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湖北省武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:数系的扩充与复数的引入


武汉科技大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若复数 A.第一象限 【答案】D 2.已知 i 为虚数单位, z = A.第一象限 【答案】A 3.若 x ? 4 ? ( x ? x ? 2)i (其中 i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 x 的值为(
2 2

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

在复平面内对应的点位于( B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

i ,则复数 z 对应的点位于( 1+2i
C.第三象限

) D.第四象限

B.第二象限

)

A. ?2 【答案】C 4.若复数 z

B. ?2 或 1

C. 2

D. 2 或 ?2

?

1? i ? m?1 ? i ? ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m 的值为( .. 1? i
B.1 C.-1 D.2

)

A.0 【答案】A

a?i 5.设 i 为虚数单位,复数 1 ? i 是纯虚数,则实数 a 等于(
A.-1 【答案】A B.1 C.

) D. ?

2

2

6.复数 z=(a?-1)+(a+1)i,(a∈R)为纯虚数,则 a 的取值是( A.3 【答案】D 7.设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i ? i ? ? ? i
2 3 10

) D.1

B.-2

C.-1

?(

) D. ? 2i ) D. ?2

A. i 【答案】A

B. ? i

C. 2i

8.已知 i 是虚数单位,且 a, b?R ,若 a ? bi ? A.0 【答案】C 9.若 B. ?

2?i ,则 a+b=( 1? i
C. ?1

1 2

1 ? 2i =a+bi(a,b ? R,i 是虚数单位),则 a-b 等于( 1 - 2i 1 A.-7 B.-1 C.- 5

) D.-

7 5

【答案】D

10.设 z

2 2 ?1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 ? z =( ) z A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i

D. 1 ? i

【答案】C 11.已知 A.第一象限 B.第二象限 对应的点位于复平面内的( C.第三象限 )

D.第四象限 ) D.0 或 1 或 3

【答案】C 12.复数( m 2 – 3m) + mi (m?R) 是纯虚数,则实数 m 的值是( A.3 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) B.0 C.0 或 3

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.集合

?z | 2 ? z ? 3, z ? C?表示的图形面积是____________
? (2 ? i)i (i 为虚数单位),则 z =
.

【答案】 5? 14.已知复数 z 【答案】 5 15.若复数 z ? (m ? 5m ? 6) ? (m ? 3)i 是实数,则实数 m ?
2



【答案】3 16. z1 ,z2 ? C,z1 ? 2 z1 z2 ? 4 z2 ? 0,| z2 | ? 2 ,那么以|z1|为直径的圆的面积为
2 2

____________. 【答案】4π 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 z、? 为复数,(1+3i)z 为实数,?=

z , 且 | ? |? 5 2, 求? . 2?i

【答案】设 ?=x+yi(x,y∈R),依题意得(1+3i)(2+i)?=(-1+7i)? 为实数,且|?|=5 ∴?

2,

?7 x ? y ? 0 ? x ? y ? 50
2 2

,解之得 ?

? x ? 1 ? x ? ?1 或? , ? y ? 7 ? y ? ?7

∴?=1+7i 或 ?=-1-7i。 18.已知 z ? ( z ? 1) ? 5i ,求复数 z 。 【答案】设 z ? x ? yi( x, y ? R)

? x ? yi ?

?

x 2 ? y 2 ? 1 ? 5i

?

? ? x ? x 2 ? y 2 ? 1 ? x ? 12 ?? ?? ? ? y?5 ? y ? ?5 ?

? z ? 12 ? 5i

19.已知 z∈C , z + (1)求复数 z ;

2i 和

z 都是实数. 2- i

(2)若复数 ( z + ai ) 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1)设 z = a + bi( a, b

2

R) ,

则 z + 2i = a + (b + 2)i ,

z a + bi (a + bi )(2 + i ) 2a - b a + 2b = = = + i, 2- i 2- i (2 - i)(2 + i) 5 5 z ∵ z + 2i 和 都是实数, 2- i ì b+ 2= 0 ? ìa= 4 ? ? ∴ ? a + 2b ,解得 ? , í í ?b= - 2 ? ? ? ? 5 = 0 ? ? ∴ z = 4 - 2i . (2)由(1)知 z = 4 - 2i , 2 2 2 ∴ ( z + ai ) = [4 + (a - 2)i] = 16 - (a - 2) + 8( a - 2)i , 2 ∵ ( z + ai ) 在复平面上对应的点在第四象限, ì 16 - ( a - 2) 2 > 0 ? ∴? , í ? 8(a - 2) < 0 ? ? ì a 2 - 4a - 12 < 0 ì- 2< a< 6 ? ? 即? ,∴ ? , í í ?a< 2 ?a< 2 ? ? ? ?
∴-

2 < a < 2 ,即实数 a 的取值范围是 (- 2, 2) .

20.已知复数 z ? 3 ? bi(b ? R) ,且 (1 ? 3i) ? z 为纯虚数. (1)求复数 z ; (2)若 w ?

z ,求复数 w 的模 w . 2?i

【答案】(1) (1 ? 3i) ? (3 ? bi) ? (3 ? 3b) ? (9 ? b)i

? (1 ? 3i) ? z 是纯虚数

?3 ? 3b ? 0 ,且 9 ? b ? 0 ?b ? 1 ,? z ? 3 ? i 3 ? i (3 ? i)(2 ? i) 7 ? i 7 1 ? (2) w ? ? ? ? ? i 2 ? i (2 ? i) 2 ? i) 5 ( ? 5 5
7 1 ? w ? ( )2 ? ( )2 ? 2 5 5
21.已知复数 z1

? 1 ? 3i

求(1) z1 .z1 ? z 1 ? z1 的值; (2)若

z2 ? 2 , z1 .z 2 为纯虚数,求复数 z 2 1 ? 2i

【答案】(1)12;(2)3+I,-3-I;

m(m ? 2) ? (m2 ? 2m ? 3)i ,当 m 为何值时, m ?1 (1) z 为实数?(2) z 为虚数?(3) z 为纯虚数?
22.已知 m ? R ,复数 z ? 【答案】(1)若 z 为实数,则有 ?

?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 ?m ? 1 ? 0

即?

?m ? ?3或m ? 1 ?m ? 1

? m ? ?3
?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 (2)若 z 为虚数,则有 ? ?m ? 1 ? 0
即?

?m ? ?3且m ? 1 ?m ? 1

? m ? ?3且m ? 1
? m ( m ? 2) ? m ?1 ? 0 ? 2 ? (3)若 z 为纯虚数,则有 ?m ? 2 m ? 3 ? 0 , ?m ? 1 ? 0 ? ? ?

?m ? 0或m ? ?2 ? 即 ?m ? ?3且m ? 1 ?m ? 1 ?

? m ? 0或m ? ?2


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