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函数概念


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1.2 函数概念
1.2.1 函数概念 定义:设 A, B 是两个非空数集,如果按某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每一个元素 x ,在集 合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,记为

y ? f ( x), x ? A .其中输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y

? f ( x) 的定义域,所有输出值 y 的取
值集合叫做函数 y ? f ( x) 的值域。 例 1:判断下列对应是否为函数: (1)

x ? y, 其中y为不大于x的最大整数, x ? R, y ? Z ;
2

(2) x ? y, y ? x, x ? N , y ? R ; (3) x ? y ? x , x ?{x | 0 ? x ? 6} , y ?{ y | 0 ? y ? 3} ; (4) x ? y ?

1 x , x ?{x | 0 ? x ? 6} , y ?{ y | 0 ? y ? 3} . 6

例 2:求下列函数的定义域:

x?4 ; x?2 (2) 1 ? x ? x ? 3 ? 1 ; 1 (3) f ( x) ? x ? 1 ? . 2? x
(1) f ( x) ?

点评: 求函数 y ? f ( x) 的定义域时通常有以下几种情况: ①如果 f ( x ) 是整式,那么函数的定义域是实数集 R ; ②如果 f ( x ) 是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合; ③如果 f ( x ) 为二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合; ④如果 f ( x ) 是由几部分的数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的 集合。

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例 3:比较下列两个函数的定义域与值域: (1)f(x)=(x+2)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}; (2) f ( x) ? ( x ?1)2 ? 1 .

1.2.2 函数的表示 1.解析式法:已知函数类型,求函数解析式,常用待定系数法。 例 1.若 f (3x) ? 2 x2 ?1 ,则 f ( x ) 的解析式为 2.已知 f ( x) ? 3x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? 3 ,则 f [ g ( x)] ?

g[ f ( x)] ?
3. 已知 f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ? 1 ,求函数 f ( x) 的解析式. x2

4. 已知 a,b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=_________.

2.图像法:将函数 f ( x ) 自变量的一个值 x0 作为横坐标,相应的函数值作为纵坐标,就得到坐标 平面上的一个点 ( x0 , f ( x0 )) ,当自变量取遍函数定义域内的每一个值时,所有这些点组成的图形 就是函数 y ? f ( x) 的图象. 函数 y ? f ( x) 的图象与其定义域、值域的对应关系:函数 y ? f ( x) 的图象在 x 轴上的射影构成 的集合对应着函数的定义域,在 y 轴上的射影构成的集合对应着函数的值域.

( x ? ?1) ?2 x ? 3, ? 2 例 1.已知函数 f(x)= ? x , (-1 ? x ? 1) ? x, ( x ? 1) ?
(1)画出函数图象; (2)求 f{f[f(-2)]} (3)求当 f(x)= -7 时,x 的值;

2

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3.列表法:用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法,其优点是函数的输入值与输 出值一目了然;用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法(这个等式通常叫函数的 解析表达式,简称解析式) ,其优点是函数关系清楚,容易从自变量求出其对应的函数值,便于用 解析式研究函数的性质;用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法,其优点是能直 观地反映函数值随自变量变化的趋势. 例 1:某市出租汽车收费标准如下:在 3km 以内(含 3km )路程按起步价 7 元收费,超过 3km 以 外的路程按 2.4 元/ km 收费,试写出收费额关于路程的函数的解析式;并画出图象.

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1.2.3 函数的单调性(1) 1.单调增函数的定义: 一般地, 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A , 区间 I ? A . 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 , 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增 函数, I 称为

y ? f ( x) 的单调增区间.
注意: a.“任意” 、 “都有”等关键词; b.单调性、单调区间是有区别的. 2.单调减函数的定义: 一般地, 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A , 区间 I ? A . 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 , 当 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为

y ? f ( x) 的单调减区间.
3.函数图像与单调性:函数在单调增区间上的图像是上升图像;而函数在其单调减区间上的图 像是下降的图像。

4.函数单调性证明的步骤: (1)根据题意在区间上设 x1 ? x2 ; (2 比较 f ( x1 ), f ( x2 ) 大小 ; (3)下结论"函数在某个区间上是单调增(或减)函数". 【例题分析】 一.根据函数图像写单调区间: 例 1:画出下列函数图象,并写出单调区间. (1) y ? ? x ? 2 ;
2

1 ; x ? x 2 ? 1, x ? 0 (3) f ( x) ? ? . ??2 x ? 2, x ? 0
(2) y ?

4

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二.证明函数的单调性: 例 2:求证:函数 f(x)= -x3+1 在区间(-∞,+ ∞)上是单调减函数

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追踪训练一 1. 函数 y ? 1 ?
1 ( x ?1

)

( A) 在 (?1, ??) 内单调递增 ( B ) 在 (?1, ??) 内单调递减 (C ) 在 (1, ??) 内单调递增 ( D) 在 (1, ??) 内单调递减
2. 函数 y ?

? x 2 ? 2 x ? 8 的单调增区间为

.

3. 求证: f ( x) ? x ?

1 在区间 (0,1) 上是减函数. x

注:如果一个函数有两个单调区间,两个区间一般不取并集: 例 3: 函数 y ?

1 在其定义域 (??,0) ? (0, ??) 上是减函数吗? x

点评: 1.单调区间是函数定义域的子集,所以,求函数的单调区间,必须注意函数的定义域; 2.单调区间是单调增区间和单调减区间的统称,所以,求函数的单调区间时,如果函数既有 单调增区间,又有单调减区间,必须分别写出来。
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思维点拔: 一、利用图像写函数的单调区间? 我们只要画出函数的草图,在草图上要能够反映函数图像的上升和下降,根据图像上升 的区间就是函数的单调增区间,图像下降的区间就是函数的单调减区间. 追踪训练 1.函数 y=3x-2x2+1 的单调递增区间是()

3 A.( -∞, ] 4 3 C.( -∞,- ] 4
( A) ( B) (C ) ( D)

3 B.[ ,+∞) 4 3 D.[ - ,+∞) 4

2. 若函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,对于实数 a , b ,若 a ? b ? 0 ,则有( )

f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

3. 函数 f(x+1)=x2-2x+1 的定义域是,则 f(x)的单调递减区间是________.

4. 函数 y= ?

? x ? 1,x ? 0 的单调减区间为 ?? x ? 1,x ? 0
ax ? 1 1 (a ? ) 在 (?2,??) 上的单调性. x?2 2

5.讨论函数 f ( x) ?

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1.2.4 函数的单调性(2) 【例题分析】 一.较复杂函数的单调性证明: 例 1:判断函数 f ( x ) ? x ?
2

1 ( x ? (0, ??)) 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. x

二.证明函数的单调性: 例 2:求证:函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 在 R 上是单调减函数.

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例 3:(1)若函数 f ( x) ? 4x2 ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数,则实数

m 的值为;
(2)若函数 f ( x) ? 4x2 ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上是增函数,则实数 m 的取值范为; (3)若函数 f ( x) ? 4x2 ? mx ? 5 ? m 的单调递增区间为 [?2, ??) ,则实数 m 的值为.

追踪训练 1. 函数 f ( x ) 是定义域上单调递减函数,且过点 (?3, 2) 和 (1, ?2) ,则 | f ( x) |? 2 的自变量 x 的 取值范围是( )

( A) (?3, ??) (C ) (??,1]

( B ) (? 3 , 1 ) ( D) (? ?, ? ? )
4
.

3 2. 已知函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么 f(a2-a+1)与 f ( ) 的大小关系是
3.函数 y=|x+1|的单调递减区间为 ,单调递减区间 .

3. 【延伸】 已知函数单调性,求参数范围: 例 4: 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意的正数 d ,都有 f ( x ? d ) ? f ( x) ,求满足

f (1 ? a) ? f (2a ? 1) 的 a 的取值范围.

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点评: 注意函数的单调区间是定义域上的区间,也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。 若本例题中的定义域改为 (?1,1) 的 a 的范围又怎样了呢?

追踪训练 1. 已知函数 f ( x) ? ax 和 g ( x ) ? ( ) ( A) 是增函数

b 在 (0, ??) 上都是减函数, 则 h( x) ? ax2 ? bx ? c 在 ( ??, 0) 上 x

( B ) 是减函数 (C ) 既不是增函数也不是减函数 ( D) h( x) 的单调性不能确定
2. 若函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 . 3. 若 f ( x ) 在 R 上是增函数,且 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) f (?a) ? f (?b) . 4. 函数 f ( x) ? 4x 2 ? mx ? 1 在 (??, ?3] 上递减,在 [?2,??) 上递增,则实数 m 的取值范围

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1.2.5 函数的最值 1.函数最值的定义: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A .若存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有

f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,则称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最大值,记为 ymax ? f ( x0 ) ;
若 存 在 定 值 x0 ? A , 使 得 对 于 任 意 x ? A , 有 f ( x) ? f ( x 0 )恒 成 立 , 则 称 f ( x0 ) 为

y ? f ( x) 的最小值,记为 ymin ? f ( x0 ) ;
2.单调性与最值: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? a, b? , 若 y ? f ( x) 是增函数,则 ymax ? f ( a ) 若 y ? f ( x) 是减函数,则 ymax ? f (b) 【精典范例】 一.根据函数图像写单调区间和最值: , ymin ? f (b) . ;

, ymin ? f ( a )

例 1:如图为函数 y ? f ( x) , x ?? ?4,7? 的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间.

【解】 由图可以知道: 当 x ? ?1.5 时,该函数取得最小值 ?2 ; 当 x ? 3 时,函数取得最大值为 3 ; 函数的单调递增区间有2个: (?1.5,3) 和 (5, 6) ; 该函数的单调递减区间有三个: (?4, ?1.5) 、 (4,5) 和 (6, 7)

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二.求函数最值: 例 2:求下列函数的最小值: (1) y ? x2 ? 2x ; (2) f ( x) ? 【解】 (1) y ? x2 ? 2x ? ( x ?1)2 ?1 ∴当 x ? 1 时, ymin ? ?1; (2)因为函数 f ( x) ? 值为

1 , x ??1,3? . x

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1 1 在 x ??1,3? 上是单调减函数,所以当 x ? 3 时函数 f ( x) ? 取得最小 x x

1 . 3

追踪训练一 1. 函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 4(m ? 0) 在 ( ??, 0] 上的最小值(A )

( A) 4 ( B ) ?4 (C ) 与 m 的取值有关 ( D) 不存在
2. 函数 f ( x) ? ? x 2 ? x ? 2 的最小值是 0 ,最大值是 3. 求下列函数的最值: (1) f ( x) ? x ? 1, x ?{?1,0,1, 2} ;
4

3 2



(2) f ( x) ? 3x ? 5, x ?[3,6] 析:因为函数的最值是值域中的最大值和最小值,所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的 方法是相仿的. 解:(1) f (1) ? f (?1) ? 2 ; f (0) ? 1 ; f (2) ? 17 所以当 x ? 0 时, ymin ? 1 ;当 x ? 2 时, ymax ? 17 ; (2)函数 f ( x) ? 3x ? 5 是一次函数,且 3 ? 0 故 f ( x) ? 3x ? 5 在区间 [3, 6] 上是增函数 所以当 x ? 3 时, ymin ? 14 ; 当 x ? 6 时, ymax ? 23 ;

【选修延伸】
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含参数问题的最值: 例3: 求 f ( x) ? x 2 ? 2ax , x ? [0, 4) 的最小值. 【解】

f ( x) ? ( x ? a)2 ? a 2 ,其图象是开口向上,对称轴为 x ? a 的抛物线. ①若 a ? 0 ,则 f ( x ) 在 [0, 4) 上是增函数,∴ ? f ( x)?min ? f (0) ? 0 ;
②若 0 ? a ? 4 ,则 ? f ( x)?min ? f (a) ? ?a2 ; ③若 a ? 4 ,则 f ( x ) 在 [0, 4) 上是减函数,∴ f ( x ) 的最小值不存在.

点评: 含参数问题的最值,一般情况下,我们先将参数看成是已知数,但不能解了我们再进行讨论! 思维点拔: 一、利用单调性写函数的最值? 我们可以利用函数的草图,如果函数在区间 [ a, c] 上是图像连续的,且在 [ a, b] 是单调递 增的, 在 [b, c] 上是单调递减的, 则该函数在区间 [ a, c] 上的最大值一定是在 x ? b 处取得; 同理, 若函数在区间 [ a, c] 上是图像连续的,且在 [ a, b] 是单调递减的,在 [b, c] 上是单调递增的,则该 函数在区间 [ a, c] 上的最小值一定是在 x ? b 处取得. 追踪训练 1.函数 f ( x) ?

1 的最大值是 1 ? x(1 ? x)
( D)

( A)

4 5 3 4 ( B ) (C ) ( D ) 5 4 4 3 3 4

2. y=x2+ x 2 ? 1 的最小值为( C ) A.0 B. C.1
2

D 不存在.

3. 函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1(a ? 0) 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4 ,则 a ? ____ 4.函数 f ( x) ? ?

3 ____. 8

? x ? 3( x ? 0)
2 ?5 ? x ( x ? 0)
2

的最大值为

5

.

5.已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在 ? ?3, 2? 上有最大值 4,求实数 a 的值. 解:函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 的对称轴为 x ? ?1 ,
2

3 ; 8 当 a ? 0 时,则当 a ? ?1 时函数取得最大值 4 ,即 1 ? a ? 4 ,即 a ? ?3 3 所以, a ? 或 a ? ?3 。 8
当 a ? 0 时,则当 x ? 2 时函数取最大值 4 ,即 8a ? 1 ? 4 即 a ? 1.2.6 分段函数
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1、分段函数的定义 在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数叫做分段函 数; 2、分段函数定义域,值域; 分段函数定义域各段定义域的并集,其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”) 3、分段函数图象 画分段函数的图象,应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象; 【精典范例】 一、含有绝对值的解析式 例 1、已知函数 y=|x-1|+|x+2| (1)作出函数的图象。 (2)写出函数的定义域和值域。

(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号,第一个绝对值的分段点 x=1,第二个绝对值的分段点 x= -2,这样数轴被分为三部分:(-∞,-2],(-2,1],(1,+∞) 所以已知函数可写为分段函数形式:

?? 2 x ? 1( x ? ?2) ? y=|x-1|+|x+2|= ?3( ?2 ? x ? 1) ?2 x ? 1( x ? 1) ?
在相应的 x 取值范围内,分别作出相应函数的图象,即为所求函数的图象。 (图象略) (2)根据函数的图象可知:函数的定义域为 R,值域为[3,+∞) 点评:某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示,须针对自变量的分段变化情况,列出各段 不同的解析式,再依据自变量的不同取值范围,分段画出函数的图象. 三、二次函数在区间上的最值问题 例 3、已知函数 f(x)=2x2-2ax+3 在区间[-1,1]上有最小值,记作 g(a). (1)求 g(a)的函数表达式 (2)求 g(a)的最大值。 【解】 : 对称轴 x=

a a a a 分 ? ?1; ? [?1,1]; ? 1讨论 2 2 2 2

?2a ? 5(a ? ?2) ? ? a2 (?2 ? a ? 2) 得 g(a) ?3 ? 2 ? ? ?? 2a ? 5(a ? 2)
利用分段函数图象易得:g(a)max=3

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点评:二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。

追踪训练

? x 2 ? 2, ( x ? 2) 1、设函数 f(x)= ? 则 f(-4)=___________,若 f(x0)=8,则 x0=________ ?2 x, ( x ? 2)
答案:18; ? 6 或 4。

? x 2 ( x ? 0) ? 2、已知函数 f(x)= ?1( x ? 0) ?0( x ? 0) ?
求 f(1),f[f(-3)],f{f[f(-3)]}的值. 答案:1;1;1。

3、 出下列函数图象 y=┃x+2┃-┃x-5┃

解:原函数变为

?? 7, x ? (??,? 2] ? y= ?2 x ? 3, x ? ( ?2,5) ?7, x ? [5,??) ?

下面根据分段函数来画出图象 图象(略) 。

? f ( 0) ? 1 ? 4、已知函数 y= ? f (1) ? 3 ,则 f(4)=_______. ? f (n ? 1) ? f (n) ? nf (n ? 1) ?
14

答案:22。

5、已知函数 f(x)= x ? 2 x ? 1 ?
2

| x ?1| x ?1

(1)求函数定义域; (2)化简解析式用分段函数表示; (3)作出函数图象 答案: (1)函数定义域为{x┃x ? ?1, x ? R } (2) f(x)=┃x-1┃+

| x ?1| x ?1

1.2.7 函数的奇偶性(1) 1.偶函数的定义: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么称函数

y ? f ( x) 是偶函数.
注意: (1) “任意”、“都有”等关键词; (2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; 2.奇函数的定义: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意一个 x , 都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么称函数 y ? f ( x) 是奇函数. 3.函数图像与单调性: 奇函数的图像关于原点对称; 偶函数的图像关于 y 轴对称.

4.函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域是否关于“0”对称; (2)计算 f (? x) 的解析式,并考察其与 f ( x ) 的解析式的关系 ; (3)下结论. 【精典范例】 一.判断函数的奇偶性: 例 1:判断下列函数是否是奇函数或偶函数:
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判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x3 ? x
6 4

(2) f ( x) ? 3x ? 1

(3) f ( x) ? x ? x ? 8 , x ? [?2, 2) (4) f ( x) ? 0 (5) f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 析:函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。 【解】(1) 函数 f ( x) ? x3 ? x 的定义域为 R ,关于原点对称, 且 f (? x) ? (? x)3 ? (? x) ? ?[ x3 ? x] ? ? f ( x) ,所以该函数是奇函数。 (2)函数 f ( x) ? 3x ? 1 的定义域为 R ,关于原点对称,

f (? x) ? 3(? x) ? 1 ? ?3x ? 1 ? f ( x) 且 f (? x) ? ? f ( x) ,所以该函数既不是奇函数也不是偶函
数,即是非奇非偶函数。 (3) 函数 f ( x) ? x6 ? x 4 ? 8 , x ? [?2, 2) 的定义域为 [?2, 2) 不关于原点对称,故该函数是非奇 非偶函数。 (4)函数 f ( x ) ? 0 的定义域为 R ,关于原点对称, f (? x) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x) ,所以该函数既 是奇函数又是偶函数。 (5)

f ( x) ? 2x4 ? 3x2 的 定 义 域 为 R , 关 于 原 点 对 称 , ,所以该函数是偶函数。 f (? x) ? 2 4?(x )? 2 x 3 ? ( 4 ?x ) 22 ?x 3 ? f x ( )
函 数

二.根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值: 例 2:已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,求 f (0) 的值. 【解】 ∵ y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数, ∴ f (? x) ? ? f ( x) 对任意实数 x 都成立, 把 x ? 0 代入 f (? x) ? ? f ( x) 得

f (0) ? ? f (0) ,
∴ f (0) ? 0 .

三.已知函数的奇偶性求参数值: 例 3:已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x ? (m ?1) x ? 3 是偶函数,求实数 m 的值.
2 2 【解】∵ f ( x) ? (m ? 2) x ? (m ?1) x ? 3 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) 恒成立,

即 (m ? 2)(? x) ? (m ?1)(? x) ? 3 ? (m ? 2) x ? (m ?1) x ? 3 恒成立,
2 2

∴ 2(m ? 1) x ? 0 恒成立,∴ m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 . 追踪训练一 1. 给定四个函数 y ? x3 ? 3 x ; y ? 是(B)

1 x2 ? 1 ( x ? 0) ; y ? x3 ? 1 ; y ? ;其中是奇函数的个数 x x

( A) 1个 (C ) 3个

( B ) 2个 ( D) 4个
16

2. 如果二次函数 y ? ax2 ? (b ? 3) x ? c(a ? 0) 是偶函数,则 b ? 3. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1) (2) f ( x) ?

3.

(1 ? x)2 1 ? x2

1 ? x2 2? | x ? 2 |
x2 ?1

2 (3) f ( x ) ? 1 ? x ?

(1 ? x) 2 解:(1)函数 f ( x) ? ( x ?1) 的定义域为 (?1,1) ,关于原点对称, 1 ? x2

(1 ? x) 2 f ( x) ? ( x ? 1) 1 ? x2 ? ( x ? 1) 1? x ? ? 1 ? x2 1? x
2 2

对于定义域中的任意一个 x , f (? x) ? ? 1 ? (? x) ? ? 1 ? x ? f ( x) 所以该函数是偶函数;

?1 ? x 2 ? 0 1 ? x2 (2)函数 f ( x) ? 的定义域 ? 得 x ?[?1,0) ? (0,1] 关于原点对称,此时 2? | x ? 2 | ?2? | x ? 2 |? 0
f ( x) ? 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 ? ? 2? | x ? 2 | 2 ? ( x ? 2) ?x

1 ? (? x) 2 1 ? x2 ?? ? ? f ( x) 对于定义域中的任意一个 x , f ( x) ? ?( ? x ) ?x
所以该函数是奇函数;
2 (3) 函数 f ( x ) ? 1 ? x ?

x 2 ? 1 的定义域为 {?1,1} 关于原点对称, 此时 f ( x) ? 0, x ?{?1,1} ,

所以该函数既是奇函数又是偶函数。 【选修延伸】 构造函数的奇偶性求函数值: 例3: 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 若 f (?2) ? 10 ,求 f (2) 的值。 析:该函数解析式中含有两个参数,只有一个等式,故一般不能求得 a , b 的值,而两个自变量 互为相反数,我们应该从这儿着手解决问题。 【解】
5 3

方法一:

由题意得 f (?2) ? (?2) ? a(?2) ? b(?2) ? 8 ①
5 3

② f (2) ? 25 ? a ? 23 ? b ? 2 ? 8 ①+②得 f (?2) ? f (2) ? ?16 ∵ f (?2) ? 10 ∴ f (2) ? ?26 方法二: 构造函数 g ( x) ? f ( x) ? 8 , 则 g ( x) ? x ? ax ? bx 一定是奇函数
5 3

又∵ f (?2) ? 10 ,∴ g (?2) ? 18 因此 g (2) ? ?18 所以 f (2) ? 8 ? ?18 ,即 f (2) ? ?26 .
17

说明: 1.如果函数 y ? f ( x) 是奇函数或偶函数,我们就说函数 y ? f ( x) 具有奇偶性; 根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不 是偶函数; 2.奇、偶函数的定义域关于“0”对称.如果一个函数的定义域不关于“0”对称,则该函数既不 是奇函数也不是偶函数; 思维点拔: 一、等式 f (? x) ? f ( x) 和 f (? x) ? ? f ( x) 的变形形式: 我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中,处了将 f (? x) 进行化简,其方向是 f ( x ) 或

? f ( x ) 以 外 , 我 们 还 可 以 看 到 其 等 价 形 式 f ( ? x ) ? f ( x) ? f ( x ) ? f ( ? x) ? 0 、 f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 0 或 当 f ( x ? ) 0 成 立 时 , 也 有 恒 f (? x) f (? x) f (? x) ? f ( x) ? ? 1 、 f ( ? x) ? ? f ( x) ? ? ?1 . f ( x) f ( x)
追踪训练 1.下列结论正确的是: (C ) ( A) 偶函数的图象一定与 y 轴相交;

( B ) 奇函数的图象一定过原点; (C ) 偶函数的图象若不经过原点,则它与 x 轴的交点的个数一定是偶数;
( D) 定义在 R 上的增函数一定是奇函数.
2. 若函数 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1,则当 x ? 0 时,有(C) ( )

( A) f ? x ? ? 0 ( B) f ? x? ? 0 (C ) f ? x ? f ? ? x ? ≤0 ( D) f ? x ? - f ? ? x ? ? 0
3. 设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数. ①y=-| f(x)| ②y=xf(x2) ③y=-f(-x) ④y= f(x)-f(-x) 中必为奇函数的有____②④____________. (要求填写正确答案的序号) . 4. 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5]. 若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如下图,则 ) (2, 5 不等式 f ( x) ? 0 的解是 (? 2 , 0? . )

18

5.若 f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数, f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) 的表达式. x ? x ?1
2

解:由题意得:

1 ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? ? x ? x ?1 ? 1 ?? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? x ? x ?1 ?
则 f ( x) ?

1 1 1 ( 2 ? 2 ) 2 x ? x ?1 x ? x ?1

1.2.8 函数的奇偶性(2) 一.函数的单调性和奇偶性结合性质推导:

19

例 1:已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0,试问:F(x)= 0)上是增函数还是减函数?证明你的结论 思维分析:根据函数单调性的定义,可以设 x1<x2<0,进而判断: F(x1) -F(x2)=

1 在(-∞, f ( x)

1 1 - = f ( x1 ) f ( x2 )

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 符号解:任取 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2, f ( x1 ) ? f ( x2 )

则-x1>-x2>0 因为 y=f(x)在(0,+∞]上是增函数,且 f(x)<0, 所以 f(-x2)<f(-x1)<0,①又因为 f(x)是奇函数 所以 f(-x2)= -f(x2),f(-x1)=f(x1)② 由①②得 f(x2)>f(x1)>0 于是 F(x1) -F(x2)= 所以 F(x)= 【证明】 设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 ,∵ f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数, ∴ f (? x1 ) ? f (? x2 ) ,∵ f ( x ) 是奇函数,∴ f (? x1 ) ? ? f ( x1 ) , f (? x2 ) ? ? f ( x2 ) , ∴ ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x ) 在 ( ??, 0] 上也是增函数. 说明:一般情况下,若要证 f ( x ) 在区间 A 上单调,就在区间 A 上设 x1 ? x2 . 二.利用函数奇偶性求函数解析式: 例 2:已知 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的解析式. 解:设 x<0,则-x>0 且满足表达式 f(x)=x|x-2| 所以 f(-x)= -x|-x-2|=-x|x+2| 又 f(x)是奇函数,有 f(-x)= -f(x) 所以-f(x)= -x|x+2| 所以 f(x)=x|x+2| 故当 x<0 时 F(x)表达式为 f(x)=x|x+2|. 3:定义在(-2,2)上的奇函数 f ( x) 在整个定义域上是减函数,若 f(m-1)+f(2m-1)>0, 求实数 m 的取值范围. 解:因为 f(m-1)+f(2m-1)>0 所以 f(m-1)> -f(2m-1) 因为 f(x)在(-2,2)上奇函数且为减函数 所以 f(m-1)>f(1-2m)
??2 ? m ? 1 ? 2 ? 所以 ??2 ? 1 ? 2m ? 2 ? m ? 1 ? 1 ? 2m ?

1 1 - f ( x1 ) f ( x2 )

1 在(-∞,0)上是减函数。 f ( x)

所以

1 2 <m< 2 3

追踪训练一

20

1. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,则 f(- ( a ? R )的大小关系是 (B ) 3 A. f(- )<f(a2-a+1) 4 3 B. f(- )≥f(a2-a+1) 4 3 C. f(- )>f(a2-a+1) 4 D.与 a 的取值无关 2. 定义在 ? ?1,1? 上的奇函数 f ? x ? ? 3.

3 )与 f(a2-a+1) 4

x?m ,则常数 m ? x ? nx ? 1
2



,n ?





函数 f ( x ) 是定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,且为增函数,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实数

a 的范围。 解:? f ( x ) 定义域是 ( ?1,1)

? ?1 ? 1 ? a ? 1 ?? 2 ? ?1 ? 1 ? a ? 1
即?

?0 ? a ? 2 ?? 2 ? a ? 0 或 0 ? a ? 2

?0 ? a ? 2
又? f (1 ? a ) ? f (1 ? a 2 ) ? 0

? f (1 ? a ) ? ? f (1 ? a 2 )

? f ( x ) 是奇函数
? f (1 ? a ) ? ? f (1 ? a 2 ) ? f (a 2 ? 1)

? f ( x ) 在 ( ?1,1) 上是增函数
?1 ? a ? a 2 ? 1
即a ? a ? 2 ? 0
2

解之得

?2 ? a ? 1

?0 ? a ? 2 ?0 ? a ? 1
故 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 思维点拔: 一、函数奇偶性与函数单调性关系 若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则该函数在关于"0"对称的区间上的单调性是相反的,且
21

一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数;若函数 y ? f ( x) 是奇函数,则该函数在关于"0" 对称区间上的点调性是相同的. 追踪训练 1.已知 y ? f ( x) 是偶函数,其图象与 x 轴共有四个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实数解的和 是 (C)

( A) 4

( B) 2

(C ) 0

( D) 不能确定

2. 定义在(-∞, +∞)上的函数满足 f(-x)=f(x)且 f(x)在(0, +∞)上, 则不等式 f(a)<f(b)等价于( C ) A.a<b B.a>b C.|a|<|b| D.0≤a<b 或 a>b≥0 3. f ( x ) 是奇函数,它在区间 [m,n] (其中 m ? n ? 0 )上为增函数,则它在区间 [?n, ? m] 上 (D) A. 是减函数且有最大值 ? f (m) B. 是减函数且有最小值 ? f (m) C. 是增函数且有最小值 ? f (m) D. 是增函数且有最大值 ? f (m) 4 已知函数 ax7+6x5+cx3+dx+8,且 f(-5)= -15,则 f(5)= 31 . 5.定义在实数集上的函数 f(x),对任意 x,y ? R ,有 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) f ( y ) 且

f (0) ? 0 。 (1)求证 f (0) ? 1 ; (2)求证: y ? f ( x) 是偶函数。
解(1)令 x ? y ? 0 ,则有 2 f (0) ? 2[ f (0)]2

? f (0) ? 0, ? f (0) ? 1
(2)令 x ? 0 ,则有 f ( y ) ? f ( ? y ) ? 2 f (0) ? f ( y ) ? 2 f ( y )

? f ( ? y ) ? f ( y ) 这说明 f ( x ) 是偶函数

22


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