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第6章第5课时课件


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第6章

不等式与推理证明
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 · 把 脉 高 考

第5课时 合情推理与演绎推理

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第6章

不等式与推理证明
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 · 把 脉 高 考

第 5 课 时 合 情 推 理 与 演 绎 推 理

双基研习·面对高考

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

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第6章

不等式与推理证明
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双基研习·面对高考

基础梳理

不完全归纳

特殊到特殊 山东水浒书业有限公司· www.yhfabook.com

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第6章

不等式与推理证明
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一般原理 特殊情况

特殊情况

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不等式与推理证明
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思考感悟
归纳推理和类比推理的联系与区别是什么?

提示:两种推理的联系与区别:类比推理和归
纳推理的结论都是有待于证明的.归纳推理是 由特殊到一般的推理,类比推理是由特殊到特 殊的推理.

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不等式与推理证明
双 基 研 习 · 面 对 高 考

课前热身 1.下列说法正确的是(
A.合情推理就是归纳推理

)

B.合情推理的结论不一定正确,有待证明
C.演绎推理的结论一定正确,不需证明

考 点 探 究 · 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 · 把 脉 高 考

D.类比推理是从特殊到一般的推理
答案:B
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不等式与推理证明
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2.数列1,2,4,8,16,32的一个通项公式是(
A.an=2n

)

B.an=2n-1
C.an=2n

D.an

=2n+1

答案:B

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不等式与推理证明
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3.(教材习题改编)下面几种推理是合情推理的 是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的 内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都 是180°; ③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同 学的成绩都是100分; ④三角形内角和是180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是540°,由此得凸n边形 内角和是(n-2)· 180°
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不等式与推理证明
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A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 答案:C 4.两条直线相交,对顶角相等,∠A和∠B是 对顶角,则∠A=∠B.该证明过程中大前提是 ________,小前提是________,结论是 ________. 答案:两条直线相交,对顶角相等 ∠A和∠B 是对顶角 ∠A=∠B

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5.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行 线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类 比上述命题,可以得到命题:

“________________”,这个类比命题的真假
性是________.

答案:夹在两个平行平面间的平行线段相等
真命题
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考点探究·挑战高考

考点突破 归纳推理
归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般

性命题(猜想).如果归纳的个别情况越多,越具
有代表性,那么推广的一般性命题就越可靠.
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不等式与推理证明
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x 例1 已知:f(x)= ,设 f1(x)=f(x),fn(x) 1-x =fn- 1[fn- 1(x)](n>1 且 n∈N ),则 f3(x)的表达式 为 ________ , 猜 想 fn(x)(n ∈ N*) 的 表 达 式 为 ________.
*

【思路分析】

由已知关系,计算f1(x)、f2(x)、

f3(x),猜想出fn(x).

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【解析】 由 f1(x)=f(x)和 fn(x)=fn- 1[fn- 1(x)](n>1 且 n x 1-x x * = , ?N ),得 f2(x)=f1[f1(x)]= x 1-2x 1- 1-x x 1-2x x f3(x)=f2[f2(x)]= = 2 ,?, 2x 1-2 x 1- 1-2x x 由此猜想 fn(x)= (n ? N*). - 1-2n 1x
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x 【答案】 f3(x)= 1-22x ∈N )
【规律方法】
*

x fn(x)= n-1 (n 1-2 x

归纳推理的特点:

(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而 由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. (2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足 于观察、经验或试验的基础之上的.
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类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步

骤是:
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性
质,得出一个明确的命题(猜想).

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在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中, 若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积 比为________. 【思路分析】 利用锥体体积和棱长的关系. 【解析】 由题意知,在平面上,两个相似的正三 角形的面积比是边长比的平方. 由类比推理知:体积比是棱长比的立方. 即可得它们的体积比为1:8. 【答案】 1∶8

例2

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【规律方法】 类比推理的关键是找到合适的 类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结 论等,可以类比到空间立体几何中,得到类似 结论. 平面 空间 点 线 线 面 圆 球 三角形 三棱锥 角 二面角 面积 体积 周长 表面积 ? ?
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不等式与推理证明
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演绎推理 三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为
大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判

断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个
判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的

内在联系,从而产生了第三个判断:结论.

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a 例3 已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1). a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称; 2 2 (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
【思路分析】 证明本题依据的大前提是中心对称的 a 定义,小前提是 f(x)=- x (a>0 且 a ? 1)的图象 a+ a 1 1 关于点( ,- )对称,利用两个前提可以求 f(x)+f(1 2 2 -x)=-1 的值.
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a 【解】 (1)证明:因为函数 f(x)=- x (a>0 且 a a+ a ≠1)的定义域为 R, 1 1 故可任取一点(x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐 2 2 标为(1-x,-1-y). a 由已知得 y=- x , a+ a a a 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a
x

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a f(1-x)=- 1- x a + a a a·x a ax =- =- , x =- x a a+ a· a a+ a x+ a a ∴-1-y=f(1-x), 1 1 即函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称. 2 2

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(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x), ∴f(x)+f(1-x)=-1, ∴f(-2)+f(3)=-1, f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, ∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 【误区警示】 此题在求-1-y和f(1-x)时易出

现混乱和化简整理方面的错误.
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不等式与推理证明
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方法感悟
方法技巧 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究 中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发 现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能 为证明提供思想与方向. 2.合情推理的过程概括为:
从具体问题出发 ― 观察、分析、比较、联想 ― → → 归纳、类比 ― 提出猜想 →
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3.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特 殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的 推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的 证明主要通过演绎推理来进行. 4.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到 的结论不一定正确.但合情推理常常帮助我们 猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路 和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提 和推理形式都正确的前提下).

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失误防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论, 发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来 证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性 ,书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有 猜想或拓展依据.

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考向瞭望·把脉高考

考情分析 从近几年的高考试题来看,归纳推理、类比推理、 演绎推理等问题是高考的热点,归纳推理、类比推 理大部分在填空题中出现,为中、低档题,突出“ 小而巧”,主要考查类比推理、归纳推理的能力; 演绎推理大多出现在解答题中,为中、高档题目, 在知识交汇点处命题,考查学生的逻辑推理能力, 以及分析问题、解决问题的能力. 预测2012年高考仍将以归纳推理、类比推理,特别 是演绎推理为主要考查点,重点考查学生的逻辑推 理能力.
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真题透析 例 (2010年高考陕西卷)观察下列等式:13+23 =(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43 =(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等 式为________. 【解析】 由前三个的规律即:左边为连续正整 数的立方和,右边为连续正整数和的平方,可得 结果. 【答案】 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+ 5)2(或152) 【名师点评】 本题考查了归纳推理,考生若仔 细分析已知的特点,很容易写出结果,试写出第 n个等式.
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名师预测 1.定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下 运算性质: (1)1*1=1,(2) (n+1)*1=n*1+1,则n*1等于 ( ) A.n B.n+1 C.n-1 D.n2 解析:选A.由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n- 1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1*1+(n-1).又∵1*1=1 ,∴n*1=n

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2.下列推理是归纳推理的是( ) A. B 为定点, A, 动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|, 则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想 出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 2 2 x y 2 2 2 2 C.由圆 x +y =r 的面积 πr ,猜想出椭圆 2+ 2 a b =1 的面积 S=πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

解析:选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn, 是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理,故应 选B.
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3.如图是今年元宵节花灯展中一款五角星灯连 续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁, 下一个呈现出来的 图形是( )

解析:选A.该五角星对角上的两盏花灯依次按逆 时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是A.
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4. 已知 =4

2 2+ =2 3 4 , ?, 若 15

2 , 3

3 3+ =3 8

3 , 8

4 4+ 15

a 6+ =6 t

a (a, 均为正实数), t t

则类比以上等式,可推测 a,t 的值,a+t=________.

解析:根据题意,可推测a=6,t=a2-1=35,
则a+t=41. 答案:41
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