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2.2.1 等差数列的概念及通项公式


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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念及通项公式

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

学习目标 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, 深化认识并能运用.

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

2. 2.1 等 差 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式

课前自主学案
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课堂互动讲练

知能优化训练
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第2章 数列

课前自主学案

温故夯基 1.数列{an}的前4项为0,2,4,6,则其一个通项公

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an=2(n-1). 式为____________ 项an 与_____ 项数n之间 2.数列{an}的通项公式是指:____ 项之 的函数关系,而递推公式体现的是___ 项 与___
间的等量关系.

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第2章 数列

知新盖能 1.等差数列的定义 如果一个数列从第____ 二 项起,每一项与它的前一

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同一常数 ,那么这个数列就叫做等 项的差等于___________
常数 叫做等差数列的公差,通常 差数列,这个______ d 表示. 用字母___

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

思考感悟

1.等差数列都是递增数列吗?
提示:不一定,只有d>0,才是递增数列.

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

2.等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,填表: 递推公式 an-an-1 =d(n≥2) ___________ 通项公式 a1+(n-1)d an=____________

3.等差中项 在由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做a 与b的等差中项.这三个数满足关系式a+b= ____ 2A.

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

思考感悟
2.任何两个实数都有等差中项吗?
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提示:都有等差中项.

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第2章 数列

课堂互动讲练

考点突破
等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含 有四个变数,即a1,d,n,an.如果知道了其中任 意三个数,就可以求出第四个数,这种可行性与

课 前 自 主 学 案

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求出未知数的过程可以称为“知三求一”.有时是
用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值,

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也可以求出这个等差数列其它未知数的值.
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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

例1

已知{an}是等差数列,根据下列条件求它的 由条件列方程求得其首项与公差,
?a5=-2, 由 题 意 知 : ? ?a9=6,

通项公式:a5=-2,a9=6.
【思路点拨】

即可由公式写出通项公式.

【 解 】



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?a1+4d=-2, ?a1=-10, ? 解方程得? ?a1+8d=6, ?d=2.

所以数列{an}的通项公式为 an=-10+2(n-1)= 2n-12.
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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

【名师点评】

根据等差数列的通项公式an=
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a1+(n-1)d,由已知等差数列的任意两项,就

可以求出首项和公差,从而写出数列的通项公
式.

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

互动探究

在本例中,若条件改为“已知a5=11,

an=1,d=-2”,如何求n?

解:由 a5=11,an=1,
?a1+4d=11 ?a1+4×?-2?=11 得? ,∴? , ?a1+?n-1?d=1 ?a1+?n-1?×?-2?=1

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解得 n=10.

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

等差中项

a+b 若 a、A、b 成等差数列,即 A= ,则 A 就是 a 2 1 与 b 的等差中项,若 A= (a+b)时,则 a、A、b 2 成等差数列,这是判定三个数成等差数列的条件.
例2

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在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这

五个数成等差数列,求此数列.
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第2章 数列

【思路点拨】

可利用等差中项先求得b,再依次

使用等差中项求得a,c.

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【解】

∵-1,a,b,c,7 成等差数列, -1+7 ∴b 是-1 与 7 的等差中项.∴b= =3. 2 -1+3 又 a 是-1 与 3 的等差中项,∴a= =1. 2 3+7 又 c 是 3 与 7 的等差中项,∴c= =5. 2 ∴该数列为-1,1,3,5,7.
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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

等差数列的判定与证明 根据等差数列的定义可知,一个数列是否为等差 数列,要看任意相邻两项的差是否为同一常数, 要判断一个数列为等差数列,需证明an+1-an= d(d为常数)对n∈N*恒成立,若要判断一个数列不 是等差数列,只需举出一个反例即可.

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

2an 例3 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= . an+2 1 (1)数列{ }是否为等差数列?说明理由;(2)求 an. an
【思路点拨】 列的定义判定. 将递推公式变形,然后按等差数

1 【解】 (1)数列{a }是等差数列,理由如下: n 2an ∵a1=2,an+1= , an+2 an+2 1 1 1 1 1 1 ∴ = = + ,∴ - = , 2 an an+1 2an an+1 an 2
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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

1 1 1 1 即{ }是首项为 = ,公差为 d= 的等差数列. an a1 2 2 1 1 n (2)由(1)可知 = +(n-1)d= , an a1 2 2 ∴an=n.

【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 方法有以下几种: (1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)?{an} 为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2?{an}是等差数 列.
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(3)通项法:an=kn+b(k、b为常数)?{an}是等差
数列.

警示:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)对任意n∈N
+都要恒成立,不能几项成立便说{an}为等差数

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列.
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变式训练 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是否为等差数 列? 解:法一:由题意可知,an=a1+(n-1)d(a1、d为 常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4 =3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4. 由于bn是关于n的一次函数(或常值函数,d=0时), 故{bn}是等差数列. 法二:根据题意知bn+1=3an+1+4, ∴bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an) =3d(常数).由等差数列的定义知,数列{bn}是等 差数列.
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第2章 数列

方法感悟
1.等差数列定义的理解 (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件. (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运

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算要求,它的含义有两个:其一是强调作差的顺
序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项

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必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个

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数列不能称为等差数列.
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第2章 数列
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2.等差数列与一次函数的关系 等差数列 解析 式 an=kn+b(n∈N*) 一次函数 f(x)=kx+ b(k≠0)

定义域为N*,图象是一 定义域为R,图 不同 系列均匀分布的孤立的 点 象为一条直线 点(在同一直线上) 相同 其通项公式与函数的解析式都是关于自变 量的一次式(公差d不为0时) 点

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第2章 数列
课 前 自 主 学 案

3.等差数列的通项公式可以解决以下三类问题
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,可求出第

四个量;
(2)已知数列{an}的通项公式,可以求出等差数列
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{an}中的任一项,也可以判断某一个数是否是该数
列中的项; (3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函数或常 函数,则可判断{an}是等差数列.
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