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第2课 四种命题和充要条件


第2课
一、课前检测:

四种命题和充要条件

1.(选修2-1P8习题1改编)命题:“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是

.

2.(选修2-1P7练习改编)命题“若x<0,则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四 个命题中正确命题的个数为 .

3.(选修2-1P20习题改编)判断下列命题的真假.(填“真”或“假”) (1)命题“在△ABC中,若AB>AC,则C>B”的否命题为 (2)命题“若ab=0,则b=0”的逆否命题为 命题. 命题.

4.(选修2-1P9习题4(2)改编)“sin α=sin β”是“α=β”的 “必要不充分”、“ 充要”或“ 既不充分也不必要”)

条件.(填“充分不必要”、

5.(选修2-1P20习题改编)已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分 条件,则r是q的 条件,p是q的 条件.

二、
1.记“若p则q”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p”,逆否命题 为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假,即等价,原命题与逆否命 题等价,逆命题与否命题等价.因此,四种命题为真的个数只能是偶数. 2.对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,记作p ?q,称p是q的充分条件,q是p的 必要条件;当它是假命题时,记作p ?/ q,称p是q的非充分条件,q是p的非必要条 件. 3.①若p ?q,且q ?/ p,则p是q的充分不必要条件; ②若p ?/ q,且q ?p,则p是q的必要不充分条件; ③若p ?q,且q ?p,则p是q的充要条件,记作p ? q;

④若p ?/ p,且q ?/ p,则p是q的既不充分也不必要条件. 4.证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它 的逆命题成立(即条件的必要性).

要点导学
三、

各个击破

命题真假的判断
例1 在△ABC中,已知命题p:若C=60° ,则sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C.

(1)求证:命题p是真命题; (2)写出命题p的逆命题,判断逆命题的真假,并说明理由.

变式

给出以下四个命题:

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实数根”的逆否命题; ④若a+b是偶数,则整数a,b都是偶数. 其中真命题是 .(填序号)

充要条件的判断
例2 从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中,

选出一种适当的填空. (1)(2015· 泰安期末)已知a∈R,则“a2<a”是“a<1”的 条件.

(2)(2015· 保定期末)若集合A={0,1},B={-1,a2},则“A∩B={1}”是“a=1”的 条件.

变式

从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也

不必要条件”中,选出一种适当的填空.

π (1)“x=2kπ+ 4 (k∈Z)”是“tan x=1”的
? x ? 2, ? x ? y ? 4, ? ? (2)“ ? y ? 2 ”是“ ? xy ? 4 ”的





1 (3)“m< 2 ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的
(4)对于数列{an},“an+1>|an|(n∈N*)”是“数列{an}为递增数列” 的 ;



(5)“函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)上单调递增”是“m≥ 立”的 .

8x 对任意的x>0恒成 x ?9
2

结合充要条件求参数
例3 已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)(x-8)≤0}.

(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件; (3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.

变式

(2015· 南通期中)若不等式x.

1 >0成立的充分不必要条件是x>a,则实数 x

a的取值范围是

充要条件的证明
例4 已知a,b,c都是实数,求证:方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负

根的充要条件是ac<0.

变式:设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根 的充要条件是a2=b2+c2.

四、课堂练习
1.(2014· 安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的 2.(2015· 安徽卷)设命题p:1<x<2,q:2x>1,则p是q的 条件. 条件.

3.(2015· 南通模考)已知集合M={x|x-2<0},N={x|x<a},若“x∈M”是“x∈N” 的充分 条件,则实数a的取值范围是
2

.

1 4.求证:方程mx -2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m< 3 .

五、课后作业:
一、 填空题 1.命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是 .

2.(2014· 启东中学)若使“x≥1”与“x≥a”恰有一个成立的充要条件为{x|0≤x<1},则实数 a的值是 .

3.(2015· 重庆卷)“x>1”是“lo

g1
2

(x+2)<0”的

条件.

4.设集合S={0,a},T={x∈Z|x2<2},则“a=1”是“S ? T”的 5.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是

条件.

.

6.设n∈N*,则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=

.

x-1 7.已知命题p:|x|>a,q: 2x-1 >0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围
是 .

?1? ? ? 8.(2015· 郑州质检)给定方程: ? 2 ? +sin x-1=0,下列命题中:①该方程没有小于0的

x

实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数根; ④若x0是方程的实数根,则x0>-1.其中正确的命题是 .(填序号)

二、 解答题

? 3 ? 3 ?? 2 2? ? ? y | y ? x ? x ? 1,x ? ? , 2 4 ? ? ? ,B={x|x+m2≥1}.若命 ? 9.(2014· 惠州一模)已知集合A=
题p:x∈A,命题q:x∈B,并且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.

10.已知函数f(x)=4sin

?π ? ? ? x? 4 ? 2?

π π -2 3 cos 2x-1,且给定命题p:x< 4 或x> 2 ,x∈R.若

命题q:-2<f(x)-m<2,且? p是q的充分条件,求实数m的取值范围.

*11、设数列{an},{bn},{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2, 3,…),求证:数列{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1, 2,3,…).

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.已知集合A={x|x2+2x-3≤0},B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不 必要条件,则实数a的取值范围是 .

13.(2015· 黄山质检)在平面直角坐标系中,定义两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直 角距离”为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题: ①已知两点 P(2,3),Q(sin2α ,cos2α ),则 d(P,Q)为定值; ②原点 O 到直线 x-y+1=0 上任意一点 P 的直角距离 d(O,P)的最小值为 ③若 PQ 表示 P,Q 两点间的距离,那么 PQ≥ 其中为真命题的是 .(填序号)

2 ; 2

2 d(P,Q); 2

【课后作业答案】
第2课 四种命题和充要条件
1.若a+1≤b,则a≤b

? x ? 1, ? x ? 1, ? ? 2.0 【解析】由题意可得 ? x ? a 或 ? x ? a 成立的充要条件为{x|0≤x<1},所以a=0.

3.充分不必要 【解析】lo 的充分不必要条件.

g1
2

(x+2)<0 ? x+2>1 ? x>-1,故“x>1”是“lo

g1
2

(x+2)<0”

4.充分不必要 【解析】当a=1时,S={0,1},又T={-1,0,1},则S ? T,所以充 分性成立;当S ? T时,a=1或-1,所以必要性不成立. 5.[-3,0] 【解析】因为命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则有a=0或

?a ? 0, ? 2 ?4a ? 12a ? 0, 解得a∈[-3,0].

6. 3或4

【解析】由x2-4x+n=0,得(x-2)2=4-n,即x=2± 4-n .因为n∈N*,方程要有

整数解,所以n=3或4,故当n=3或4时方程有整数解.

? x ? R,a ? 0, x-1 1 ? x ? a 或 x ? a , a ? 0 , 7. (-∞,0) 【解析】由命题p:|x|>a ?? q: 2x-1 >0 ? x< 2 或
x>1.因为p是q的必要不充分条件,所以使命题q成立的不等式的解集是使命题p成立 的不等式解集的子集,所以a<0.

8.②③④

?1? ?1? ? ? ? ? 【解析】由题意可知方程 ? 2 ? +sin x-1=0的解等价于函数y=1- ? 2 ? 与

x

x

y=sin x的图象交点的横坐标,在同一平面直角坐标系中分别作出它们的图象如图所 示.

(第8题) 由图象可知:①该方程存在小于0的实数解,故①错误;②该方程有无数个实数 解,故②正确;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解,故③正确;④若x0是该 方程的实数解,则x0>-1,故④正确.

? 3? ?3 ? 3 7 7 x- ? , 2? ? ? 9.由y=x2- 2 x+1,配方得y= ? 4 ? + 16 .因为x∈ ? 4 ? ,所以ymin= 16 ,ymax=2,即

2

?7 ? , 2? ? 16 ? ?, y∈ ? 7 ? ? y | ? y ? 2? ?. 所以A= ? 16
由x+m2≥1,得x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}. 因为p是q的充分条件,所以A ? B,

3? ?3 ? ? 7 3 3 ??, ? ? ? , ?? ? ? 2 16 4? ∪ ?4 ?. 所以1-m ≤ ,解得m≥ 4 或m≤- 4 .故实数m的取值范围是 ?

10.设m是两个方程的公共根,显然m≠0. 由题设知m2+2am+b2=0, m2+2cm-b2=0, ② ①

由①+②得2m(a+c+m)=0,

所以m=-(a+c),



将③代入①得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,化简得a2=b2+c2, 所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2. 下面证明充分性. 因为a2=b2+c2, 所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0, 它的两个根分别为x1=-(a+c),x2=c-a. 同理,方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c),x4=a-c. 因为x1=x3,所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根. 综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.

?m ? f (x)-2, ? 11.由q可得 ?m ? f (x) ? 2.
因为? p是q的充分条件,

?m ? f (x)-2, π π ? 所以在 4 ≤x≤ 2 的条件下, ?m ? f (x) ? 2
恒成立.

? ?π ?? ?1 ? cos ? 2 ? 2 x ?? ? ?? -2 3 cos 2x-1 由已知得,f(x)=2 ?
=2sin 2x-2 3 cos 2x+1

π? ? ? 2 x- ? 3 ? +1. =4sin ?

π π π π 2π 由 4 ≤x≤ 2 ,知 6 ≤2x- 3 ≤ 3 ,
π? ? ? 2 x- ? 3 ? +1≤5. 所以3≤4sin ?

5π 故当x= 12 时,f(x)max=5,

π 当x= 4 时,f(x)min=3,
?m ? 5-2, ? 所以只需 ?m ? 3 ? 2 成立,即3<m<5.
所以m的取值范围是(3,5).

3? ? - ? ? -? , 2? 12. ?

【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1},B={x|2a≤x≤a2+1}.

因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A

?a 2 ? 1 ? 1, ? B,所以 ?2a ? -3,且等号不能同

3? ? 3 - ? ? -? , 2?. 时取得,解得a≤- 2 ,故实数a的取值范围是 ?
【解析】已知两点P(2,3),Q(sin2α,cos2α),则d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-

13.①③

cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4,所以①正确;设直线上任意一点为(x,x+1),则原点O 到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,即其最小值

1 为1,所以命题②错误;由基本不等式a +b ≥ 2 (a+b)2得
2 2

PQ=

(x1 -x2 )2 ? (y1 -y2 )2

2 2 ≥ 2 (|x1-x2|+|y1-y2|)= 2 d(P,Q),所以命题③成立,综上

所述,正确的命题为①③.


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