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基本不等式与最大最小值


3.2 基本不等式与最大(小)值

张先生打算建造一个面积为6 000平方米的矩形饲 养场,进行猪养殖,现在需要进行周边院墙的建设, 经过计算,他的儿子 说建成正方形的院墙 最省,而他认为建成 长300米、宽200米的 矩形的院墙最省,你 认为谁说的对?要解 决这个问题,可用基 本不等式,这一节我们就学习基本不等式的相关应用 .

1.

进一步掌握基本不等式. 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解 决一些简单的实际问题.(重点、难点)

探究点

基本不等式在求最大(小)值中的应用

想一想:你可以把一段16 cm长的细铁丝弯成形状 不同的矩形,怎样弯面积最大?

设矩形的长为 x cm,宽为 y cm,则 x ? y ? 8 .

x? y ? xy , 这时,由基本不等式得: 2
即 xy ? 16 ,当且仅当 x ? y ? 4 时,等号成立. 由此可知,边长为4cm的那个正方形的面积最 大.

思考1.若x+y=s(和为定值),则积xy的最大值是多 少?取得最大值的条件是什么? 提示:由基本不等式 x ? y ? xy, x,y∈R+可知,
xy ? (
s =2

x?y 2 s ) ? , 故xy的最大值为 2 4
2

2

s2 , 当且仅当x=y 4

时等号成立.

思考2.若xy=p(积为定值),其中p>0,则和x+y能 取得最小值还是最大值?并求出相应的最值. 提示:因为 x ? y ? 2 xy, 所以当xy=p(积为定值)时 x+y有最小值 2 p, 当且仅当 x ? y ? p 时等号成立.

思考3.若两正数的积是定值4,那么这两个正数的和

的最小值是4吗?
提示:不一定.要看这两个正数能否相等,

例如

? 4 ? ? (0, ),sin? ? ? 4, 2 sin ?

4 4 因sin α≠2,即sin? ? ? 2 sin? ? ? 4 中的等号不 sin? sin ? 能取到,所以 sin ? ? 4 不可能取到4. sin ?

【即时练习】
a +b 1 如果 0<a<b<1,P=log ,Q= (log1a+log1b),M 2 2 2 2 2
1

1 1 = log (a+b), 那么 P, Q, M 的大小顺序是 2 2 A.P>Q>M C.Q>M>P B.Q>P>M D.M>Q>P

(B

)

a+b 【解析】因为 P=log 1 , 2 2 1 Q= (log 1 a+log 1 b)=log 1 ab, 2 2 2 2 1 M= log 1 (a+b)=log 1 a+b, 2 2 2 a+b 所以只需比较 , ab, a+b的大小. 2

a+b a+b ?a+b?2 显然 > ab,又因为 < a+b,(由 a+b> 2 2 4 a+ b a+b 也就是 <1 可得 ) ,所以 a+b > > ab . 而 y = 4 2 log 1 x 为减函数,故 Q>P>M.
2

例 1.设 x , y 为正实数,且 2 x ? 5 y ? 20 , 求 u ? lg x ? lg y 的最大值.
【解析】 因为 x ? 0, y ? 0 ,所以由基本不等式,得

2x ? 5 y ? 2 x ? 5 y ? 10 xy . 2
由于 2 x ? 5 y ? 20 ,所以 10 xy ? 10 ,即 xy ? 10 .

当且仅当 2 x ? 5 y 时,等号成立,因此有

? 2 x ? 5 y ? 20, ? ? 2 x ? 5 y.
解得

x ? 5, y ? 2 .

当 x ? 5, y ? 2 时, xy 有最大值 10.
这样 u ? lg x ? lg y ? lg( xy ) ? lg10 ? 1 . 所以,当 x ? 5, y ? 2 时, u ? lg x ? lg y 有最大值1.

【变式练习】
若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( D )

A. ?0, 2?

B.? ?2, 0?

C. ? ?2, ?? ?

D.? ??, ?2?

【解题提示】利用基本不等式求解.

1 例 2.已知 y ? x ? ( x ? 0) ,证明: y ? 2 . x
证明: (1)当 x ? 0 时,由基本不等式,得 y ? x ?

1 ? 2, x

1 当且仅当 x ? ,即 x ? 1 时,等号成立.函数草图如图: x
y
6 4 3 2 1

-5

-1

01
-2

2 3

5

x

-4 -6

1 1 ]. (2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , y ? x ? ? ?[( ? x ) ? x (? x)
1 由(1)可知 ( ? x) ? ?2, (? x)
当且仅当 x ? ?1 时等号成立.

1 所以 ?[( ? x) ? ] ? ?2 , (? x)

1 即 y ? x ? ? ?2 , x
综上可知, y ? 2 .

【特别提醒】利用基本不等式求最值应注意的三点: (1)x,y一定要是非负数. (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y

的最小值时, 看积xy是否为定值.
(3)等号是否能够取到.

【变式练习】
1 求f (x) ? 2x ? ? 1(x ? 0)的最大值. x 1 分析: 因为x < 0,所以2x < 0, < 0,不符合基本不等式 x 的 条件.故应把负数转化为正 数.

1 解:因为x < 0,所以 - 2x > 0,- > 0. x 1 1 所以(- 2x)+(- ) ? 2 2.所以2x + ? -2 2. x x 1 关注因式是 所以f(x)= 2x + - 1 ? -2 2 - 1. 负数 x
1 2 当且仅当 - 2x = - ,即x = 时,取等号. x 2 f(x)的最大值为 - 2 2 - 1.

特别提醒: 如果所求因式都是负数,通常
采用添负号变为正数的处理方法.

例 3.如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一 面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计 为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m ,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
2

解: (1)设每间虎笼长为 xm ,宽为 y m ,则由“有可围网长 36m 的材料” ,得 4 x ? 6 y ? 36 m, 即

2 x ? 3 y ? 18 .

设面积 S ? xy . 由于

2 x ? 3 y ? 2 2 x ? 3 y ? 2 6 xy ,

27 27 所以 2 6 xy ? 18 ,得 xy ? ,即 S ? , 2 2

当且仅当 2 x ? 3 y 时,等号成立. 解方程组

?2 x ? 3 y ? 18, ? ?2 x ? 3 y,

? x ? 4.5, 得? ? y ? 3.

答:每间虎笼设计长、宽分别为 4.5m 和 3m 时, 可使面积最大.

(2)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则由“每间虎笼面积为 24m2”,得xy=24. 设钢筋网总长l=4x+6y=2(2x+3y),
因为2 ? 2x ? 3y ? ? 4 2x ? 3y ? 4 6xy ? 4 6 ? 24 ? 4 ?12 ? 48,

当且仅当2x=3y时,等号成立.
? 2x ? 3y, ? x ? 6, 解方程组 ? 得? ? xy ? 24, ? y ? 4.

答:每间虎笼设计长、宽分别为6m和4m时,可使围成

四间虎笼的钢筋网总长最小.

思考.除了应用基本不等式求实际应用问题的最值 外,还有哪种方法可用? 提示:除了用基本不等式求实际应用问题的最值外, 还可用函数的单调性等方法求解.

【变式练习】
(1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这 个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱 笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜 园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时, 菜园的面积最大, 最大面积是多少?

解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆的长为 2(x+y) m.

x? y ? xy ,可得 x ? y ? 2 100 ,即 2( x ? y ) ? 40 . 由 2
当且仅当 x=y 时等号成立,此时 x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短, 最短的篱笆是 40m.

(2)解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(36-2x)m,其中 0<x < 18 , 其 面 积 S = x ( 36 - 2x ) =

1 · 2x ( 36 - 2x ) ≤ 2

1 2 x ? 36 ? 2 x 2 36 2 ( ) ? 2 2 8 ,
当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时,菜园面积最大, 即菜园长为 18m,宽为 9 m 时,菜园面积最大为 162 m .
2

解法二:设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 x+2y=36,矩形菜园的面积为 xy m .
2

x ? 2 y 36 由 2 xy ? ? ? 18 , 可得 : xy ? 162 , 2 2
当且仅当 x=2y,即 x=18,y=9 时,等号成立.
因此,这个矩形的长、宽分别为 18 m,9 m 时,菜园的面积 最大,最大面积是 162m .
2

例 4. 某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路 费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐 年递增 0.2 万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最 少?

解:设使用x年平均费用最少. 由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递 增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元 为首项,0.2万元为公差的等差数列.因此,汽车使 用x年总的维修费用为 0.2 ? 0.2 x x 万元.
2

设汽车的年平均费用为 y 万元,则有

0.2 ? 0.2 x 10 ? 0.9 x ? x 2 y? x 10 ? x ? 0.1x 2 10 x ? ? 1? ? x x 10 10 x ? 1? 2 ? ? 3. x 10
10 x ? 当且仅当 ,即 x ? 10 时, y 取最小值. x 10

答:汽车使用 10 年平均费用最少 .

【变式练习】
(2014·福建高考)要制作一个容积为 4m3,高为 1m 的无盖长方体容器, 已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最 低总造价是 ( C ) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元

【解析】选 C.由容器体积为 4,高为 1 可知,容器的 底面积为 4.
4 设底面长为 x,则宽为 x ,总造价为 W.由题意, 4 4 W =(2?x? 1+2? ? 1)? 10+4 ? 20=20(x+ )+80 ? 20 ? 2 4+80=160 , x x 4 当 x= x ,即 x=2 时取“ =”.

1. ( 2015 · 陕 西 高 考 ) 设 f ( x) ? ln x, 0 ? a ? b , 若
a?b 1 q ? f ( ) r ? ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关 p ? f ( ab ) , , 2 2

系式中正确的是( C )

?r? p C. p ? r ? q
A. q

B. q D.

?r? p

p?r?q

a?b a?b 【解析】 p ? f ( ab ) ? ln ab , q ? f ( 2 ) ? ln 2 ,
1 1 r ? ( f (a ) ? f (b)) ? ln ab ? ln ab ,函数 f ( x) ? ln x 在 ? 0, ?? ? 2 2

a?b a?b ? ab f( ) ? f ( ab ) 上单调递增,因为 2 ,所以 ,所 2

以 q>p=r,故选 C.

2.(2015·天津高考)已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值 为

4

时 log 2 a ? log 2 ? 2b ? 取得最大值.
2

? log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? 1 2 log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? ? ? ? ? log 2 2ab ? 【解析】 2 ? ? 4
1 2 ? ? log 2 16 ? ? 4, a 当 4

? 2b 时取等号,结合 a ? 0, b ? 0, ab ? 8,

可得 a

? 4, b ? 2.

a 3.已知函数f (x) ? 4x ? (x ? 0, a ? 0)在x ? 3时取得最小值, x 36 . 则a = ______

4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积
最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 20

m.
x 40m

40m

x +7x+10 5.求函数y= (x ? -1)的最小值. x+1
解:令 x+1=t>0,∴x=t-1,
?t-1?2+7?t-1?+10 t2+5t+4 ∴ y= = t t 4 4 = t+ t + 5≥ 2 t· t + 5 = 9, 4 当且仅当 t= ,即 t= 2,x=1 时等号成立. t x2+7 x+10 ∴当 x =1 时,函数 y = (x>-1) 取得最小值 9. x+ 1

2

6.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积 为4 800 m3,深为3 m,如果池底每1 m2的造价为 150元,池壁每1 m2的造价为120元,问怎样设计水 池才能使总造价最低,最低总造价是多少元?
解析:设水池底面一边的长度为 x m ,水池的总造价为 l 元.根据题意,得

l=240

1 600 000+720(x+ ) x
1 600 x

≥240 000+720×2 x ?

=240 000+720×2×40=297 600.

当且仅当 x=
是297 600元.

1 600 ,即 x

x=40 时,l 有最小值 297 600.

答:当水池的底面是边长为40 m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价

a+ b 使用基本不等式 ab≤ (a, b 都是非负数)求函数最值时, 2 必须注意有三个条件:
一是 a,b 均为正数; 二是 a+b 与 ab 有一个是定值; 三是等号必须能取到.三者缺一不可.


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