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高中数学 1.3《二项式定理》教学案 新人教A版选修选修2-3


1.3 二项式定理
学习目标: 1 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用;
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2.初步了解用赋值法是解 决二项式系数问题; 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能 力 学习重点:二项式系数的性质及其对性质的 理解和应用 学习难点:二项式系数的性质 及其对性质的理解和应用 课类型:新授课
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课时安排:1 课时 教

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具:多媒体、实物投影仪

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教学过程: 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例: (1) ( a ? b ) ? C n a ? C n a b ? ? ? C n a
n 0 n 1 n r n 1 r r n?r

b ? ? ? C n b (n ? N ) ,
r n n

?

(2) (1 ? x ) ? 1 ? C n x ? ? ? C n x ? ? ? x .
n

2.二项展开式的通项 公式: T r ? 1 ? C n a
r

n?r

b

r
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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有理项时要 注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课 : 1 二项式系数表(杨辉三角)
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( a ? b ) 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2 , 3 ?时,二项式系
n

数表,表中 每行两端都 是 1 ,除 1 以外的每一个数都等于它肩上两 个数的和
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2.二项式系 数的性质:
( a ? b ) 展开式的二项式系数是 C n , C n , C n ,?, C n . C n 可以看成
n
0 1 2 n r

以 r 为自变量的函数 f ( r ) 定义域是 {0,1, 2, ? , n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图)

(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ C n ? C n
m

n?m

) .

直线 r ?

n 2

是图象的对称轴.
k

(2)增减性与最大值.∵ C n ? ∴ C n 相对于 C n 当k ?
n ?1 2
k k ?1

n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? k ? 1) k!

? Cn

k ?1

?

n ? k ?1 k n ?1



的增减情况由

n ? k ?1 k

决定,

n ? k ?1 k

?1? k ?



2

时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取

得最大值;
n n ?1 n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 C n2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 C n 2 , C n 2 取得最大 值. (3)各二项式系数和:
1 ∵ (1 ? x ) n ? 1 ? C n x ? ? ? C nr x r ? ? ? x n ,

令 x ? 1 ,则 2 ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ? ? C n
n 0 1 2 r

n
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三、讲解范例: 例 1.在 ( a ? b ) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
n
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1 证 明 : 在 展 开 式 ( a ? b ) n ? C n0 a n ? C n a n b ? ? ? C nr a n ? r b r ? ? ? C nn b n ( n ? N ? ) 中 , 令

a ? 1, b ? ? 1 ,则 (1 ? 1) ? C n ? C n ? C n ? C n ? ? ? ( ? 1) C n ,
n 0 1 2 3 n n

即 0 ? (C n ? C n ? ? ) ? (C n ? C n ? ? ) ,
0 2 1 3

∴Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ,
0 2 1 3

即在 ( a ? b ) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
n

说明:由性质(3)及例 1 知 C n ? C n ? ? ? C n ? C n ? ? ? 2
0 2 1 3

n ?1

.

7 2 7 例 2.已知 (1 ? 2 x ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 7 x ,求:

(1) a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ;

(2) a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ;

(3) | a 0 | ? | a1 | ? ? ? | a 7 | .

7 7 解: (1)当 x ? 1 时, (1 ? 2 x ) ? (1 ? 2 ) ? ? 1 ,展开式右边为

a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 7

∴ a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ? ? 1 , 当 x ? 0 时, a 0 ? 1 ,∴ a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ? ? 1 ? 1 ? ? 2 , (2)令 x ? 1 , a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ? ? 1 ① ②
1? 3 2
7

令 x ? ? 1 , a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? 3 7

① ? ② 得: 2 ( a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ) ? ? 1 ? 3 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ?
7

.

(3)由展开式知: a1 , a 3 , a 5 , a 7 均为负, a 0 , a 2 , a 4 , a 8 均为正, ∴由(2)中①+② 得: 2 ( a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ) ? ? 1 ? 3 7 , ∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?
?1 ? 3 2
7



∴ | a 0 | ? | a 1 | ? ? ? | a 7 | ? a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7
? ( a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ) ? ( a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ) ? 3
2 10 3

7
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例 3.求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数
( 解: (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? 1 ? x ) ?
2 10

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(1 ? x )[ 1 ? (1 ? x ) ]
10

1 ? (1 ? x )

=

( x ? 1)

11

? ( x ? 1) x



∴原式中 x 实为这分子中的 x ,则所求系数为 C 11 例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 解:∵ ( x ? 3 x ? 2 ) ? ( x ? 1) ( x ? 2 )
2 5 5
5 2 5
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3

4

7

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5

∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C 5 ? 5 x ,
1

在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C 5 2 x ? 80 x
1 4

5

5

∴展开式中含 x 的项为 1 ? ( 80 x ) ? 5 x ( 32 ) ? 240 x , ∴此展开式中 x 的系数为 240 例 5.已知 ( x ?
2 x
2 n
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) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比 为 14;3,求展开式

的常数项

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解:依题意 C n : C n ? 14 : 3 ? 3 C n ? 14 C n
4 2 4 2

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n- 1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又 T r ? 1 ? C 10 ( x )
r 10 ? r

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(?

2 x
2

10 ? 5 r

) ? ( ? 2 ) C 10 x
r r r

2



10 ? 5 r 2

? 0 ? r ? 2,
2 2

? T 2 ? 1 ? C 10 ( ? 2 )

? 180 . 此所求常数项为 180

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四、课堂练习: (1) ? 2 x ? 5 y ? 的展开式中二项式系数的和为
20

,各项系数的和为

,二项

式系数最大的项为第 (2) ( x ?
1 x
n

项; . )

) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为

1 1 (3) C n0 + 2 C n + 4 C n2 + ? ? 2 n C nn ? 729 ,则 C n ? C n2 ? C n3 ? ? ? C nn ? (

A. 6 3 (4)已知: (2 ?

B. 6 4
3x)
50

C. 31
2

D. 3 2
50

? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 50 x



求: ( a 0 ? a 2 ? ? ? a 50 ) 2 ? ( a1 ? a 3 ? ? ? a 49 ) 2 的值 答案: (1) 2 , 3 , 1 1 ;
20

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20

(2)? 展开式中只有第六项的二项式系数最大, ∴ n ? 10 , T 4 ? C 1 0 ( x ) ( ) ? 1 2 0 x ;
3 7 3

1

x

(3)A.

五、小结 :1.性质 1 是组合数公式 C n ? C n
r

n?r

的再现,性质 2 是从函数的角度研究的二项

式系数的单调性,性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和; 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求 解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业:
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七、板书设计(略)

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八、课后记:
6

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求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 . 解: 0.998 ? (1 ? 0.002) ? C 6 ? C 6 ( ? 0.002) ? ? ? C 6 ( ? 0.002) ,
6 6 0 1 1 6 6

展开式中第三项为 C 6 0.002 ? 0.00006 ,小于 0.001 ,以后各项的绝对值更小,可忽略不
2 2

计,∴ 0.998 ? (1 ? 0.002) ? C 6 ? C 6 ( ? 0.002) ? 0.998 ,
6 6 0 1 1

一般地当 a 较小时 (1 ? a ) ? 1 ? n a
n

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