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第五章平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算教学案 理 新人教A版


5.1

第五章 平面向量 平面向量的概念及其线性运算

考纲要求 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 向量 a 的单 位向量 共线向量 (平行 向量) 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量 运算

定义 既有______又有______的 量,向量的大小叫做向量的 ______(或______) 长度为______的向量,其方 向是任意的 与非零向量 a 同方向且长度 ______的向量 ______向量叫做共线向量 (平行向量) 长度______且方向______的 向量 长度______且方向______的 向量 定义

备注 平面向量是自由向量 记作______ 非零向量 a 的单位向量为

a |a|
0 与任一向量______(共线) 记作 a=b 0 的相反向量为 0

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向 量和的 运算

三角形法则

(1)交换律:a+b= ____. (2)结合律:(a+b) +c=______.

平行四边形法则 减法 求 a 与 b 的相反向量 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差

a-b=a+(-b)
三角形法则 (1)|λ a|=______. (2)当 λ >0 时,λ a 与 a 的方向____;当 λ <0 时,λ a 与 a 的方向____;当 λ = 0 时,λ a=____.

数乘

求实数 λ 与向量 a 的积的运算

λ (μ a)=____;(λ +μ )a=______; λ (a+b)=______.

1

3.平面向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是:__________. 1.给出下列命题: ①向量 AB 与向量 BA 的长度相等,方向相反; ② AB + BA =0; ③a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ④两个相等向量的起点相同,则其终点必相同; ⑤ AB 与 CD 是共线向量,则 A,B,C,D 四点共线,其中不正确的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 ).

2. 已知 O, A, B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C, 满足 2 AC + CB =0, 则 OC 等于( ). A.2 OA - OB B. ?OA +2 OB 2 1 C. OA - OB 3 3 1 2 D.- OA + OB 3 3 3.平面向量 a,b 共线的充要条件是( ). A.a,b 方向相同 B.a 与 b 中至少有一个为零向量 C.? λ ∈R,使 b=λ a D.存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 4.已知向量 a,b,且 AB =a+2b, BC =-5a+6b, CD =7a-2b,共线的三点是 __________.

AD =b, 5. 在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边的中点, 且 AB =a, 则 BE =__________(用
a,b 表示).

一、向量的概念 【例 1】判断下列各命题是否正确. (1)零向量没有方向; (2)若|a|=|b|,则 a=b; (3)单位向量都相等; (4) 向量就是有向线段; (5)如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c; (6)若 a=b,b=c,则 a=c; (7)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB = CD , BC = DA ; (8)a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 方法提炼 1.平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键, 特别是对相等向量、 零向量等概念的 理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法. 2.几个重要结论
2

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性; (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; (3)平行向量与起点无关. 请做演练巩固提升 1 二、向量的线性运算 【例 2-1】 在△ABC 中, ∠A=60°, ∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D, 已知 AB=3, 且 AD 1 = AC +λ AB (λ ∈R),则 AD 的长为( ). 3 A.1 B. 3 C.2 3 D.3 【例 2-2】如图所示,已知 OA =a,OB =b,OC =c,OD =d,OE =e,OF =f, 试用 a,b,c,d,e,f 表示:

(1) AD - AB ; (2) AB + CF . 方法提炼 1.平面向量的线性运算法则的应用 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法, 共起点的向量的和用平行四 边形法则,差用三角形法则. 2.两个重要结论 1 (1)向量的中线公式:若 P 为线段 AB 的中点,则 OP = ( OA + OB ). 2 (2)向量加法的多边形法则

A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 +?+ An?1 An = A1 An .
提醒:当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与 三角形法则在本质上是一致的 ,但当两个向量共线(平行)时,平行四边形法则就不适用了. 请做演练巩固提升 2,3 三、向量的共线问题 【例 3-1】 设 e1,e2 是两个不共线向量,已知 AB =2e1-8e2, CB =e1+3e2, CD = 2e1-e2. (1)求证:A,B,D 三点共线; (2)若 BF =3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值 . 【例 3-2】设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 方法提炼 1.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共 线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 提醒:平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同,两 向量平行时,两向量可以在同一条直线上. 请做演 练巩固提升 5 以向量为背景的新定义问题
3

【 典 例 】 设 A1 , A2 , A3 , A4 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 两 两 不 同 的 四 点 , 若 A1 A3 = 1 1 λ A1 A2 (λ ∈R), A1 A4 =μ A1 A2 (μ ∈R),且 + =2,则称 A3,A4 调和分割点 A1,A2. λ μ 已知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B,则下面说法正确的是( ). A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解析:由 A1 A3 =λ A1 A2 (λ ∈R), A1 A4 =μ A1 A2 (μ ∈R)知:四点 A1,A2,A3,A4 在 同一条直线上,且不重合. 因为 C,D 调和分割点 A,B, 1 1 所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,设 AC =c AB , AD =d AB ,则 + =2,选项

c d

1 A 中 c= ,此时 d 不存在,故选项 A 不正确;同理选项 B 也不正确;选项 C 中,0<c<1,0 2 1 1 <d<1, + >2,也不正确,故选 D.

c d

答案:D

答题指导:
1.可通过特例、验证等方法理解新定义问题. 2.化生为熟、化新为旧,设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决. 3.“按规则办事”,新定义问题怎么规定,就怎么办.

1.给出下列命题: (1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. (2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. (3)λ a=0(λ 为实数),则 λ 必为零. (4)λ ,μ 为实数,若 λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,并且 a+b 与 c 共线,b+c 与 a 共线,那 么 a+b+c 等于( ). A.a B.b C.c D.0 3. 已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0, 若存在实数 m 使得 AB + AC =m AM 成立,则 m=( ). A.2 B.3 C.4 D.5 4.(2012 四川高考)设 a,b 都是非零向量.下列四个条件中,使 = 成立的充分 |a | |b | 条件是( ). A.|a|=|b|且 a∥b B.a=-b C.a∥b D.a=2b 1 5.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, (a 3 +b)三向量的终点在同一条直线上?
4

a

b

参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1.大小 方向 模 长度 0 0 为 1 个单位 方向相同或相反的非零 平行 相等 相同 相等 相反 2.b+a a+(b+c) |λ |?|a| 相同 相反 0 (λ μ )a λ a+μ a λ a+λ b 3.存在唯一的实数 λ ,使 b=λ a 基础自测 1.B 解析:②中 AB + BA =0,而不等于 0;③中 a 或 b 为零向量满足 a 与 b 平行, 但不能说 a 与 b 方向相同或相反,因为零向量方向是任意的;⑤中 AB 与 CD 所在直线还可 能平行,故②③⑤错. 2.A 解析:依题意得 2( OC - OA )+( OB - OC )=0,所以 OC =2 OA - OB . 3.D 解析:A 中,a,b 同向,则 a,b 共线,但 a,b 共线,a,b 不一定同向. B 中,若 a,b 两向量中至少有一个为零向量,则 a,b 共线,但 a,b 共线时,a,b 不 一定是零向量. C 中,当 b=λ a 时,a 与 b 一定共线,但 a,b 共线时,若 b≠0,a=0,则 b=λ a 不 成立. 排除 A,B,C,故选 D. 4.A,B,D 解析: AB + BC + CD = AD =3a+6b, ∵ AD =3 AB ,∴A,B,D 三点共线. 1 1 1 5.b- a 解析: BE = BC + CE = AD + BA =b- a. 2 2 2 考点探究突破 【例 1】解:(1)不正确,零向量方向是任意的; (2)不正确;两向量模相等.方向不一定相同; (3)不正确;要看向量方向是否相同; (4)不正确; (5)不正确;(6)正确;(7)不正确;(8)不正确,a∥b,两向量方向不一定相同. 【例 2-1】C 解析:如图所示,因为 B,D,C 三点共线, 1 2 所以 λ + =1,即 λ = . 3 3

2 1 在 AB 上取一点 E 使 AE = AB ,在 AC 上取一点 F 使 AF = AC , 3 3 1 2 由 AD = AC + AB = AF + AE , 3 3 可知四边形 AEDF 为平行四边形, 又∠BAD=∠CAD=30°, 所以 AEDF 为菱形.

5

2 因为 AE = AB ,AB=3, 3 所以菱形的边长为 2. 在△ADF 中, = , sin 120° sin 30° 所以 AD=sin 120°? =2 3. sin 30° 故选 C. 【例 2-2】解:(1) AD - AB = BD = OD - OB =d-b. (2) AB + CF = OB - OA + CO + OF =b-a-c+f. 【例 3-1】解:(1)证明:由已知得

AD

DF

DF

BD = CD - CB =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, ∵ AB =2e1-8e2,∴ AB =2 BD ,
又有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)由(1)可知 BD =e1-4e2,且 BF =3e1-ke2, 由 B,D,F 三点共线,所以存在实数 λ ,使得 BF =λ BD , 即 3e1-ke2=λ e1-4λ e2, ? ?λ =3, 得? 解得 k=12,∴k=12. ?-k=-4λ , ? 【例 3-2】(1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ∴ AB 与 BD 共线. ∵它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)解:∵ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 λ ,使 ka+b=λ (a+kb),即 ka+b=λ a +λ kb. ∴(k-λ )a=(λ k-1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ =(λ k-1)=0. ∴k=±1. 演练巩固提升 1.C 解析:(1)错,两向量共线要看其方向而不是起点与终点;(2)对,因为向量既有 大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小;(3)错, 当 a=0 时,不论 λ 为何值,λ a=0;(4)错.当 λ =μ =0 时,λ a=μ b,此时,a 与 b 可以是任意向量. 2.D 解析:∵a+b 与 c 共线, ∴存在实数 λ 1,使得 a+b=λ 1c.① 又∵b+c 与 a 共线, ∴存在实数 λ 2,使得 b+c=λ 2a.② 由①得,b=λ 1c-a. ∴b+c=λ 1c-a+c=( λ 1+1)c-a=λ 2a, ?λ 1+1=0, ?λ 1=-1, ? ? ∴? 即? ?λ 2=-1, ?λ 2=-1. ? ? ∴a+b+c=-c+c=0. 3. B 解析: 由已知条件可得 M 为△ABC 的重心, 设 BC 的中点为 D, 则 AB + AC =2 AD , 2 又 AM = AD ,故 m=3. 3
6

4.D 解析:若 = ,则向量 与 是方向相同的单位向量,所以 a 与 b 应共线 |a| |b| | a | |b | 同向,故选 D. 1 5.解:设 OA =a, OB =tb, OC = (a+b), 3 2 1 ∴ AC = OC - OA =- a+ b, 3 3

a

b

a

b

AB = OB - OA =tb-a.
要使 A,B,C 三点共线,则存在实数 λ ,使 AC =λ AB , 2 1 即- a+ b=λ tb-λ a, 3 3 2 - =-λ , ? ? 3 ∴? 1 ? ?3=λ t. 2 ? ?λ =3, ∴? 1 ?t=2. ? 1 ∴当 t= 时,三向量终点在同一直线上. 2

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