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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合B


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课时作业(五十七)B [第 57 讲 排列、组合]

[时间:35 分钟

分值:80 分]

基础热身 1.由 0,1,2,3,4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的顺序排成一个 数列{an},则 a19=( ) A.2 014 B.2 034 C.

1 432 D.1 430 2.有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个,那么 至少有 1 个一等品的不同取法种数是( ) A.1 136 B.1 600 C.2 736 D.1 120 3.某学校有教职工 100 人,其中教师 80 人,职员 20 人.现从中选取 10 人组成一个考 察团外出学习考察,则这 10 人中恰好有 8 名教师的不同选法的种数是( ) 2 8 2 8 A.C80C20 B.A80A20 2 2 C.A8 D.C8 80C20 80C20 4.某外商计划在 5 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一城市投资项目不超过 2 个,则他不同的投资方案有( ) A.60 种 B.70 种 C.100 种 D.120 种 能力提升 5.某校开设 10 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一 门,学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是( ) A.120 B.98 C.63 D.56 6.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复数字的四位 数,其中能被 5 整除的四位数共有( ) A.252 个 B.300 个 C.324 个 D.228 个 7. 2011 年,哈三中派出 5 名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流,每 所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有( ) A.80 种 B.90 种 C.120 种 D.150 种 8. 某校高三师生为“庆元旦· 迎新年”举行了一次联欢晚会,高三年级 8 个班中每个 班的学生准备了一个节目,且节目单已排好.节目开演前又增加了 3 个教师的节目,其中有 2 个独唱节目,1 个朗诵节目,如果将这 3 个节目插入原节目单中,要求教师的节目不排在 第一个和最后一个,并且教师的 2 个独唱节目不连续演出,那么不同的排法有( ) A.294 种 B.308 种 C.378 种 D.392 种 9. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、 乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的总数为________(用数字作答). 10. 有五名男同志去外地出差, 住宿安排在三个房间内, 要求甲、 乙两人不住同一房间, 且每个房间最多住两人,则不同的住宿安排有________种(用数字作答). 11.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同 的分配方法共有________种. 12.(13 分)一次数学考试的第一大题有 11 道小题,其中第(1)~(6)小题是代数题,答对 一题得 3 分;第(7)~(11)题是几何题,答对一题得 2 分.某同学第一大题对 6 题,且所得分 数不少于本题总分的一半,问该同学有多少种答题的不同情况?

难点突破
1

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13.(12 分)(1)10 个优秀指标名额分配给 6 个班级,每个班至少一个,共有多少种不同 的分配方法? (2)在正方体的过任意两个顶点的所有直线中,异面直线有多少对?

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课时作业(五十七)B 【基础热身】 2 1.A [解析] 千位是 1 的四位偶数有 C1 3A3=18,故第 19 个是千位数字为 2 的四位偶 数中最小的一个,即 2 014. 2.A [解析] 方法一:将“至少有 1 个是一等品的不同取法”分三类:“恰有 1 个一 2 2 1 等品”,“恰有 2 个一等品”,“恰有 3 个一等品”,由分类计数原理有:C1 16C4+C16C4+ 3 C16=1136(种). 3 方法二:考虑其对立事件:“3 个都是二等品”,用间接法:C3 20-C4=1 136(种). 3.D [解析] 由于结果只与选出的是哪 8 名教师和哪两名职员有关,与顺序无关,是 2 组合问题.分步计数,先选 8 名教师再选 2 名职员,共有 C8 80C20种选法. 4.D [解析] 在五个城市中的三个城市各投资一个,有方法数 A3 5=60,将三个项目分 1 2 为两组投资到五个城市中的两个,有方法数 C3A5=60,故不同的投资方案有 120 种. 【能力提升】 2 1 5.B [解析] 分两类:(1)不包含 A,B,C 的有 C3 C3 7种选法;(2)包含 A,B,C 的有 C7· 3 2 1 种选法.所以共有 C7+C7· C3=98(种)选法,故应选 B. 1 2 1 3 6.B [解析] (1)若仅仅含有数字 0,则选法是 C2 3C4,可以组成四位数 C3C4A3=12×6 =72 个; 2 1 2 3 (2)若仅仅含有数字 5,则选法是 C1 3C4,可以组成四位数 C3C4A3=18×6=108 个; 1 1 (3)若既含数字 0,又含数字 5,选法是 C3C4,排法是若 0 在个位,有 A3 3=6 种,若 5 2 1 1 在个位,有 2×A2=4 种,故可以组成四位数 C3C4(6+4)=120 个. 根据加法原理,共有 72+108+120=300 个. 1 3 2 2 C1 C1 5C4C3 5C4C2 7.D [解析] 分组法是(1,1,3),(1,2,2),共有 =25,再分配,乘以 A3 2 + 3, A2 A2 2 即得总数 150. 8.D [解析] 根据题意可将教师的 1 个朗诵节目排在学生的 8 个节目中的 7 个空中的 任一个, 共有 7 种排法, 然后将教师的 2 个独唱节目排在 9 个节目中的 8 个空中的 2 个空中, 2 故共有 C1 A = 392 种不同的排法.故选 D. 7 8 2 C 4? 2 1 9. 8 [解析] 总的分法是? A2=14, 若仅仅甲、 乙分到一个班级, 则分法是 A2 2= ?C4+A2 2? 2 2,若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到 3 名学生,则分法是 C1 2A2=4,故总数是 14- 2-4=8. 10.72 [解析] 甲、乙住在同一个房间,此时只能把另外三人分为两组,这时的方法 2 2 C1 5C4C2 3 3 总数是 C1 A = 18 ,而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配,方法数是 A3= 3 3 A2 2 90,故不同的住宿安排共有 90-18=72 种. 11. 222 [解析] 总数是 C2 若有两个学校名额相同, 则可能是 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11 23=253, 个名额,此时有 10C2 = 30 种可能,若三个学校名额相同,即都是 8 个名额,则只有 1 种情 3 况,故不同的分配方法数是 253-30-1=222. 12.[解答] 依题意可知本题的总分的一半是 14 分,某同学在 11 题中答对了 6 题,则 至少答对两道代数题,至多答对 4 道几何题,因此有如下答题的情况: 4 (1)代数题恰好对 2 道,几何题恰好对 4 道,此时有 C2 6C5=75 种情况; 3 3 (2)代数题恰好对 3 道,几何题恰好对 3 道,此时有 C6C5=200 种情况; 2 (3)代数题恰好对 4 道,几何题恰好对 2 道,此时有 C4 6C5=150 种情况; 1 (4)代数题恰好对 5 道,几何题仅对 1 道,此时有 C5 6C5=30 种情况; 6 0 (5)代数题全对,几何题全错,此时有 C6C5=1 种情况. 由分类计数原理得所有可能的答题情况有 456 种. 【难点突破】 13.[解答] (1)由于是 10 个名额,故名额和名额之间是没有区别的,我们不妨把这 10 个名额在桌面上从左到右一字摆开,这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空挡,10 个 名额之间就出现了 9 个空挡,我们的目的是把这 10 个名额分成 6 份,每份至少一个,那我 们只要把这 9 个空挡中的 5 个空挡上各放上一个隔板, 两端的隔板外面的 2 部分, 隔板和隔
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板之间的 4 部分,这样就把这 10 个指标从左到右分成了 6 份,且满足每份至少一个名额, 我们把从左到右的 6 份依次给 1,2,3,4,5,6 班就解决问题了. 这里的在 9 个空挡上放 5 个隔板 的不同方法数,就对应了符合要求的名额分配方法数.这个数不难计算,那就是从 9 个空挡 中选出 5 个空挡放隔板,不同的放法种数是 C5 9=126. (2)方法一: 连成两条异面直线需要 4 个点, 因此在正方体 8 个顶点中任取 4 个点有 C4 8种 取法.每 4 个点可分共面和不共面两种情况,共面的不符合条件,去掉.因为在 6 个表面和 6 个体对角面中都有四点共面,故有(C4 8-12)种.不共面的 4 点可构成四面体,而每个四面 体有 3 对异面直线,故共有 3(C4 8-12)=174 对. 方法二:一个正方体共有 12 条棱、12 条面对角线、4 条体对角线,计 28 条,任取两条 2 有 C28种情况,除去其中共面的情况:(1)6 个表面,每个面上有 6 条线共面,共有 6C2 6条; (2)6 个体对角面,每个面上也有 6 条线共面,共有 6C2 条; (3) 从同一顶点出发有 3 条面对角 6 2 线,任意两条线都共面,共有 8C3 条, 2 2 2 故共有异面直线 C2 28-6C6-6C6-8C3=174 对.

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