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定积分的分部积分法和应用(面积、体积).ppt


06-07

思考



1 ?1

? x5 2 2 ? ? x 1 ? x + 1 ? x ? dx ? 2 4 +x ? 1 + x 1 1 dx =0; ? 错 ; (3)



?1

t

1 1 上不可积, 的无穷间断点. 在 [ ? 1, 1] 上不可积,因 t = 0 为 的无穷间断点. t t

EXE:

(4)
2a



π
4

?π 4

sin x dx ; ?x 1+ e

2

(5)



0

x 2ax ? x 2 dx (a > 0) .
a

一般地, 一般地, ∫

?a

f ( x ) dx = ∫ [ f ( x )+ f ( ? x )] dx .
0

a

结论: 结论:

讨论: 讨论: f ∈ C[0, 1] ? ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx ? 可积, 0 为周期, 0 设 f ( x ) 可积,且以 T 为周期,则对 ? a ∈ R ,有
2 2

π

π



a +T

a

f (x ) dx =



T

0

f (x ) dx .

以T为周期的周期函数 为周期的 在任一长度为T的区间上的定积分值相等 在任一长度为 的区间上的



∫π

0

100π

|sinx | dx = ,

∫π
4

9π 4

|sinx | dx = .



sin n x dx = ,



10π n

30π n

|sin nx | dx = .

计算



π x sin x dx 2 0

1+ cos x

0606-07
π
2



2π 0
π

x sin x dx

例 5 设 f ∈ C[0, 1] ,证: ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx .
2

0

0

令x =

π
2
π
0

?t

例 6 设 f ∈ C[0, 1] ,证: ∫ xf (sin x)dx =
令x =π ?t

π

2∫

π
0

f (sin x )dx .

计算



π x sin x dx 2 0

1+ cos x

0606-07
π


π

2π 0

x sin x dx
π
0

例 6 设 f ∈ C[0, 1] ,证: ∫ xf (sin x)dx =
0

2∫

f (sin x )dx .



π
0

x sin x π π sin x π π 1 dx = ∫ dx = ? ∫ d (cos x ) 2 0 1 + cos 2 x 0 1 + cos 2 x 2 2 1 + cos x

π π π π π2 = ? arctan(cos x ) π = ? ( ? ? )= . 0 2 2 4 4 4

定积分的分部积分法 二、定积分的分部积分法
Thm 2 设 u( x ) , v ( x ) ∈ C[1a , b ] , 则



b a

u′( x )v ( x )dx = uv a ? ∫
b

b a

u( x )dv ( x ) .

例 7 (1)



1 2

(1 + x )arcsin x 1? x
2

1 ? 2

dx ; (2)



1 0

x2 dx . 2 2 (1 + x )

? 2π sin t ? 例 8 证: ∫ ? ∫ dt ? dx = 0 . 0 ? x t ? 2π sin t dt , 则 令 f ( x) = ∫ x t 2π ? ππ sin t 2 2π ? f( 2 ? x t dt ? ( = ∫ ∫ 0I n = ∫∫0 sinn xdx dx n ∈ 0N + ) x ) dx . ? ?


06-07-2 期末

G( x ) = ∫

x

t 1+ t3

1

dt ,求 ∫ G ( x )dx .
0
π
2

1

1

0



π

2

0

sin xdx = ;
7

2

0



?π 2

cos6 xdx =

例 10 计算 I n = ∫ sin n xdx ( n ∈ N + ) 0
递推公式
π

π 2

n?1 In = ? I n? 2 n

10



n ?1 n ?1 n ? 3 π I2n = 7 ? I n?2 = ? 0 I n2 4 =? 6 sin xdx = ; n ? 2 ?π cos xdx = 2 n n
0 π

I1 = ∫

2

0

sin xdx = 1 ,

I0 = ∫



π?

2 2

0

( sin x ) dx =
0

π
2

,

? n ?1 n ? 3 3 1 π ? n ? n ? 2? 4 ? 2 ? 2 , n是偶数 , ∴ In =? n ?1 n ? 3 4 2 ? ? ?? ? ?1, n是奇数 . ? n n? 2 5 3

∫ cos
2

π

n

0

xdx =∫

π
2

0

? n ?1 n ? 3 3 1 π ? n ? n ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 , n是偶数, ? n sin xdx = ? ? n ? 1 ? n ? 3 ?? 4 ? 2 ?1, n是奇数. ? n n?2 5 3 ?
令t = 2 x
π
2

30
40 50


∫ ∫

π
4

0
1

t 1 1 π2 8 = ∫ cos ? dt = ∫ (1 + cos t )4 dt cos xdx 0 2 2 32 0
8 令x = sin t

0 2

(1 ? x 2 )n dx =
5/ 2

0

x 2 (4 ? x 2 ) dx

令x = 2sin t

=

例5

f ∈ C[0, 1] ,则



π

2

0

f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx .
2

π

0

讨论: 讨论: f ( x ) = ∫

x2 1

e dt ,求 ∫ xf ( x )dx .
?t2
0

1

特点: f ( x ) 求不出来,但 f ′( x ) 易求. 特点: 求不出来, 易求.
不易求 易求. f ( x ) 不易求 ,但 f ′( x ) 易求.

f ( x) ∈ C ,



1

x 0

1 tf (2 x ? t )dt = arctan x 2 , f (1) = 1 , 2



2

f ( x )dx . 06-07-2 期末) 期末) (

提醒: 先提出 再求导. 提醒:应 先提 出参变量 x ,再求导.

积分

[ xi , §51 ] 定积分的应用 Q := f (ξ i )?xi , xi + = [ xi , xi + ?xi ] , ?

微元

[ x , x + dx ] ,
n d →0 i =1

dQ := f ( x )dx .



b

a

f ( x )dx = lim ∑

f (ξ i )?xi ≡ Q

小区间上部分量的积累

“分割、取近似、求和、取极限” 分割、取近似、求和、取极限”

“微元法”思想: 在 [a , b] 上取代表小区间 [ x , x + dx ] 思想: 线性主部( .则称 若 f ( x )dx 为 ?Q 的线性主部(即 f ( x )dx = dQ ) 则称 .
微元, 则称 f ( x )dx 为所求量 Q 的微元,所求量

Q = ∫ dQ = ∫ f ( x)dx .
a a

b

b

平面图形 图形的 一、平面图形的面积
例 平面图形的面积 (设 f ( x ) > 0 )
y
y= f (x) =
dA

解: A 在 x 处的微元
记为 dA= f ( x )dx ,
于是, 于是, A≈ ∑dA= ∑ f ( x )dx ,

矩形面积 dA = 以 dx 为底、 f ( x ) 为高的矩形面积

f (x)

则 A= lim ∑ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx .
a

b

+ o a x x+dx b x

推广到一般
(1) 直角坐标系下
y= f (x) =

y

dA=[ f ( x)? g( x)]dx

dA
y= g(x) =

A= ∫ [ f ( x) ? g( x)]dx
a

b

oa

x x+dx +

b

x

x 型区域:竖条分割 型区域:
上减 下

y
y+dy +

d

dA = [?( y ) ? ψ ( y )]dy
dA

y c

x=?( y)

A = ∫ [?( y ) ? ψ ( y )] dy
c

d

x=ψ( y)

o

x y 型区域:横条分割 型区域:
右减左

轴所围图形的面积. 例 1 求由 y = sin x (0 ≤ x ≤ 2π ) 及 x 轴所围图形的面积.
法一: 法一:
π

无代表区间时, 个小区间讨论. 无代表区间时,分成 n 个小区间讨论.


A = ∫ sin xdx + ∫
0

π

? sin xdx = 4.
b a

定积分与面积有 定积分与面积有差异

A = ∫ f ( x ) dx

利用对称 对称性 法二:利用对称性

A = 4 ∫ 2 sin xdx = 4.
0

π

讨论几何上的问题应尽可能多地用对称性. 讨论几何上的问题应尽可能多地用对称性. 应尽可能多地用对称性

竖分:没有代表区间,左半部 抛—抛 竖分:没有代表区间, 抛 例 2 求由曲线 y 2 = 4 + x 与 x + 2 y = 4 所围图形的面积. 直线—抛 右半部 直线所围图形的面积. 抛
解: 10 作草图

(0,2),(12,4). , , , . 30 确定“横分”还是“竖分”y 型区域, 右减左 确定“横分”还是“竖分” 型区域, 为积分变量) (以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量)

20 求交点

法一: 横分” “ ( 为积分变量) 法一: 横分” 以 y 为积分变量)

A= ∫

? 4 ? 2 y ? ( y 2 ? 4) ? dy = 36 . ? ?4 ?

2

( 为积分变量) 法二:区间分割,用“竖分” 以 x 为积分变量) 区间分割, 竖分”

竖分:没有代表区间,左半部 抛—抛 竖分:没有代表区间, 抛 例 2 求由曲线 y 2 = 4 + x 与 x + 2 y = 4 所围图形的面积. 直线—抛 右半部 直线所围图形的面积. 抛

( 为积分变量) 法二:区间分割,用“竖分” 以 x 为积分变量) 区间分割, 竖分”

A = ∫ ? 4 + x ? (? 4 + x )? dx + ∫ ? 0 ?4 ?
= 2∫
0 ?4

0

12

?4 ? x ? ? 2 ? (? 4 + x )? dx ? ?

12 1 12 4 + x dx + ∫ (4 ? x) dx + ∫ 4 + x dx 0 2 0

= 36 .

(2)

参数方程下 参数方程下

x 型区域,上减下 型区域,

? x = a cos t = ? ( t ), 例 3 求椭圆 ? ? y = b sin t = ψ ( t ),

0 ≤ t ≤ 2 π 的面积. 的面积.

解: A = 4 ∫ y dx
0

a

A = ∫ f ( x ) dx
a

b

令 = a cos t x
= 4 ab ∫

4 ∫π b sin t ? ( ? a sin t )dt y
?a

0

0
0

2 π 2 sin 2 t dt
π
2

b

= 2 ab ∫ (1 ? cos 2 t )dt

o
?b

a

x

= π ab.
或 4 ab ∫
π
2

0

1 π sin tdt = 4 ab ? ? = π ab . 2 2
2

? x = ? (t ) 曲边梯形由参数方程 ? ? y = ψ (t )
曲边梯形的面积为

(a ≤ t ≤ b ) 给出, 给出,

A = ∫ y dx = ∫ ψ (t ) d[?(t )] = ∫ ψ (t ) ?′(t )dt
a a

b

b

b

a

Note: :

(1) 带绝对值 ; 带绝对值;

(2) 变量代换. 变量代换.

(3) 极坐标系下 极坐标系下

极点在区域内部 ① 极点在区域内部 A = 2 π 1 r 2 (θ ) d θ (3) 极坐标系下 坐标系 ∫0 2 θ θ 设 r = r (θ) (α ≤ θ ≤ β ) ,求由 r = r (θ) , θ = α , θ = β 极点在区域外 ② 极点在区域外部 所围图形的图形的面积. 所围图形的图形的面积 = β 1 ? r 2 (θ ) ? r 2 (θ ) ? d θ A ∫ 2 ? α 2 ? 1 [ 求曲边扇形的 面积 A ,积分 变 是θ , θ∈ α, β]. 量
为半径, ?[θ, θ + dθ]∈[α , β ] ,以 θ 处的极径 r ( θ ) 为半径, 以 dθ 为圆心角的扇形的面积作为面积微元, 为圆心角的扇形的面积作为面积微元,即

1 dA= [r(θ)]2dθ 2 1 β A= ∫ [r(θ)]2dθ. 2 α

r =r(θ) θ
β dθ

o

αθ

r(θ) θ θ+dθ

x

例4

所围图形的面积. 求心形线 r = a (1 + cos θ ) ( a > 0) 所围图形的面积.

解: A = 2
=a



π
0

1 [a(1 + cos θ )]2 dθ 2
(1 + 2cos θ + cos 2 θ )d θ

r =a(1+cosθ)

2

∫0

π

o

r

3 1 = a ∫ ( + 2cosθ + cos2θ)dθ 0 2 2
2

π

1 π 3 2 = a ( θ + 2sinθ + sin2θ) = πa . 0 2 2 4

2 3

所围的阴影部分的面积. 例 5 求由曲线 r = 3cosθ 和 r =1+ cosθ 所围的阴影部分的面积.

解:作草图, 作草图,
? r = 3cosθ 解方程组 ? , ? r =1+ cosθ

3π A( , ) 23

r=3cosθ
r=1+cosθ

o
3 π B( ,? ) 2 3

3 π 3 π 得交点 A( , ) , B ( , ? ) . 2 3 2 3
由图形的对称性得

r

由图形的对称性得

3π A( , ) 23

r=3cosθ
r=1+cosθ

A= 2 ∫

π 3
0

1 (1+ cosθ) 2 dθ 2
π 3

o
3 π B( ,? ) 2 3

+ 2∫
=∫

π 1 2

x

2

( 3cosθ)2 dθ

π 3 (1+ 2cosθ + cos 2 θ )dθ +
0

∫π
3

π 2 9cos 2 θdθ
π 2 3

3 1 9 9 5 = ( θ + 2sinθ + sin2θ) + ( θ + sin2θ) = π . 2 4 4 π 4 0 2

π 3

2.某些立体的体积 .
1) 平行截面已知的立体体积 平行截面已知的立体体积

z
A(x)

y
o

?

a

x

b

x

z
y

A(x)

o

a

+ x x+dx

b

x

取 x 为积分变量,积分区间为 [a ,b] .在 [a ,b] 上任取一 为积分变量,

代表小区间 [ x , x + dx ] ,对应的立体中一薄片的 体积 ?V 近似等于底面积 为 A( x ) , 高为 dx 的柱体的体积 A( x )dx ,

微元 即体积
所求体积为

dV = A( x)dx ,
V = ∫ A( x)dx .
a b

的正圆柱体, 例 6 设有半径为 R 的正圆柱体,被通过其底的直径

面所截,求截得的圆柱楔的体积. 且与底面交成 α的平 面所截,求截得的圆柱楔的体积.

解:如图建立坐标系, 如图建立坐标系,
2 2 2

?R

ytanα

则底圆的方程为 x + y = R . ?x∈[ ? R, R ] , 用过点 x且垂直于 x 轴

x

y

o

α α
R

y

的平面去截楔形,截得的截面是直角三角形, 的平面去截楔形,截得的截面是直角三角形, x 1 1 2 2 故截面积为 A( x )= y? ytanα = ( R ? x )tanα , 2 2 R R 1 2 2 3 2 V = ∫ A( x )dx = ∫ ( R ? x )tanαdx = R tanα. ?R ?R 2 3

2) 旋转体的体积 绕 x 轴旋转
2

y
y= f (x) =

o a

b

x

dVx = A( x)dx = π[ f ( x)] dx ,
b 2 Vx =π [ f ( x)] dx =π y dx. a a

y
y= f (x) =



b

2



o a

x x+ dx +

b

x

绕 y 轴旋转
dVy = π[?( y)]2 dy ,
d 2 Vy =π [?( y)] dy =π x dy c c

y



d

2



d
y+dy +

y

x=?( y)

c
o
x

Vx = π ∫ [f (x)] dx = π ∫ y2dx
2 a a

b

b

解: V = π ∫

旋转而成的旋转体的体积. 例 7 求椭圆 + =1 绕 x 轴 旋转而成的旋转体的体积. a 2 y 2 旋转而成的旋转体的体积. 绕 x 轴 、 b 轴 旋转而成的旋转体的体积. b
a ?a
a

2 y y 例 8 求由xx 2 +y 22 = 2 和 y = x 2 所围成的图形分别

y 2 dx ,
2

b a x =π∫ ( a 2 ? x 2 )dx ?a 2 ?a a x+dx + 2 a b = 2π 2 ∫ (a 2 ? x 2 )dx ?b 0 思考: a 思考:已知圆台的上底 半径为 r1 ,下底 半径为 r2 ,

y o x

2πb ,求它的体积 求它的体积. 高为 h ( a 2 x ? 1 x 3 ) a .4 πab 2 . = = = a2 ? 3 = π 0 3

2

例 8 求由 x 2 + y 2 = 2 和 y = x 2 所围成的图形分别

旋转而成的旋转体的体积. y 绕 x 轴 、 y 轴 旋转而成的旋转体的体积.
? x2+ y2=2 ? 解:解方程组 ? ? y= x2 ?

y= x2 =
?1

? 得交点 (?1, 1) , (1, 1) .

o

1

Vx =∫ π(2? x )dx?∫ πx4dx
2
?1 ?1
1

1

1

x

x2 + y2 =2

x3 x5 1 = 2π ∫ ( 2 ? x 2 ? x 4 )dx = 2π( 2 x ? ? ) 0 3 5 0 1 1 44 = 2 π( 2 ? ? ) = π . b 3 5 15 2
a

Vx = π ∫ y dx

Vy = ∫ πydy+∫
0

1

2

π(2? y )dy

2

y
2

1

y= x =

2

1 2 =π y 2

1

1 3 2 + π( 2 y ? y ) 0 1 3

1

o
2

x
x + y =2
2

π 2 1 = + π[( 2 2 ? 2 )? ( 2 ? )] 2 3 3
4 7 = π( 2 ? ). 3 6
b

Vy = π ∫ x2 ( y)dy.
a


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