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江西省南昌市二校(南昌一中、南昌十中)2013届高三11月联考数学文试题


南昌市二校联考(南昌一中、南昌十中)高三试卷 数
命题:南昌一中高三数学备课组 考试时间:120 分钟 一、选择题(10 题,共 50 分) 1 数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 3? n ? 1? 且 a1 ? 7 ,则 a3 的值是( A 1 B 4 C -3 ) D 6

学(文)
审题:南昌一中高三备课组 考试分数:150 分

2.已知集合 M ? {x | 3 ? 2x ? x 2 ? 0}, N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围 是( ) B. (3,?? ) C. (??,?1] ) D. (??,?1)

A. [3,??)

3、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin

? ) 的值( 6
C. ?
n

A.

3 2

B. ?

3 2

1 2

D.

1 2

4. 已知数列{an}的通项公式是 an=(-1) (n+1), a1+a2+a3+…+a10=( 则 A.-55 B.-5 C.5 D.55 lg|x| 5.函数 y= 的图象大致是 ( )

)

x

6.已知集合 M ={a|a =(1,2)+λ (3,4),λ ∈R}, N ={a|a =(-2,-2)+ λ (4,5),λ ∈R},则 M∩N 等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 7.已知 tan ? ? ,sin(? ? ? ) ? A.
63 65 4 3 5 ,其中 ? , ? ? (0,? ) ,则 sin? 的值为( 13



B.

33 65

C.

13 65

D.

63 33 或 65 65

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8.已知函数

f (x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x 2 ,

不 等 式 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒 成 立 , 则 不 等 式 f (1 ? x) ? 0 的 解 集 为 ( ) B. (0,?? ) C. (?? ,0) D. (?? ,1)

A. (1,?? )

9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R且x ? k? ?
f ( x) ? f ( x ? ,当 x ? (? ? )

?
2

(k ? Z} , 函 数 f ( x) 满 足

? ?

, ) 时, f ( x) ? 2 x ? sin x .设 a ? f (1) , b ? f (2) , 2 2

c ? f (3) ,则(



A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b 2 10.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2 =0 平行,若数列?f?n??的前 n 项和为 Sn,则 S2011 的值为(
? ? ? 1 ?

)

2009 2011 B. 2010 2012 二、填空题(5 题,25 分) A.

C.

2008 2009

D.

2010 2011 .

11. 已知数列 {an } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为 12.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 10 则第 7 行中的第 5 个数是________. 13.如图是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的 图象的一段,求其解析式____ 14.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C, 使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°, 再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D,测得 ∠BDC=45°,则塔 AB 的高是________米. 15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题: 9 … 5 8 2 6 7

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① 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c ) 对称;
④ 方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根其中正确命题为_______

三、解答题(75 分) 16.(12 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)在 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 , cos C ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。 18. (12 分)已知等比数列 {an } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 与 a4 的等差中 项; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 2 an ,求 Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn 。 19.(12 分)已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且→·→=6,设→与→的夹 AB BC AB BC 角为θ . (1)求θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin2θ +2sin θ ·cos θ +3cos2θ 的最小值. 1 1 20.(13 分)将函数 f(x)=2sin x·cos x 在区间(0,+∞)内的全部极值点 2 2 * 按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 21.(14 分)已知二次函数 h(x)=ax2+bx+c(c>0),其导函数 y=h′(x)的图象 如图所示,f(x)=ln x-h(x). (1)求函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率;
3 . 4

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1? ?1 (2)若函数 f(x)在区间? ,m+ ?上是单调函数, 4? ?2 求实数 m 的取值范围; (3)若函数 y=2x-ln x(x∈[1,4])的图象总在函数 y=f(x)的图象的上方,求 c 的取值范围.

一、

数学(文)答案 选择题(10 题,共 50 分) ) D 6

1 数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 3? n ? 1? 且 a1 ? 7 ,则 a3 的值是( A A 1 B 4 C -3

2.已知集合 M ? {x | 3 ? 2x ? x 2 ? 0}, N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围 是(C) A. [3,??) B. (3,?? ) C. (??,?1] D. (??,?1) )

3、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin

? ) 的值( 6
C. ?
1 2

C

A.

3 2

B. ?

3 2

D.

1 2

4. 已知数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(n+1),则 a1+a2+a3+…+a10=(C A.-55 B.-5 C.5 D.55 5.函数 y= lg|x| 的图象大致是 ( D)

)

x

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6.已知集合 M ={a|a =(1,2)+λ (3,4),λ ∈R}, N ={a|a =(-2,-2)+ λ (4,5),λ ∈R},则 M∩N 等于( C ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 7.已知 tan ? ? ,sin(? ? ? ) ? (A)
63 65 4 3 5 ,其中 ? , ? ? (0,? ) ,则 sin? 的值为( A 13



(B)

33 65

(C)

13 65

(D)

63 33 或 65 65

8.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x 2 ,不 等式 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为 (D) A. (1,?? ) B. (0,?? ) C. (?? ,0) D. (?? ,1) 9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R且x ? k? ?
f ( x) ? f ( x ? ,当 x ? (? ? )

?
2

(k ? Z} , 函 数 f ( x) 满 足

? ?

, ) 时, f ( x) ? 2 x ? sin x .设 a ? f (1) , b ? f (2) , 2 2

c ? f (3) ,则( B



A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b 2 10.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-

y+2=0 平行,若数列?f?n??的前 n 项和为 Sn,则 S2011 的值为( B )
? ?

? 1 ?

2009 2011 A. B. 2010 2012 二、填空题(5 题,25 分)

C.

2008 2009

D.

2010 2011 . 答

11. 已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? a5 ? a9 ? ? , cos(a2 ? a8 ) 的值为 若 则 案1 2

12.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 10 9 5 8 2 6 7

… 则第 7 行中的第 5 个数是________.答案 26
13 .如图 是函数 y= Asin(ωx +φ) (A>0, ω>0, |φ|<π)的图 象的一 段,求 其解 析式

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2π ________.答案:y= 2sin?2x- 3 ?.. ? ?

14.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上, 测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到 位置 D, 测得∠BDC=45°, 则塔 AB 的高是________米. 答案 10 6 15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c ) 对称; ④ 方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根 其中正确命题为________答案①②③ 三、解答题(75 分) 16.(12 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解: 设 A={x|(4x-3)2≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 1 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 2 (6 分) 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B,

?a≤1, ∴? 2 ?a+1≥1.

(10 分)

1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ].(12 分) 2 17. (12 分)在 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 , cos C ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。
3 . 4

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17、解: (1)在 ?ABC中 , cosC= 由

3 7 ,得 sinC= 4 4

又由正弦定理

AB BC 14 ? ,得 sinA= si nC si n A 8

(2)由余弦定理: AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cosC 即 AC=b 得: 2 ? b 2 ? 1 ? 2b ?
3 4

解得 b=2 或 b= ?

1 (舍去),所以 AC=2 2

所以, CB ? CA ? CB ? CA ? cos ? CB, CA ?? CB ? CA ? cosC =1 ? 2 ?
3 3 ? 4 2

,即 CB ? CA ?

3 2

18. (12 分)已知等比数列 {an } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 与 a4 的等差中 项; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 2 an ,求 Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn 。 18.解: (1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q , 则有 a1 (2 ? q2 ) ? 3a1q ①

a1 (q ? q3 ) ? 2a1q2 ? 4

② …6 分

由①得: q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? 1 (不合题意舍去) 当 q ? 2 时,代入②得: a1 ? 2 ; 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (2) bn ? an ? log2 an ? 2 ? n ,所以
n

Sn ? 2 ?1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ?? 2n ? n
? 2(1 ? 2n ) n(n ? 1) 1 1 ? ? 2n ?1 ? 2 ? n ? n2 1? 2 2 2 2

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ?? n)
… 12 分

19(12 分) 、已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且→·→=6,设→与→的 AB BC AB BC 夹角为θ . (1)求θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin2θ +2sin θ ·cos θ +3cos2θ 的最小值.

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19 解:(1)∵→·→=6,∴|→|·|→|·cos θ =6.∴|→|·|→|= AB BC AB BC AB BC 1 又∵S= |→|·|→|·sin(π -θ )=3tan θ , AB BC 2 ∴ 3≤3tan θ ≤3,即 又∵θ ∈(0,π ),∴ 3 ≤tan θ ≤1. 3

6 . cos θ

π π ≤θ ≤ . 6 4

(2)f(θ )=1+2cos2θ +sin 2θ =cos 2θ +sin 2θ +2 π? ? = 2sin?2θ + ?+2, 4? ? 3 ? π ?7 ?π π ? ?π π ? 由θ ∈? , ?,得 2θ ∈? , ?,∴2θ + ∈? π , π ?. 4? 4 ? 4 ?12 ?6 ?3 2? ∴当 2θ + π 3 π = π 即θ = 时,f(θ )min=3. 4 4 4

1 1 20(13 分) .将函数 f(x)=2sin x·cos x 在区间(0,+∞)内的全部极值点 2 2 * 按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. π 20,解:(1)f(x)=sin x.其极值点为 x=kπ + (k∈Z). 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 π 2n-1 ∴an= +(n-1)·π = π (n∈N*). 2 2 π (2)∵bn=2nan= (2n-1)·2n, 2 π ∴Tn= [1·2+3·22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n], 2 π 2Tn= [1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1], 2 两式相减,得 π -Tn= [1·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1], 2

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∴Tn=π [(2n-3)·2n+3]. 21(14 分) .已知二次函数 h(x)=ax2+bx+c(c>0),其导函数 y=h′(x) 的图象如图所示,f(x)=ln x-h(x). (1)求函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率; 1? ?1 (2)若函数 f(x)在区间? ,m+ ?上是单调函数, 4? ?2 求实数 m 的取值范围; (3)若函数 y=2x-ln x(x∈[1,4])的图象总在函数 y=f(x)的图象的上方,求 c 的取值范围. 21.解:(1)由题知,h′(x)=2ax+b,其图象为直线, 且过 A(2,-1)、B(0,3)两点, ?4a+b=-1 ?a=-1 ∴? ,解得? . ?b=3 ?b=3 ∴h(x)=-x2+3x+c. ∴f(x)=ln x-(-x2+3x+c)=x2-3x-c+ln x. 1 ∴f′(x)=2x-3+ ,

x

1 ∴f′(1)=2-3+ =0, 1 所以函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为 0. (2)由题意可知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 2x2-3x+1 ? 2x-1? 由(1)知,f′(x)=2x-3+ = =

?

x-1?

x

x

x

.

1 令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1. 2 当 x 变化时,f(x)、f′(x)随 x 的变化情况如下表: 1? 1 ? ?1 ? x 1 ?0, ? ? ,1? 2? 2 ? ?2 ? f′(x) + 0 - 0 f(x) ?↗ 极大值 ?↘ 极小值 1? ? ∴f(x)的单调递增区间为?0, ?,(1,+∞). 2? ? ?1 ? f(x)的单调递减区间为? ,1?. ?2 ? 1? ?1 要使函数 f(x)在区间? ,m+ ?上是单调函数, 4? ?2

(1,+∞) + ?↗

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?1<m+1 ?2 4 则? 1 ?m+4≤1 ?

1 3 ,解得 <m≤ . 4 4

?1 3? 故实数 m 的取值范围是? , ?. ?4 4? (3)由题意可知,2x-ln x>x2-3x-c+ln x 在 x∈[1,4]上恒成立, 即当 x∈[1,4]时,c>x2-5x+2ln x 恒成立 设 g(x)=x2-5x+2ln x,x∈[1,4],则 c>g(x)max. 2 2 2x -5x+2 ? 2x-1? ? x-2? 易知 g′(x)=2x-5+ = = .

x

x

x

1 令 g′(x)=0 得,x= 或 x=2. 2 当 x∈(1,2)时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减;当 x∈(2,4)时,g′(x)>0, 函数 g(x)单调递增. 而 g(1)=12-5×1+2ln 1=-4,g(4)=42-5×4+2ln 4=-4+4ln 2, 显然 g(1)<g(4),故函数 g(x)在[1,4]上的最大值为 g(4)=-4+4ln 2,故 c>-4+4ln 2. ∴c 的取值范围为(-4+4ln 2,+∞).

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