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函数解析式的几种求法


1.2.2函数的表示方法 函数解析式的几种求法

一、代入法
已知 法。
f ( x) 的解析式,求 f (u( x))的解析式常用此

例:已知

f ( x) ? x 2 ?1



f ( x ? x2 ) .
2

解:用 x ? x ? x 代入
2 2 2 f ( x ? x ) ? ( x ? x ) ?1 得:

f ( x)

? f ( x ? x 2 ) ? x 2 ? 2x 2 ? x 4 ?1

二、配凑法
已知 f ( g ( x)) 的解析式,要求 f (的解析式时, x) g ( x) f ( g ( x)) 可从 的解析式中配凑出 ,即用 g ( x) g ( x) x 来表示,再将两边的 用 代替即可。
如:f ( x ?1) ? x ? 2 x,求 解:可以将右边 形式。 将 x ?1 用 x 代, 解得: f ( x) ? x2 ?1
f ( x) 。

2 ( x ? 1 ) ?1 的 x ? 2 x 凑成

三、换元法
f (的解析式时, x) 已知 f ( g ( x)) 的解析式,要求 f (t ) t ? g ( x) 可以令 ,再求出 的解析式,然后用 f (t ) 代替 t 解析式中所有的 即可。 x

如:f (

x ? 1) ? x ? 2 x ,求

f ( x) 。

解:设 t ? x ? 1 2 x ? t ? 1 得 ; x ? (t ? 1) 代入 f ( x ? 1) 所以 f (t ) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) 即: f ( x) ? x 2 ?1

四、待定系数法
如果已知函数类型,可设出函数的解析式, 再代入条件的方程(组),求出参数,即可 确定函数解析式。
例:已知 求 f ( x) 。
f ( x)为一次函数,如果 f ( f ( x)) ? 9 x ? 3

解:设 f ( x) ? kx ? b 则 f ( f ( x)) ? kf ( x) ? b ? k (kx ? b) ? b ? k 2 x ? kb ? b 2 9 x ? 3 ? k x ? kb ? b 由 ? k 2 ? 9 且 kb ? b ? ?3 ? k ? ?3 3 3 ? f ( x) ? 3 x ? 或 ? f ( x) ? -3x ?
4
2

五、方程组法
x)) f时, ( x) 已知 f ( x) 与 f ( g (满足的关系式,要求 g ( x) 可用 代替两边所有的 得到关于 与 f ( x) x f ( g ( x)) f ( x) f ( g ( x)) 即可。 的方程组, 消去 解出

f ( x) 与 常见的类型有: , 时, 1 ? x )代替,得到另一 将原式中的 用 x (或 x 1 f ( ) f ( ? x ) f ( x ) f ( x ) 个同时含 与 , 与 的关系式, x 将这两个关系式联立,列方程组解出 。 f ( x)

f (? x)

f (与 x)

1 f( ) x

例:已知 f ( x) ? f (? x) x ? 2 ,求 f ( x) .
解:用 ? x 代 x 得 f (- x) ? - f ( x) x ? 2 ?式与原式联立得

· · · · · ?

? f ( x) ? f ( ? x ) x ? 2 ? ? f (- x) ? - f ( x) x ? 2

? f ( x) ? (? f ( x) x ? 2) x ? 2 2x ? 2 ? f ( x) ? 2 x ?1

课后小结:

函数解析式的几种求法:

1、代入法 2、配凑法 3、换元法 4、待定系数法 5、方程组法

课后作业
2 f ( x ? 1 ) ? x ?1 求 f ( x) 的表达式; 1、已知

2、已知 f ( x) 为一次函数,如果 f ( f ( x)) ? 4 x ? 1 ,求 f ( x) 的表达式; 1 1 f ( x ? ) ? x ? f ( x ) 3、若 ,求 的表达式; x x 1 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x ) 的表达式。 4、已知 x
2 2


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