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第二册上6.2《算术平均数与几何平均数》第二课时


算术平均数与几何平均数( 算术平均数与几何平均数(2) 本资料由内江一点通教育数学部整理 本资料由内江一点通教育数学部整理 数学部 高考数学冲刺服务电话: 高考数学冲刺服务电话:15828840710 刘老师 数学冲刺服务电话

一、复习引入: 复习引入: 1.重要不等式: 如果 a, b ∈ R, 那么a 2 + b 2 ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号) 2.定理:如果 a,b 是正数,那么 3.我们称

a+b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数. 2
a+b 2

a+b ≥ ab (当且仅当a = b时取" =" 号). 2

a 2 + b 2 ≥ 2ab和
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≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而
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后者要求 a,b 都是正数 “当且仅当”的含义是充要条件 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 以长为 a+b 的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b 过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′,那么 A
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D ab a C D'
其中当

b

B

CD 2 = CA ? CB ,即 CD = ab a+b a+b 这个圆的半径为 , 显然, 它不小于 CD, 即 ≥ ab , 2 2
且仅当点 C 与圆心重合;即 a=b 时,等号成立 讲解新课: 二、讲解新课:
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1 公式的等价变形:ab≤
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a 2 + b2 a+b 2 ,ab≤( ) 2 2

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2.

b a + ≥2(ab>0) ,当且仅当 a=b 时取“=”号; a b
3 3 3

3.定理:如果 a, b, c ∈ R + ,那么 a + b + c ≥ 3abc (当且仅当 a = b = c 时取“=” ) 证明:∵ a 3 + b 3 + c 3 ? 3abc = ( a + b) 3 + c 3 ? 3a 2 b ? 3ab 2 ? 3abc

= (a + b + c)[(a + b) 2 ? (a + b)c + c 2 ] ? 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[a 2 + 2ab + b 2 ? ac ? bc + c 2 ? 3ab] = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca )

=

1 (a + b + c)[(a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 ] 2
∴上式≥0 从而 a + b + c ≥ 3abc
3 3 3

∵ a , b, c ∈ R + 指 出 : 这 里 a , b, c ∈ R
+

若 a + b + c < 0 就不能保证(此公式成立的充要条件为

a+b+c ≥ 0)

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4.推论:如果 a, b, c ∈ R + ,那么
3 3 3

a+b+c 3 ≥ abc (当且仅当 a = b = c 时取“=” ) 3

证明: (3 a ) + (3 b ) + (3 c ) ≥ 33 a ? 3 b ? 3 c

? a + b + c ≥ 33 abc ?

a+b+c 3 ≥ abc 3 a1 + a 2 + L + a n 叫做这 n 个正数的算术 n

5.关于“平均数”的概念 如果 a1 , a 2 , L , a n ∈ R , n > 1且n ∈ N
+ +

则:

平均数; n a1 a 2 L a n 叫做这 n 个正数的几何平均数

推广:

a1 + a 2 + L + a n n ≥ a1 a 2 L a n n

n ∈ N * , a i ∈ R + ,1 ≤ i ≤ n
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语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

上述重要不等式有着广泛的应用,例如:证明不等式,求函数最值,判断变量或数学式 子的取值范围等等 它们涉及到的题目活,变形多,必须把握好凑形技巧 今天,我们就来进 一步学习均值不等式的应用
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三、讲解范例: 讲解范例: 范例 例 1 已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a + b + c > ab + bc + ca
2 2 2

证明:∵ a + b > 2ab
2 2

b 2 + c 2 > 2bc

c 2 + a 2 > 2ca

以上三式相加: 2( a 2 + b 2 + c 2 ) > 2ab + 2bc + 2ca ∴ a + b + c > ab + bc + ca
2 2 2

例 2 已知 a,b,c,d 都是正数,求证: (ab + cd )( ac + bd ) ≥ 4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时 加强对均值不等式定理的条件的认识 证明:∵a,b,c,d 都是正数,∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>0
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ab + cd ≥ ab ? cd > 0, 2

ac + bd ≥ ac ? bd > 0. 2

由不等式的性质定理 4 的推论 1,得



(ab + cd )(ac + bd ) ≥ abcd . 4

即 (ab + cd )( ac + bd ) ≥ 4abcd 点评:用均值不等式证明题时,要注意为达到目标可先宏观,而后微观;均值不等式在 运用时, 常需先凑形后运用; 均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有 效的方法 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 例 3 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低 总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最 值,其中用到了均值不等式定理 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得
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l = 240000 + 720( x +

1600 ) x

≥ 240000 + 720 × 2 x ?

1600 x = 240000 + 720 × 2 × 40 = 297600 1600 , 即x = 40时, l有最小值2976000. x

当x =

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元 评述: 此题既是不等式性质在实际中的应用, 应注意数学语言的应用即函数解析式的建 立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件 我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章 引例中的问题 用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相 应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案 课堂练习: 四、课堂练习
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1 已知 x≠0,当 x 取什么值时,x +
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81 的值最小?最小值是多少? x2 81 81 2 2 分析:注意到 x + 2 是和的形式,再看 x · 2 =81 为定值,从而可求和的最小值 x x
2 2

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解:x≠0 ? x >0,

81 81 2 2 81 >0,∴x + 2 ≥2 x ? 2 =18, 2 x x x
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当且仅当 x =

81 ,即 x=±3 时取“=”号 x2 2 81 故 x=±3 时,x + 2 的值最小,其最小值是 18 x
2
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2 一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少?

分析:均值不等式在实际问题中的应用相当广泛,解题过程中要(1)先构造定值,(2) 建立函数关系式,(3)验证“=”号成立,(4)确定正确答案
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解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(L-2x)m,其中 0<x<

1 ,其面积 S=x 2

(L-2x)=

1 1 2 x + L ? 2 x 2 L2 ·2x(L-2x)≤ ( ) = 2 2 2 8 L L L 时菜园面积最大,即菜园长 m,宽为 m 时菜园面 4 2 4

当且仅当 2x=L-2x,即 x=

L2 2 积最大为 m 8

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L?x m,面积 2 x+L?x 2 ( ) 2 x( L ? x) ( x ? L ? x ) L2 2 2 S= = ≤ = (m ) 2 2 2 8 L L 当且仅当 x=L-x,即 x= (m)时,矩形的面积最大 也就是菜园的长为 m,宽为 2 2
解法二:设矩形的长为 x m,则宽为
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L L2 2 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 m 4 8
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3 设 0<x<2,求函数 f(x)= 3x (8 ? 3x ) 的最大值,并求出相应的 x 值 分析:根据均值不等式: ab ≤ 8-3x 是否为正数;二要考查式子

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a+b ,研究 3x (8 ? 3x ) 的最值时,一要考虑 3x 与 2
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1 [3x+(8-3x) ]是否为定值 2

解:∵0<x<2, ∴3x>0,8-3x>0

3 x + (8 ? 3 x ) =4 2 4 当且仅当 3x=8-3x 时,即 x= 时取“=”号 3 4 故函数 f(x)的最大值为 4,此时 x= 3
∴f(x)= 3x (8 ? 3x ) ≤
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五、小结 :本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个 重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题 在解决问题时,我们重点从以下三个方面加以 考虑: 一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值); 二是合理寻求各因式或项的积或 和为定值;三是确定等号能够成立 只有这样,我们才能在分析具体问题的特点的过程当中 合理运用公式的适当形式和具体方式,解决某些函数的最值问题 课后作业: 六、课后作业 1 解答下列各题:
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2

(1)求函数 y=2x +

3 (x>0)的最小值 x

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(2)求函数 y=x +

1 (x>0)的最小值 x4 3 2 3 (3)求函数 y=3x -2x (0<x< )的最大值 2
2
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2

(4)求函数 y=x(1-x ) (0<x<1)的最大值
2

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(5)设 a>0,b>0,且 a +

b2 2 =1,求 a 1 + b 的最大值 2

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分析:我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题 根 据函数最值的含义,我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数,则当等号能够取到时,
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a+b ≥ ab ,若 ab 为常数 k,则当且仅当 a=b 时,a 2 1 +b 就有最小值 2 k ;若 a+b 为常数 s,则当且仅当 a=b 时, ab 就有最大值 s(或 2 1 xy 有最大值 s2) 因此,解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积” 4
这个常数即为另一端的一个最值 如
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2

解:(1)∵x>0 ∴2x >0,

9 3 3 3 3 2 2 >0,∴y=2x + =2x + + ≥3· 3 2 x x 2x 2x

2

当且仅当 2x =

3 3 ,即 x= 3 时等号成立 4 2x

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故当 x= 3

3 9 时,y 有最小值 3· 3 4 2

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(2) y = x +
2

1 x2 x2 1 1 = + + 4 ≥ 33 , 4 x 2 2 x 4

x2 1 当且仅当 = 4 即 x=± 6 2 时,等号成立 2 x
故当 x=± 6 2 时,y 有最小值 3 3

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1 4

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(3)∵0<x<
2

3 2

∴3-2x>0

∴y=x (3-2x)=x·x· (3-2x)≤( 当且仅当 x=3-2x 即 x=1 时,等号成立 2 (4)∵0<x<1 ∴1-x >0
2 2 2 2

x + x + 3 ? 2x 3 ) =1 3
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∵y =x (1-x ) =

1 1 2 3 4 2 2 2 ·2x (1-x ) (1-x )≤ ( ) = 2 2 3 27
3 时,等号成立, 3

2

2

当且仅当 2x =1-x 即 x=

∴当 x=

3 4 2 时,y 有最大值 3 27

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由题意可知:y>0,故当 x=

3 2 3 时,y 有最大值 3 9

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2

(5)∵a>0,b>0,且 a +

b2 =1 2

1 b2 2 2 1 b2 3 2 + ∴a 1 + b = 2 a ≤ (a + + ) = , 2 2 2 2 2 4
2

当且仅当 a=

1 b2 3 2 + ,即 a= , b= 时取“=”号 2 2 2 2

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故当 a=

3 2 3 2 2 , b= 时,a 1 + b 有最大值 2 2 4

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评述:用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意 考查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各 项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值 即用 均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等 若不满足这些条件, 则不能直接运用这种方法 如下面的几例均为错误的解法:
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(1)∵y=x+

1 ≥2,∴y 的最小值为 2 错误的原因是,当 x<0 时,就不能运用公式 事 x
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实上,当 x<0 时,y<0,故最小值不可能为 2
2

1 1 2 2 =2x +x + 4 ≥3 3 2 ,∴y 的最小值为 3 3 2 其错误的原因是忽视 4 x x 1 2 2 等号成立条件的研究,事实上等号成立的条件为 2x =x = 4 ,显然这样的 x 不存在,故 y x
(2)∵y=3x +
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没有最小值

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2

(3)∵y=x(1-x+x )≤[
2

x + (1 ? x + x 2 ) 2 1 + x2 2 ] =( ) 2 2
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当且仅当 x=1-x+x 即 x=1 时等号成立 ∴当 x=1 时,y 有最大值为 1

此种解法的错误在于
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1 + x2 1 + x2 不是定值 显然当 x 越大时, 也越大,故 y 无最大值 2 2
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2 如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽 2 米的 无盖长方体的沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设 箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中该杂质的质量份 数与 a、b 的乘积 ab 成反比 现有制箱材料 60 平方米,问 a、b 各为 多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B 孔面
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积忽略不计) 分析:应用题的最值问题,主要是选取适当的变量,再依据题设,建立数学模型(即函 数关系式),由变量和常量之间的关系,选取基本不等式求最值
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解法一:设 y 为流出的水中杂质的质量份数,根据题意可知:y= 是比例系数 依题意要使 y 最小,只需求 ab 的最大值 由题设得:4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0) 即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)
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k ,其中 k>0 且 k ab

∵a+2b≥2 2ab

∴2 2 ? ab +ab≤30
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当且仅当 a=2b 时取“=”号,ab 有最大值
2

∴当 a=2b 时有 2 2 ? ab +ab=30,即 b +2b-15=0 解之得:b1=3,b2=-5(舍去)∴a=2b=6 故当 a=6米,b=3 米时经沉淀后流出的水中杂质最少 解法二:设 y 为流出的水中杂质的质量份数,由题意可知:4b+2ab+2a=60(a>0, b>0)
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∴a+2b+ab=30 (a>0,b>0),∴b=

30 ? a 2+a

(0<a<30)

由题设:y=

k ,其中 k>0 且 k 是比例系数,依题只需 ab 取最大值 ab

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∴ y=

k k k k = = = 2 64 64 ? ab 30a ? a ? ? a + 32 ? 34 ? ?(a + 2) + a+2 a + 2? 2+a ? ?
k = k 18



34 ? 2 ( a + 2) ×

64 a+2

∴当且仅当 a+2=

64 时取“=”号,即 a=6,b=3 时 ab 有最大值 18 a+2
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故当 a=6米,b=3 米时经沉淀后流出的水中杂质最少 评述:均值不等式在实际问题中的应用相当广泛,解题过程为:(1)先构造定值;(2) 出现关系式;(3)验证“=”号成立 3 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,一条直线 分△ABC的面积为相等的两部分, 且夹在 AB 与 BC 之间的线段最短, 求此线段长 分析:本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在 AB 与 BC 之间
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的线段 EF,同时考虑到题设中的等量关系,即 S△BEF=

1 S△ABC,因 2
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此,所选变量还应便于求两个三角形的面积,于是考虑设 BE=x,BF=y 解:设 BE=x,BF=y(0<x<4,0<y<5) , 则 S△BEF=

1 1 BE·BFsinB= xysinB 2 2

1 1 BC·AC= ×3×4=6 2 2 1 1 1 依题意可知:S△BEF= S△ABC ∴ xysinB= ×6=3 2 2 2 AC 3 BC 4 ∵sinB= = ,xy=10 又 cosB= = BC 5 AB 5
又 S△ABC= ∴在△BEF中,由余弦定理得:

EF2=BE2+BF2-2BE·BF·cosB=x2+y2-2xy·
2 2

4 5

=x +y -16≥2xy-16=4, 当且仅当 x=y= 10 时,等号成立
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故此时线段 EF 的长为 2 评述:本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题 而求函数最值是不等式的重 要应用, 当解析式比较复杂时, 利用三角函数的有关知识, 巧妙地寻求等量关系, 合理变形, 是我们常用的一惯手法 从而使我们注意到:数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学 思想方法
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七、板书设计(略) 板书设计 八、课后记: 课后记:


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