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苏教版


苏教版 必修五

3.4.2 基本不等式的应用

【教案背景】:苏教版高中数学必修五, 高二年级教学内容 【教学课题】:基本不等式的应用 【教材分析】: 1、 知识与技能 : 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简 单的实际问题; 2、过程与方法 :本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引 导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。 3、情感、态度与价值观 :引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展 创新精神, 培养实事求是、 理论与实际相结合的科学态度和科学道德; 进一步培养学生学习数学、 应用数学的意识以及思维的创新性和深刻 性 4、教学重点:化实际问题为数学问题;不等式思想和函数思想的具体应 用 5、教学难点:会恰当地运用基本不等式求几何中的最值. 【教学方法与教学用具】: 1、教学方法:列出函数关系式是解应用题的关键,也是本节要体现的技 能之一。对例题的处理可让学生思考,然后师生共同对解题思路进行概 括总结,使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。 2、 教学用具:直尺、投影仪 、PPT 课件 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1 课时 【教学过程】: 一、知识点复习: 1.重要不等式: a 2 ? b 2 ? 2ab ( a , b ? R ), 当且仅当 a ? b 时取等号 2.基本不等式:

ab ≤

a?b (a≥0,b≥0), 当且仅当 a ? b 时取等 2

号 不同点:两式的适用范围不同 二、创设情景,揭示课题 已知 x, y ①如果 xy 都是正数, 有定值
p, 那么当 x ? y

相同点:当且仅当 a ? b 时取等号

时, 和

x ? y 有最小值

2 p;

②如果和 x ? y

有定值 s

,那么当

1 x ? y 时,积有最大值 s 2 4

三、课前练习,巩固应用 1.函数 y ? x(2 ? x) ( 0 ? x ? 2 )在_______有最大值___________ 2.函数 y ? 2 x ?
4 1 ( x ? ) 在_______有最小值___________ 2x ? 1 2

3.已知 2 x ? 3 y ? 12( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最大值为____________ 4.已知 x, y 为正数,且 x ? 2 y ? 1 ,则 答案: 1. x ? 1 , 1 四、研探新知,例题讲解 例 1. (教材 的矩形面积最大? 例 1) 用长为 4a 的铁丝围成矩形,怎样才能使所围 , 矩形面积 S ? x(2a ? x) , 2. x ?
3 ,5 2

1 1 ? 的最小值为__________ x y

3. 6

4. 3 ? 2 2

解: 设矩形的长为 x (0 ? x ? 2a) , 则宽为 2a ? x 且 x ? 0,2a ? x ? 0 .
x ? ( 2a ? x ) ?a 2
S 有最大值

由基本不等式 x(2a ? x) ?

.(当且仅当 x ? 2a ? x

,即

x?a

时取等号), 时,
a2 .

由此可知,当 x ? a

答:将铁丝围成正方形时,才能有最大面积 a 2



评述:1.本题可以转化为求二次函数 S ? x(2a ? x) 的最大值 2.本题还可转化为二元函数来解决,设长为 x ,宽为 y ,且 x ? y ? 2a ,求
S ? xy 得最大值

例 2.(教材 例 2)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m, 如果池底每 1m2 的造价为 150 元, 池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式, 然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。

解:设水池的总造价为

y 元,池底面一边长为

xm ,则另一边长为

1600 1600 1600 m ,根据题意,得 y ? 150 ( x ? ) ? 2 ? 120 ? 3 ? (x ? ) x x x 1600 ) = 150 ? 1600 ? 720 ( x ? x 1600 ? 2 1600 ? 80 (当 x ? 40 时,取等号) 因为 x ? x

所以, y ? 297600 答:当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总 造价是 297600 元 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即 函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质 的适用条件。 练习:(教材例 3) 过点(1,2)的直线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点, 当 ?AOB 面积最小时,求直线 l 的方程。 分析: 本题有两种做法: 一种可以采用斜截式求解, 一种可以采用截距式来求解。 法一:由题知,直线 l 的斜率一定存在。设 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1)(k ? 0) 令 x ? 0, 则 y ? ?k ? 2 , 令 y ? 0, 则x ? ?
2 ?1 k



故 A(?

2 ? 1,0) B(0,?k ? 2) k

? S ?AOB ?

1 2 1 2 (? ? 1)( ?k ? 2) ? 2 ? [( ? ) ? ( ? k) ]? 2 2 k 2 k 2 当且仅当 ? k ? ? ,即 k ? ?2 时取等号 k

所以,当 ?AOB 面积最小时,直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 法二:设点 A(a,0), B(0, b)(a ? 0, b ? 0) ,则直线 l 的方程为 入得
x y ? ? 1 ,点 A, B 代 a b

1 2 1 2 2 ? ? 1 由基本不等式,得 1 ? ? ? 2 ? ab ? 8 a b a b ab

当且仅当

1 2 ? , a b

即 a ? 2, b ? 4 时,等号 。 所以,当 ?AOB 面积最小时,直线 l 的方程为
x y ? ? 1 ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 2 4

例 3.(教材 例 4)如图,一份印刷品的拍排版面积(矩形)为 A ,它的两边都 留有宽为 a 的白,顶部和底部都留有宽为 b 的空白。如何选择纸张的尺寸,才能 使纸张的用量最少? 解:设排版矩形的长和宽分别是 x, y ,则 xy ? A .纸张的面积为
2 S ? ( x ? 2a)( y ? 2b) ? xy ? 2bx ? 2ay ? 4ab ? xy ? 2 4abxy ? 4ab ? ( A ? 2 ab )

当且仅当 2bx ? 2ay ,即 x ?

Aa , y? b Aa ,2b ? b

Ab 时, S 有最小值 ( A ? 2 ab) 2 ,此时 a Ab a Ab 时,纸张的用量最少 a

纸张的长和宽分别为 2a ?

答:当纸张的长和宽分别为 2a ?

Aa ,2b ? b

【本课小结】: (1)利用基本不等式求最值的条件为“一正,二定,三相等” (2)解决实际问题注意:审题——建模——求解——评价 (3)注重分类讨论、换元、化归等数学思想方法在解题中的运用。同时,注重 从不同的角度思考问题,适当考虑“一题多解”.

【课后作业】: 1.课本P91 第6题 2.课本P91 第9题 3.如图,设矩形 ABCD(AB>CD)的周 长为 24,把它关于 AC 对折起来,AB 折过去以后,交 DC 于点 P,AB= x , 求 ? ADP 的最大面积及相应的 x 值。

【教学反思】:本节内容主要是利用基本不等式求函数的最值,同时要在实际问 题中中应用。因此,及要求学生能灵活的运用基本不等式,还要求学生有建模的 思想。为了过渡自然,本课先复习前面学习的两个定理,然后引入在数学中的应 用,并通过几个具体的练习,练习的设计是为后面的应用题服务的,应用题的真 正数学部分的解答,其实在练习中已经训练了。可以说,在应用题中,一旦模型 建立了,学生就能很快解决。

由学生已有知识归纳和总结得到这节课的两个定理, 使学生易于理解和接 受.由典型例题的证明,归纳出一般结论,培养了学生的逻辑推理能力.由练习 的变形培养了学生灵活处理问题的能力. 对实际问题的解决体现了数学的应用价 值. 重要不等式灵活变形的使用不仅加深了对推理的理解,同时突破了对本节难 点“等号成立的条件”的理解.“拓展延伸”给学生以发挥的空间,启发学生由已知 到未知的探索能力. 总之, 基本不等式与现实的联系是本节的特点, 构思上采用“问题驱动式” 及“铺台阶”的设计,目的是引导学生思考和降低难度;例题解决采用“从问题 出发构建模型,反过来,又利用建立的模型解决开始的问题”的设计,目的使学 生领略到学习数学的成功和胜利喜悦.


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