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1.3


2015 年 3 月



编写:高一数学组

课题 诱导公式(一)

主备人 董洪安

审核人 张奎春

使用时间

学案类型 基础学案

序号 7

1.设 α 为任意角,则 π+α,-α,π-α 的终 边与 α 的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π+α 与 α 关于____对称; -α 与 α 关于____对称; π-α 与 α 关于____对称. 2.诱导公式一~四 (1)公式一: sin(α+2kπ)=________, cos(α+2kπ)=________, tan(α+2kπ)=________,其中 k∈Z. (2)公式二: sin(π+α)=__________, cos(π+α)=__________, tan(π+α)=________. (3)公式三: sin(-α)=________, cos(-α)=________, tan(-α)=________. (4)公式四: sin(π-α)=________, cos(π-α)=__________, tan(π-α)=__________. 你能否利用 π+α 与 α 终边之间的对称关系, 从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二 吗?

对点讲练 给角求值问题 求下列各三角函数值. 47π (1)sin(-1 200° );(2)cos ;(3)tan 945° . 6 例1

变式训练 1 求 sin 1 200° · cos 1 290° + cos( - 1 020° )· sin( - 1 050° ) + tan( - 495° )的 值.

2015 年 3 月



编写:高一数学组

给值求值问题 sin?3π-α? 已知 =2, cos?3π-α? sin?α-3π?+cos?π-α? 求 的值. sin?-α?-cos?π+α? 例2 π ? 5π ? 3 变式训练 2 已知 cos? 求 cos? ?6-α?= 3 , ? 6 +α? π? -sin2? ?α-6?的值.

2015 年 3 月



编写:高一数学组

课题 诱导公式(一)

主备人 董洪安

审核人 张奎春

使用时间

学案类型 巩固学案

序号 8

化简三角函数式

例3 sin?-2π-θ?cos?6π-θ?tan?2π-θ? 化简: . cos?θ-π?sin?5π+θ?

课时作业 一、选择题 1.sin 585° 的值为( ) 2 2 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 sin?nπ+α? 2.若 n 为整数,则代数式 的化简结果 cos?nπ+α? 是( ) A.tan nα B.-tan nα C.tan α D.-tan α 3.记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° 等于( ) 1-k2 1-k2 A. B.- k k k k C. 2 D.- 1-k 1-k2 sin?α-5π? 4.tan(5π+α)=m,则 的值为( ) cos?π+α? A.m B.-m C.-1 D.1 π 1 ? 则 cos(π 5. 若 sin(π-α)=log8 , 且 α∈? ?-2,0?, 4 +α)的值为( ) 5 5 5 A. B.- C.± D.以上都不对 3 3 3

变式训练 3 sin[?k+1?π+θ]· cos[?k+1?π-θ] 化简: ( 其中 k ∈ sin?kπ-θ?· cos?kπ+θ? Z).

二、填空题 π? 5π 2π 6.sin? ?-3?+2sin 3 +3sin 3 =______. 1+2sin 290° cos 430° 7 .代数式 的化简结果是 sin 250° +cos 790° ________. 8. 设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2, 其中 a、 b、α、β 为非零常数.若 f(2 009)=1,则 f(2 010) =________.

2015 年 3 月



编写:高一数学组

三、解答题 2 9.若 cos(α-π)=- , 3 sin?α-2π?+sin?-α-3π?cos?α-3π? 求 的值. cos?π-α?-cos?-π-α?cos?α-4π? 10.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+ tan β=0.

2015 年 3 月



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§ 1.3

三角函数的诱导公式 (一)参考答案

知识梳理 1. 相关角 终边之间的对称关系 π+α 与 α 关于原点对称; -α 与 α 关于 x 轴对称; π-α 与 α 关于 y 轴对称. 2.(1)sin α cos α tan α (2)-sin α -cos α tan α (3)-sin α cos α -tan α (4)sin α -cos α -tan α 自主探究 解 设 P(x,y)为角 α 终边上任一点, ∵角 α 与 π+α 终边关于原点对称. ∴P(x,y)关于原点的对称点 P′(-x,-y) 位于角 π+α 的终边上. ∴|OP′|=|OP|= x2+y2=r. 由任意角三角函数的定义知: -y sin(π+α)= =-sin α, r -x cos (π+α)= =-cos α, r -y y tan(π+α)= = =tan α. -x x 借助任意角三角函数的定义同样可以推得公 式三、公式四. 对点讲练 例 1 解 (1)sin(-1 200° )=sin(-4×360° +240° ) =sin 240° =sin(180° +60° ) 3 =-sin 60° =- ; 2 47π 11π 11π (2)cos =cos( +6π)=cos 6 6 6 π π 3 =cos(2π- )=cos = ; 6 6 2 (3)tan 945° =tan(2×360° +225° )=tan 225° =tan(180° +45° )=tan 45° =1. 变 式 训 练 1 解 原 式 = sin(3×360° + 120° )· cos(3×360° + 210° ) - cos(2×360° +

300° )· sin(2×360° +330° )-tan(360° +135° ) = sin(180° - 60° )· cos(180° + 30° ) - cos(360° -60° )· sin(360° -30° )-tan(180° -45° ) =-sin 60° · cos 30° +cos 60° · sin 30° +tan 45° 3 3 1 1 1 =- × + × +1= . 2 2 2 2 2 sin?3π-α? 例2 解 ∵ =2, cos?3π-α? ∴tan(3π-α)=2,∴tan α=-2. sin?α-3π?+cos?π-α? ∵ sin?-α?-cos?π+α? -sin α-cos α sin α+cos α = = -sin α+cos α sin α-cos α 1+tan α = tan α-1 sin?α-3π?+cos?π-α? 1-2 1 ∴ = = . sin?-α?-cos?π+α? -2-1 3 5π ? π +α -sin2?α- ? 变式训练 2 解 cos? ?6 ? ? 6? 5π π 2 ? ?? ? ? =-cos? ?π-? 6 +α??-sin ?6-α? π ? 2?π ? =-cos? ?6-α?-sin ?6-α? 3 3 =- -?1-? ?2? 3 ? ?3?? 2+ 3 3 2 =- - =- . 3 3 3 例 3 解 原 式 = -sin?2π+θ?· cos θ· ?-tan θ? cos?π-θ?· sin?π+θ? sin θ· cos θ· tan θ = ?-cos θ?· ?-sin θ? sin θ· cos θ· tan θ = sin θ· cos θ =tan θ 变式训练 3 解 当 k 为偶数时, 不妨设 k=2n,n∈Z,则 sin[?2n+1?π+θ]· cos[?2n+1?π-θ] 原式= sin?2nπ-θ?· cos?2nπ+θ? sin?π+θ?· cos?π-θ? = -sin θ· cos θ -sin θ· ?-cos θ? = -sin θ· cos θ =-1. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则 sin[?2n+2?π+θ]· cos[?2n+2?π-θ] 原式= sin[?2n+1?π-θ]· cos[?2n+1?π+θ]

2015 年 3 月



编写:高一数学组

sin[2?n+1?π+θ]· cos[2?n+1?π-θ] 解 析 f(2 009) = asin(2 009π + α) + bcos(2 009π+β)+2 sin?π-θ?· cos?π+θ? sin θ· cos θ =asin(π+α)+bcos(π+β)+2 = sin θ· ?-cos θ? =2-(asin α+bcos β)=1. ∴asin α+bcos β=1. =-1. f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) ∴上式的值为-1. +2 课时作业 =asin α+bcos β+2=3. 1.A [sin 585° =sin(360° +225° )=sin(180° 9 . 解 原 式 = 2 +45° )=- .] 2 -sin?2π-α?-sin?3π+α?cos?3π-α? sin α -cos α-?-cos α?cos α 2.C [若 n 为偶数,则原式= =tan α; cos α sin α-sin αcos α = sin?π+α? -cos α+cos2α 若 n 为奇数,则原式= =tan α.] cos?π+α? sin α?1-cos α? = 3.B [∵cos(-80° )=k,∴cos 80° =k, -cos α?1-cos α? 2 1 - k =-tan α. ∴sin 80° = 1-k2.∴tan 80° = . k 2 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- , 3 1-k2 ∴tan 100° =-tan 80° =- .] 2 k ∴cos α= .∴α 为第一象限角或第四象限角. 3 4.A [∵tan(5π+α)=tan α=m,∴tan α= 2 m. 当 α 为第一象限角时,cos α= , 3 -sin α 原式= =tan α=m.] 5 -cos α sin α= 1-cos2α= , 3 2 2 5.B [∵sin(π-α)=sin α=log2 2- =- , sin α 5 5 3 3 ∴tan α= = ,则原式=- . cos α 2 2 2 ∴cos(π+α)=-cos α=- 1-sin α 2 4 5 当 α 为第四象限角时,cos α= , 3 =- 1- =- .] 9 3 5 6.0 sin α=- 1-cos2α=- , 3 π π 2π- ? + 3sin 解析 原式=- sin + 2sin ? sin α 5 5 3 ? ? 3 ∴tan α= =- ,则原式= . cos α 2 2 2π 10.证明 ∵sin(α+β)=1, 3 π 3 3 3 ∴α+β=2kπ+ (k∈Z), =- -2× +3× =0. 2 2 2 2 π 7.-1 ∴α=2kπ+ -β (k∈Z). 2 解析 原式 tan(2α+β)+tan β 1+2sin?180° +110° ?· cos?360° +70° ? π ? ? ? = =tan? sin?180° +70° ?+cos?2×360° +70° ? ?2?2kπ+2-β?+β?+tan β =tan(4kπ+π-2β+β)+tan β 1-2sin 110° cos 70° = =tan(4kπ+π-β)+tan β cos 70° -sin 70° =tan(π-β)+tan β 1-2sin 70° cos 70° = =-tan β+tan β=0, cos 70° -sin 70° ∴原式成立. |sin 70° -cos 70° | = cos 70° -sin 70° =-1. 8.3 =

2015 年 3 月



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