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100测评网高中数学复习通州市2009届高三第二次调研测试


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通州市 2009 届高三第二次调研测试

数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 满分 160 分
. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若集合 A ? {x || x |? x}

,B ? {x | x 2 ? x ? 0},则 A∩B=

? f (2 )映 射 2 . 已 知 集 合 A ? {1, 2 , 3} , B ? {?1, 0,1} , 则 满 足 条 件 f ( 3 )? f (1) 的 f : A? B的个数是
3.给出下列程序: i←1 While i<7 i←i+2 s←2i+3 End While Print s End 其运行后,输出结果为 4.已知曲线 y ? . . .

1 2 x ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为 2
象限.

2i 3 5.在复平面中,复数 z ? ( i 为虚数单位)所对应的点位于第 1? i

6.给出 50 个数,1,3,7,13,21,…,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数 大 2,第 3 个数比第 2 个数大 4,第 4 个数比第 3 个数大 6,…,以此类推.以下流程图 给出了计算这 50 个数的和的一种算法, 那么在 (1) 处应该填写的内容是 .

7.如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为 4,且侧棱 AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 4 的正 方形,该三棱柱的左视图面积为 8.若 z ? 1 ? 2 ,则 z ? 3i ? 1 的最小值为 . .

9.曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的面积为 . 10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明 文(解密),已知加密规则如图所示,例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 . 当接收方

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收到密文 9,10,22,24 时,则解密得到的明文为 .

开 始 i←1,p←1,s←0
否 开始 输入 a,b,c,d
A _ B _ _ A B _

i≤50


s←s + p (1) i←i +1
俯视图
A_ _ 1 B_ _ 1 A_ _ 1

m ? a ? 2b n ? 2b ? c p ? 2c ? 3d
正视图
B_ _ 1

q ? 4d
输出 m,n,p,q 结束

输出 s 结 束
第 6 题图 第 7 题图 第 10 题图

11. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 所得小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是 1∶ 2,那么小圆锥的高与原来大圆锥的高的比值是 .

12.规定符号 “ * ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b, a, b 是正实数,已知 1 ? k ? 7 ,则 函数 f ( x) ? k ? x 的值域是_____ _. D1 A1 P D A
第 14 题图

13.若空间一点 P 到两两垂直的射线 OA, OB, OC 的距离分别 为 a, b, c , 则 以 OP 为 半 径 的 球 的 表 面 积 为 .

C1 B1

14.如右图所示,在单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的面对角 线 A1 B 上存在一点 P 使得 AP ? D1 P 最短, 则 AP ? D1 P 的最小值为 .

C B

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二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)已知复数 z ?

a 2 ? 7a ? 6 ? (a 2 ? 5a ? 6)i (a ? R) ,试求实数 a a ?1

分别为什么值时, z 分别为: (Ⅰ)实数; (Ⅱ)虚数; (Ⅲ)纯虚数

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16. (本题满分 14 分)如图,在四棱椎 P—ABCD 中,ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, PA=AD=1,AB=2 , (1)若点 E 是 CD 上的动点,.求三棱椎 E—PAB 体积; (2)若 E 是 CD 的中点, F 是 PD 上一点, PE 与 AF 成 60°角,求

FD 的值. PD

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17. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,3) ,求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若 a 为整数, b ? a ? 2 ,且函数 f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上恰有一个零点,求 a 的值.

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18. (本题满分 16 分)如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥ 面 ABC,AC=BC,M、 N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:面 PCC1⊥ 面 MNQ; (Ⅱ)求证:PC1∥ 面 MNQ. C1 C Q B P A M A1 N B1

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ln x . x

19. (本题满分 16 分)已知函数 y ? f ( x ) ? (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

1 处的切线方程; e

(Ⅲ) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值.

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t (t ? 0), 过点 P(1,0)作曲线 y ? f ( x) 的两条 x

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? 切线 PM、PN,切点分别为 M、N.

(I)当 t ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (II)设|MN|= g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (III)在(II)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [ 2, n ?

64 ] 内,总存在 m+1 n

个数 a1 , a2 ,?, am , am?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成 立,求 m 的最大值.

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高三理科数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1、 (1, +?) 8、1 9、 2、 7 3、 17 4、 3 11、 5、 三 12、?4, ? ?) 6、 p←p+2i 13、2(a
2

7、8 3

4 3

10、1,4,2,6

2 2

? b2 ? c2 ) π

14、 2 ?

2

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 15.解: (Ⅰ)当 z 为实数时,则 ? ?a ? 1 ? 0
? a ? ?1或 a ? 6 ,且 a ? ?1,?当 a ? 6 时, z 为实数.
5分

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 (Ⅱ)当 z 为虚数时,则 ? ?a ? 1 ? 0
? a ? ?1 且 a ? 6 , z 为虚数.
10 分

?a ? 5a ? 6 ? 0 ? 2 (Ⅲ)当 z 为纯虚数时,则 ?a ? 7a ? 6 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ? ? a ? 1 , z 为纯虚数.
2

14 分

16.解: (Ⅰ)? PA ? 平面ABCD ,△ABE 是定值, ∴ VE ? PAB ? VP ? ABE ?

1 1 1 1 S?ABE ? PA ? ? ? 1? 2 ? 1 ? 3 3 2 3
z P

6分

(Ⅱ)分别以 AB、AD、AP 为 x、y、z 轴建立 坐标系(如图) ,则由题知:A(0,0,0) ,P (0,0,1) ,E 为 CD 中点,CD=2,E(1,1, 0) , PE =(1,1,-1) 设 8分

FD =m,F(0,1-m,m)(0≤m≤1) PD

F A B x E C D y

AF =(0,1-m,m)…………10 分

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PE 与 AF 成 60°角,则 |

PE AF 1 |? | PE | | AF | 2 1 2

即|

1 ? 2m 3 (1 ? m)2 ? m2
2

|?

化简得 10m ? 10m ? 1 ? 0

m?

1 15 ? 2 10
FD 1 15 = ? PD 2 10

…………13 分

经检验,均满足 0≤m≤1,故

…………14 分

17.解: (Ⅰ)? 不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 解集是 (?1,3) ,故方程 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的两根 是 x1 ? ?1 , x2 ? 3 ,

1 b ? x1 x2 ? ?3 , ? x1 ? x2 ? 2 . a a 1 2 所以 a ? ? , b ? ? . 3 3 1 (Ⅱ)当 a=0 时,f(x)=0,x= ,不合题意. 2
当 a≠0 时,

4分 6分 8分

b ? a ? 2,? f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1, ? ? (a ? 2)2 ? 4a ? 0
函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 必有两个零点, 又函数 f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上恰有 一个零点,故 f (?2) f (?1) ? 0 , 9分 11 分

(6a ? 5)(2a ? 3) ? 0 ,

3 5 ? ?a?? 2 6,
又 a ? Z ,? a ? ?1 . 18. (Ⅰ)∵AC=BC, P 是 AB 的中点 ∴AB⊥PC ∵AA1⊥ 面 ABC,CC1∥AA1, ∴CC1⊥ 面 ABC 而 AB 在平面 ABC 内 ∴CC1⊥ AB, C B P A M

13 分 14 分 C1 Q N A1 B1

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∵CC1∩PC=C ∴AB⊥ 面 PCC1; 5分 又∵M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,四边形 AA1B1B 是平行四边形,MN∥ AB, ∴MN⊥ 面 PCC1 ∵MN 在平面 MNQ 内, ∴ 面 PCC1⊥ 面 MNQ; 8分 (Ⅱ)连 PB1 与 MN 相交于 K,连 KQ, ∵MN∥PB,N 为 BB1 的中点, ∴K 为 PB1 的中点. 又∵Q 是 C1B1 的中点 ∴PC1∥KQ 14 分 而 KQ ? 平面 MNQ,PC1 ? 平面 MNQ ∴ PC1∥ 面 MNQ. 16 分 19.解(Ⅰ)? f ( x) 定义域为 ?0,???

? f / (x) ?

1 - lnx x2

2分

1 ? f ( ) ? ?e e / 1 2 又 ? k ? f ( ) ? 2e e 1 ? 函数 y ? f ( x) 的在 x ? 处的切线方程为: e 1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
(Ⅱ)令 f ( x) ? 0 得 x ? e
/

4分

5分 6分

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数
/

8分 10 分

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

(Ⅲ)? a ? 0 ,由(2)知:

F ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减.

? F ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)}

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? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2
12 分 14 分 16 分

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F ( 2a ) ?

1 ln 2a 2

20. 解: (I)当 t ? 2时, f ( x) ? x ?

2 , x

f ?( x) ? 1 ?

2 x2 ? 2 ? ?0 x2 x2

1分

解得x ? 2, 或x ? ? 2 .则函数 f ( x) 有单调递增区间为 (??,? 2 ), ( 2,??) 4 分
(II)设 M、N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t t t ,? 切线PM的方程为: y ? ( x1 ? ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ). 2 x1 x x1 t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ). x1 x1

又 ? 切线PM过点P (1,0),? 有0 ? ( x1 ? 即x12 ? 2tx1 ? t ? 0. (1)
2

同理,由切线 PN 也过点(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0. (2) 由(1) 、 (2) ,可得 x1 , x2是方程x ? 2tx ? t ? 0 的两根,
2

6分

? x1 ? x 2 ? ?2t ?? ? x1 ? x 2 ? ?t.

(*)

8分

| MN |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2 t 2 ) ] x1 x2

[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?
把(*)式代入,得 | MN |?

20t 2 ? 20t , 20t 2 ? 20t (t ? 0)
10 分

因此,函数 g (t )的表达式为 g (t ) ? (III)易知 g (t )在区间[2, n ?

64 ] 上为增函数, n

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? g (2) ? g (ai )(i ? 1, 2, g (a1 ) ? g (a2 ) ?

, m ? 1). ? g (am ).

则m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ?

? g (am ) ? g (am?1 )对一切正整数n成立,
64 )对一切的正整数 n恒成立 n
13 分

? 不等式 m ? g (2) ? g (n ?

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?
即m ? ?n ? ?m ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )]对一切的正整数 n恒成立 6 n n 1 2 136 [16 ? 16] ? . 6 3

64 1 64 64 ? 16,? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? n 6 n n 136 . 3

由于 m 为正整数,? m ? 6 .

15 分

又当 m ? 6时, 存在a1 ? a2 ? ? ? am ? 2, am?1 ? 16, 对所有的 n满足条件 . 因此,m 的最大值为 6. 16 分

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