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线面垂直的判定公开课教案


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数 学

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高一(5)班

授课教师 课 型 新授课 1 课时

2.3.1 直线与平面垂直的判定 2017 年 12 月 5 日星期二第四节

授课时间 学习目标 学习重点 学习难点 教学方法 教学用具

课时安排

1.通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义; 2.归纳线面垂直的判定定理;并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题; 3.通过线面垂直定义及定理的探究过程,体会转化思想在解决问题中的运用。 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 多媒体辅助教学、自主探索、动手实践 多媒体、自备三角形纸片 (一)回忆平行探索空间的垂直关系 复习引入:空间中一条直线与平面有哪几种位置关系?前面我们已经学习 了线面平行,这节课我们学习另一种关系——垂直 学生活动:回忆所学知识,类比学习垂直关系 (二)观察感知线面垂直的概念 1.创设情境——感知概念 多媒体图片展示生活中直线与平面垂直的实例。 2.观察归纳——形成概念 (学生思考)问题 1(1)在阳光下观察直立于地面旗杆 AB 及它在地面的 影子 BC,旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么? 设计意图 通过实例 感知概念, 有助于空 间想象能 力的形成 引导学生 用“空间问 题平面化” 的思想来 思考问题 通过问题 辨析,加深 概念的理 解,掌握概 念的本质 属性

教 学 过 程 设 计

(2)旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 a 的位置关系又是 什么? 3.抽象概括——提炼概念 (学生活动)结合刚才的实验我们能不能试给出线面垂直的定义?

如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂 直,
定义: 我们就说直线l与平面?互相垂直 4.辨析讨论——深化概念 (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线 是否与这个平面垂直? (2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个 平面内的所有直线? 学生活动:通过反例,指出不同 (三)探索发现线面垂直的判定 1.类比分析——猜想定理 思考: (1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线垂直,能不能保证 该直线垂直于此平面? (2)如果平面外的一条直线和平面内的两条直线垂直,能不能保证该直 线垂直于此平面?

引导学生 观察思考, 给出猜想

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猜想:是不是一条直线垂直于平面内的两条相交直线,此直线就垂直于该 平面呢?

教 学 过 程 设 计

通过试验, 引导学生 独立发现 2.动手操作——确认定理 直线与平 (学生实验)请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三 面垂直的 角形的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD(如图 1),将翻折后的纸片竖起放 条件,培养 置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) 学生的动 问题 1: (1)折痕 AD 与桌面垂直吗? 手操作能 (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? 力和几何 直观能力, 让学生在 观察、对比 和反思中, 较快地对 数学定理 问题 2:在你翻折纸片的过程中,纸片的形状发生了变化,这是变的一面, 有一个感 那么不变的一面是什么呢?(可从线与线的关系考虑)如果我们把折痕抽 性认识。 象为直线 ,把 BD、CD 抽象为直线 那么你认为保证直线 与平面 ,把桌面抽象为平面 (如图 3),

垂直的条件是什么? 引导学生 根据直观 感知及已 有知识经 验,进行合 情推理,获 得线面垂 直判定定 理。

问题 3:根据上面的试验,结合两条相交直线确定一个平面的事实,你能 给出直线与平面垂直的方法吗?(学生总结归纳) 定理: (1)文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则 该直线与此平面垂直 (2)图形语言:

(3)符号语言:

a ? ? , b ? ? , a ? b ? O? ??l ?? l ? a, l ? b ?

3.质疑反思——深化定理 辨一辨:如果一条直线 ①与三角形的两边垂直;②与梯形两边垂直; 那么直线是否与上述图形所在平面垂直?

通过辨析, 强化定理 中“两条相 交直线”的 条件。

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(四)初步应用线面垂直的判定 例 1 如图 5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 (1)请列举与平面 ABCD 垂直的直线 ;

(2)请列举与直线 A1A 垂直的平面 ; (3)你还能找出一条与平面 D1DBB1 垂直的直线吗? 思考:如图 6,已知 ,则 吗?请说明理由.

通过例 1 的 铺垫,进一 步感受如 何运用直 线与平面 垂直的判 定定理证 明线面垂 直,体会转 化思想的 应用。

师生活动:学生思考讨论,教师适时引导

教 学 过 程 设 计 (五)练习巩固与升华 1、下列命题正确的是(

) ; 进一步深 化理解概 念。

①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线不垂直于 α,则 α 内没有直线与 l 垂直;

④如果平面 α 内有一条直线与 l 不垂直,则直线 l 不垂直于平面 α; ⑤如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直。 2.下列说法中错误的是( )

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相 交;②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面 内;③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面 内;④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直 线. A.①② C.①②④ B.②③④ D.①②③

(六)总结反思——提高认识 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想?

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教 学 过 程 设 计

(七)布置作业——自主探究 必做题: 1、阅读课本,整理学案; 2、课本 P67 练习 1、2 选做题: 《导学案》P62 自我检测 1、3 小组合作活动: 1、P66 页探究: 2、如图 PA⊥圆 O 所在平面, AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点, (1) BC⊥平面 PAC (2)图中有几个直角三角形? (3)过 A 作 AE⊥PC 于 E ,求证:AE⊥平面 PBC。 感悟生活智慧 学校操场上要竖立新旗杆,现要检验它是否与地面垂直,你有什么好办 法?

板 书 设 计

2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、直线与平面垂直定义: 二、判定定理:

教 学 反 思

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