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广东省佛山市南海区2014届高三8月质量检测数学理试题


佛山市南海区 2014 届普通高中高三质量检测 理科数学试题
2013.8 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。 1.设集合 A ? x x >1

, B ? ? x | x ( x ? 2) ? 0? ,则 A ? B 等于( (A) {x | 0 ? x ? 1} (B) ?x 1 ? x ? 2? 2.已知 a 是实数, (A) (C) x 0 ? x ? 2 )

?

?

) (D) {x | x ? 2}

?

?

a?i 是纯虚数,则 a 等于( 1? i
(B)

1

?1

(C)

2

(D) ? 2 )(A)

3.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于(

1

(B)

5 3

(C)

2
2

(D)

3

4. 用反证法证明命题: 若整数系数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理实数根, 那么 a ,

b , c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是:
(A)假设 a , b , c 至多有一个是偶数 (B)假设 a , b , c 至多有两个偶数 (C)假设 a , b , c 都是偶数 (D)假设 a , b , c 都不是偶数 5.若 a , b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件
10



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ) (D) 6

1? ? 6. ? x ? ? 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( x? ?
(A) 0
2

(B)

2

(C)

4

7. 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线 为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点 7 9


2 | AF | ,则△ AFK 的面积为(

(A) 4

(B)

8

(C)

16
1 2

(D) 32

8.给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x ?1 , y ? x , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个是增函数; ②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 , 0 ? n ? m ? 1 ; 则 ③若函数 f ( x) 是奇函数, f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 则

?3 x ? 2 , x ? 2, 1 对称;④已知函数 f ( x ) ? ? 则方程 f ( x) ? 有 2 个实数根,其中正确命题的个 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
数为 ( ) (A) 1 (B)

2

(C)

3

(D) 4

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

3 . 5 2 2 10.已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 ,若直线 y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则
9.若 sin ? ? ? ,且 tan ? ? 0 ,则 cos ? ?

k?

. .

11.一个几何体的三视图如左下图所示,则该几何体的表面积为

12.如右上图所示, EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到 该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部 分)内”,则 P( B | A) ? .

13.在等差数列 ? an ? 中,若 am ? p,an ? q (m, n ? N ,n ? m ? 1) ,则 am? n ?
*

nq ? mp . n?m

类比上述结论,对于等比数列 ?bn ? ( bn ? 0, n ? N ),若 bm ? r , bn ? s ( n ? m ? 2 ,
*

m, n ? N * ),则可以得到 bm? n ?



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)如图,圆 O 的割线 PAB 交圆

O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心.已知 PA ? 6 , 1 AB ? 7 , PO ? 12 .则圆 O 的半径 R ? ____ . 3

A P
C

B

? O

D

15. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 ( ? , ? )( 0 ? ? ? 2? ) 直线 ? ? 中, 截得的弦长是 .

?
4

被圆 ? ? 2 sin ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的最大值.

17.(本小题满分 12 分) 为了了解某班的男女生学习体育的情况,按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女生作为 样本,他们期末体育成绩的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数。 (1) 若该班男女生平均分数相等,求 x 的值; 女生 男生 (2) 若规定 85 分以上为优秀,在该 10 名男生中 2 6 0 2 4 随机抽取 2 名,优秀的人数记为 ? ,求 ? 的 8 7 9 分布列和数学期望. 7 4 4 8 9 x 0 8 1 2 8

18.(本小题满分 14 分)

已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn =2n ? 4n +1,数列 ?bn ? 的首项 b1 =2 ,且点 (bn , bn ?1 ) 在直线
2

(1)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式;

y ? 2 x 上.

b (2)若 cn ? an ? n ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .
19.(本小题满分 14 分) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将△ AED 、△ DCF 分别沿 DE 、 DF 折起,使 A 、 C 两点重合于点 A? ,连接 EF , A?B . (1)求证: A?D ? EF ; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的余弦值.

20.(本小题满分 14 分) 设 P 是曲线 C1 上的任一点,Q 是曲线 C2 上的任一点, PQ 的最小值为曲线 C1 与曲线 C2 的 称 距离. (1)求曲线 C1 : y ? e 与直线 C2 : y ? x ? 1 的距离;
x

(2) 设曲线 C1 : y ? e 与直线 C3 : y ? x ? m( m ? R,m ? 0 ) 的距离为 d1 , 直线 C2 : y ? x ? 1
x

与直线 C3 : y ? x ? m 的距离为 d 2 ,求 d1 ? d 2 的最小值.

21.(本小题满分 14 分) 已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条件: ①

? xi ? 0 ;
i ?1

n



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ; (Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) ,

求证:

?a x
i ?1

n

i i

?

1 (a1 ? an ) . 2

南海区 2014 届普通高中高三质量检测理科数学试题参考答案
2013、8 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求 的. 1-4 BA C D 5-8 CBDC

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9、

?

4 5

10、 ?

2 4

11、

75 ? 4 10

12、

1 4

13、 bm ? n ? n ? m

sn rm

(二)选做题:

14、 8 ;

15、 2

三、解答题 本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16.【解析】 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) ? 2sin x ? 2sin x cos x ??1 分
2

? 1 ? cos 2x ? sin 2x ??2 分
? 2( 2 2 sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ??3 分 2 2

? 2(sin 2 x cos

?

2? ? ? ??7 分 2 ? ? ? 3? (2)∵ 0 ? x ? ,∴ ? ? 2 x ? ? ??8 分 2 4 4 4 ? ? 3? ∴当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值??10 分 4 2 8 3? ? 且最大值为 f ( ) ? 2 sin ? 1 ? 2 ? 1??12 分 8 2
(1) f ( x) 的最小正周期 T ?

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ??5 分 4

?

? cos 2 x sin ) ? 1 ??4 分 4 4

?

17.解:(1)依题意可得,

62 ? 78 ? 84 ? 87 ? 94 60 ? 62 ? 64 ? 79 ? 80 ? x ? 88 ? 90 ? 91 ? 92 ? 98 , ? 5 10
∴ x=6. (2)由茎叶图可知,10 名男生中优秀的人数为 6 人。 ∴ P (? ? 0) ?
2 C4 2 ? , 2 C10 15

1分

------------------------------3 分 -----------------------------4 分 ------------------------------6 分

P(? ? 1) ?

1 C4 ? 6 8 C1 ? , 2 C10 15

-----------------------------8 分

P(? ? 2) ?

C62 1 ? , 2 C10 3
0 1

---------------------------10 分

?
P

2

2 15
3

8 15
1 6

1 3

∴ E (? ) ?

? ? ?P ? 0 ? 15 ? 1? 15 ? 2 ? 3 ? 5
i ?1 i i

2

8



答: ? 的数学期望为

6 . 5
2
2

-------------------------12 分

( ) 4 18.解:(1)由 Sn =2n ? 4n+1 得 Sn -1 =2 n ? 1 ? (n ? 1)+1 ,
2 ) 4 ∴ an ? Sn ? Sn -1 =2n ? 4n+1 ? (n ? 1 ? (n ? 1) ? 1=4n ? 2(n ? 2)
2 2

--------1 分 ---------2 分

当 n =1 时, a1 =7 , 综上 an ? ?

-----------------------------3 分

?4n ? 2(n ? 2) . ?7(n ? 1)

--------------------------4 分

∵点 (bn , bn ?1 ) 在直线 y ? 2 x 上,∴ bn ?1 ? 2bn ,又 b1 =2 , ∴ ?bn ? 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列, bn ? 2 .
n

------------------5 分 ------------------7 分 --------------8 分

b (2)由(1)知,当 n ? 1 时, c1 ? a1 ? 1 ? 14 ;
b 2 2 当 n ? 2 时, cn ? an ? n ? (4n ? 2)? ? (2n ? 1)?
n n ?1



---------------9 分

所以当 n ? 1 时, T1 ? c1 ? 14 ;

2 2 当 n ? 2 时, Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ? 14 ? 5 ? 2 ? ... ? (2n ? 1)? ? (2n ? 1)?
3 n

n ?1

① - ---------10 分

2 则 2Tn ? 28 ? 5 ? 2 ? ... ? (2n ? 1)?
4 3 5 6

n ?1

? (2n ? 1)?2n ? 2
n?2



②-①得: Tn ? 14 ? 5 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 即 Tn ? 14 ? 5 ? 2 ?
3

? (2n ? 1)?2n? 2

-------------12 分

25 (2n ?2 ? 1) ? (2n ? 1)?2n ? 2 ? (2n ? 1)?2n ? 2 ? 6 , 2 ?1
1? 2

---------------13 分

2 显然,当 n ? 1 时, T1 ? (2 ?1 ? 1)? 2 所以 Tn ? (2n ? 1)?
n?2

? 6 ? 14 ,
----------------14 分

?6.

19.【解析】(1)在正方形 ABCD 中,有 AD ? AE , CD ? CF 则 A?D ? A?E , A?D ? A?F 又 A?E ? A?F ? A? ∴ A?D ? 平面 A?EF 而 EF ? 平面 A?EF ,∴ A?D ? EF (2)方法一:连接 BD 交 EF 于点 G ,连接 A?G ∵在正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF , DE ? DF , ∴点 G 为 EF 的中点, 且 BD ? EF ∵正方形 ABCD 的边长为 2,∴ A?E ? A?F ? 1,∴ A?G ? EF ∴ ?A?GD 为二面角 A? ? EF ? D 的平面角 ……9 分 由(1)可得 A?D ? A?G , ∴△ A?DG 为直角三角形 ??10 分 ∵正方形 ABCD 的边长为 2, ∴ BD ? 2 2 , EF ? ∴ BG ?

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分 ……6 分

……7 分 ……8 分

2,

G
2 2 3 2 ? , DG ? 2 2 ? , 2 2 2
??11 分

又 A?D ? 2 ∴ A?G ?

DG 2 ? A?D 2 ?

9 2 ?4 ? 2 2

??12 分

2 A?G 1 ∴ cos ?A?GD ? ? 2 ? DG 3 2 3 2

??13 分

∴二面角 A? ? EF ? D 的余弦值为

1 3

??14 分

方法二:∵正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF ? A?E ? A?F ? 1 , ∴ EF ?

2

??6 分 ??7 分

∴ A?E 2 ? A?F 2 ? EF 2 ,∴ A?E ? A?F 由(1)得 A?D ? 平面 A?EF , ∴分别以 A?E , A?F , A?D 为 x , y ,

z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系 A? ? xyz , 则 A?(0,0,0) , E (1, 0, 0) , ??8 分

z x y

F (0,1, 0) , D(0,0, 2)
???? ????

??9 分

∴ DE ? (1, 0, ?2) , DF ? (0,1, ?2) ,

?? ???? ?? ?n1 ? DE ? x ? 2 z ? 0 ? 设平面 DEF 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则由 ? ?? ???? , ?n1 ? DF ? y ? 2 z ? 0 ? ?? 可取 n1 ? (2, 2,1) ??11 分
又平面 A?EF 的一个法向量可取 n2 ? (0, 0,1)

?? ?

??12 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? | n1 || n2 |

1 4 ? 4 ? 1 ?1

?

1 3

??13 分

∴二面角 A? ? EF ? D 的余弦值为

1 . 3

??14 分

20.解:(1)只需求曲线 C1 上的点到直线 y ? x ? 1 距离的最小值. 设曲线 C1 上任意一点为 P( x, e ), 则点 P ( x, e ) 到 y ? x ? 1 的距离为
x x

??1 分

d?

x ? ex ?1 2
x

?

ex ? x ? 1 2
x x

??3 分

令 f ( x) ? e ? x ? 1 ,则 f ?( x) ? e ? 1 ,由 f ?( x) ? e ? 1 ? 0 ? x ? 0 ;

f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ? x ? 0; f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ? x ? 0.

??5 分

故当 x ? 0 时, 函数 f ( x) ? e ? x ? 1 取极小值即最小值 f (0) ? 2 ,
x

即d ?

ex ? x ? 1 2

取最小值 2 ,故曲线 C1 与曲线 C2 的距离为 2 ;

??8 分

(2)由(1)可知, d1 ?

| m ? 1| | m ? 1| ,又易知 d 2 ? , 2 2

??9 分

则 d1 ? d 2 ?

| m ? 1| | m ? 1| 1 2 ? ? ?| m ? 1| ? | m ? 1|? ? ? 2 , 2 2 2 2

??12 分

当且仅当 (m ? 1)(m ? 1) ? 0 时等号成立,考虑到 m ? 0 ,所以,当 0 ? m ? 1 时,

d1 ? d2 的最小值为 2 .

??14 分

21.(Ⅰ)解: ?

? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1. ?

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

1 ? ? x1 ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ?x ? ? 1 . ? 2 ? 2 1 ? ? x1 ? ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ?x ? 1 . ? 2 2 ?
(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1 .

???????????2 分

????????????4 分

所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1 .

??????????9 分

(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) .

所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an ,

即 a1 + an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .

?????????11 分

? ai xi ?
i ?1

n

n 1 n 1 1 ai xi ? a1 ? xi ? an ? xi ? ? 2 i ?1 2 i ?1 2 i ?1

n

? (2a ? a
i ?1 i

n

1

? an ) xi

?

1 n 1 n ( a1 ? an ? 2ai xi ) ? ? ( a1 ? an xi ) ? 2 i ?1 2 i ?1
n

?

1 a1 ? an 2

?x
i ?1

i

1 ? (a1 ? an ) . 2

??????????14 分


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