当前位置:首页 >> 数学 >>

【数学】4.1.1《圆的标准方程》课件(新人教A版必修2)


4.1.1《圆的标准方程》

教学目标
? 知识与技能: ? 1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标 准方程。 ? 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 ? 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题 的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实 际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解 决问题的能力。 ? 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的 学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 ? 教学重点:圆的标准方程 ? 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求 圆的标准方程。

复习引入
我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两 点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直 线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
y M

r
A O x

引入新课
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定 了.

因此一个圆最基本要素是圆心和半径. 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用 坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离.
y M (x, y) r A(a,b) O x

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法 来表示这个集合吗? 符合上述条件的圆的集合:
p ? ?M || MA |? r?
y M (x, y) r A(a,b) O x

圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示?

根据两点间距离公式:P1 P2 ? ? x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? .
2 2

MA ? 则点M、A间的距离为:

? x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 .

即:

p ? ?M | MA |? r?
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上?

点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上.
把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆 的方程,把它叫做圆的标准方程(standard equation of circle).

特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是什么? 因为圆心是原点O(0, 0),将x=0,y=0和半径 r 带入圆的标准方程:
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

得: 整理得:

( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r
2 2

2

x ? y ?r
2 2

2

典型例题
例1 写出圆心为 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M 1 ( 5 , ? 7 ) , 2 ( ? 5 , ? 1) 是否在这 M 个圆上. 解:圆心是 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆的标准 方程是: 2 2
( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25

把 M 1 ( 5 , ? 7 ) 的坐标代入方程( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点
2 2

M 1在这个圆上;

把点 M 2 ( ? 5 , ? 1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2 的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

典型例题
例1 写出圆心为 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M 1 ( 5 , ? 7 ) , 2 ( ? 5 , ? 1) 是否在这 M 个圆上. 解:圆心是 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆的标准 方程是: 2 2
( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25

y

o
M2

x

A
M1

点与圆的位置关系

从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在 这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上. 怎样判断点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 在圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 内呢?
2 2 2

还是在圆外呢?

y

M3

o
M2 A M1

x

点与圆的位置关系
2 2 2 怎样判断点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 在圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 内呢? 还是在圆外呢?

可以看到:点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ;

点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r .
y

M3

o
M2 A M1

x

典型例题
例2
? ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),

C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆.
解:设所求圆的方程是 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r
2 2 2

(1)

因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐 标都满足方程(1).于是
? ( 5 ? a ) ? (1 ? b ) ? r ? 2 2 2 (7 ? a ) ? (? 3 ? b ) ? r ? 2 2 2 ? (2 ? a ) ? (?8 ? b) ? r ?
2 2 2

典型例题
例2
? ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),

C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆.
解: 解此方程组,得:
? a ? 2, ? ? b ? 3, ? 2 ? r ? 25 .

所以,? ABC 的外接圆的方程 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 .
2 2

典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.

分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小.圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),由于圆心C与A, B 两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线 l ' 上.又 ' 圆心C在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 l 的交点,半径 长等于|CA|或|CB|.
解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
( 3 2 ,? 1 2 ),

直线AB的斜率:

k AB ?

? 2 ?1 2 ?1

? ?3

典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.

解:因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是
y? 1 2 ? 1 3 (x ? 3 2 )

'

即x ? 3y ? 3 ? 0 圆心C的坐标是方程组

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0
的解.

典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.
? x ? ? 3, 解: 解此方程组,得 ? ? y ? ?2.

所以圆心C的坐标是 ( ? 3, ? 2 ) 圆心为C的圆的半径长
r ? | AC |? (1 ? 3 ) ? (1 ? 2 ) ? 5
2 2

所以,圆心为C的圆的标准方程是
( x ? 3 ) ? ( y ? 2 ) ? 25
2 2

知识小结
圆的基本要素

圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程

判断点与圆 的位置关系


相关文章:
...高中数学 4.1.1 圆的标准方程教案 新人教A版必修2
【金识源】高中数学 4.1.1 圆的标准方程教案 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。第四章 圆与方程 本章教材分析 上一章,学生已经学习了直线与方程,知道...
...高中数学 4.1.1圆的标准方程练习 新人教A版必修2
【金版学案】2015-2016高中数学 4.1.1圆的标准方程练习 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。4.1.1 基础梳理 圆的标准方程 1.圆的标准方程:圆心为 C(a...
最新人教A版必修2高中数学 4.1.1 圆的标准方程教案
最新人教A版必修2高中数学 4.1.1 圆的标准方程教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第四章 圆的方程 4.1 圆的方程 【高考要求】 ①掌握确定圆的几何要素,...
...二:4.1.1圆的标准方程学案设计 新人教A版必修2
【人教A版】高中数学必修二:4.1.1圆的标准方程学案设计 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。第四章 4.1 4.1.1 圆与方程 圆的方程 圆的标准方程学习目标...
...中学高一数学同步学案:4.1.1《圆的标准方程》(人教A...
2015-2016学年内蒙古元宝山区平煤高级中学高一数学同步学案:4.1.1《圆的标准方程》(人教A版必修2)_高中教育_教育专区。4.1.1 圆的标准方程学习目标:(1)回顾确定...
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案新人教A版必修2_...
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案新人教A版必修2_数学_初中教育_教育专区。4.1.1 圆的标准方程 1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆...
高中数学 《圆的标准方程》教案10 新人教A版必修2
高中数学 《圆的标准方程》教案10 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。4.1.1 圆的标准方程 (一)教学目标 1.知识与技能 (1)掌握圆的标准方程,能根据圆心...
...高中数学 4.1.1 圆的标准方程习题 新人教A版必修2
【金识源】高中数学 4.1.1 圆的标准方程习题 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。4.1.1 圆的标准方程一、选择题 1.已知点 P(3,2)和圆的方程(x-2)...
...4.1.1圆的标准方程课时达标检测 新人教A版必修2
2015高中数学 第1部分 4.1.1圆的标准方程课时达标检测 新人教A版必修2_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【三维设计】 2015 高中数学 第 1 部分 4.1.1 圆的...
最新人教A版必修2高中数学 4.1.1节 圆的标准方程导入设...
最新人教A版必修2高中数学 4.1.1圆的标准方程...(二)深入探究(获得新知) 问题二: 1. 根据问题一...[多媒体课件演示] 已知圆的方程是 x 2 ? y 2 ...
更多相关标签: