 2 2

7. ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

8.1 或-3
?9 ? {1?x2 ?9 ? 1 ? x ? 3 1? x

9 . 解 ?

f ( x) 的 定 义 域 为

?1,9?

化 简 得 :

f ( x) ? (log3 x)2 ? 6log3 x ? 6 从而 f ( x)max ? 13
10.解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? ?a ? ? 3 , ?200a ? b ? 0, ? 解得 ? ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ? 再由已知得

0 ? x ? 20, ?60, ? v( x) ? ? 1 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? 故函数 v( x) 的表达式为
0 ? x ? 20, ?60 x, ? f ( x) ? ? 1 ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200;
1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? 3 3 2 3 当 20 ? x ? 200 时, 当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立。 10000 . x ? 100时, f ( x) 在区间[20,200]上取得最大值 3 所以,当 f ( x) ?
综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值

10000 ? 3333 3

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