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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(解析版)


2017 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡相应位置上. 1.函数 f(x)=ln 的定义域为 . .

2.若复数 z 满足 z(1﹣i)=2i(i 是虚数单位) , 是 z 的共轭复数,则 =

3.某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加 每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 .

4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示: 不喜欢戏剧 男性青年观众 女性青年观众 40 40 喜欢戏剧 10 60

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研, 若在 “不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了 8 人,则 n 的值为 5.根据如图所示的伪代码,输出 S 的值为 . .

6.记公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S4﹣5S2=0,则 S5 的 值为 . 个单位后得到函数 y=g(x)的图象, .

7.将函数 f(x)=sinx 的图象向右平移 则函数 y=f(x)+g(x)的最大值为

8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线 上一点,PA⊥l,A 为垂足.若直线 AF 的斜率 k=﹣ 9.若 sin(α﹣ )= ,α∈(0, ,则线段 PF 的长为 . .

) ,则 cosα 的值为

10.α,β 为两个不同的平面,m,n 为两条不同的直线,下列命题中正确的是
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(填上所有正确命题的序号) . ①若 α∥β,m? α,则 m∥β; ②若 m∥α,n? α,则 m∥n; ③若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β; ④若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:kx﹣y+2=0 与直线 l2:x+ky﹣2=0 相交于 点 P,则当实数 k 变化时,点 P 到直线 x﹣y﹣4=0 的距离的最大值为 .

12.若函数 f(x)=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8 有唯一零点,则满足条件的实数 m 组 成的集合为 . =(1,2) , =(﹣2,2) ,则 ? 的最小值为 .

13.已知平面向量

14.已知函数 f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中 e 为自然对数的底数.若不等式 f (x)≤0 恒成立,则 的最小值为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,AD=6,BD=3, DC=2. (1)若 AD⊥BC,求∠BAC 的大小; (2)若∠ABC= ,求△ADC 的面积.

16.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AD⊥平面 PAB,AP⊥AB. (1)求证:CD⊥AP; (2)若 CD⊥PD,求证:CD∥平面 PAB.

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17. 在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD, 然 后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做 成一个无盖的长方体纸盒(如图) .设小正方形边长为 x 厘米,矩形纸板的两边 AB,BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米,其中 a≥b. (1)当 a=90 时,求纸盒侧面积的最大值; (2)试确定 a,b,x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,焦点在 x 轴上的椭圆 C:

+

=1 经过

点(b,2e) ,其中 e 为椭圆 C 的离心率.过点 T(1,0)作斜率为 k(k>0)的 直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点(A 在 x 轴下方) . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M,N,求 (3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P.若 = 的值;

,求直线 l 的斜率 k.

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19.已知函数 f (x)=ex﹣ax﹣1,其中 e 为自然对数的底数,a∈R. (1)若 a=e,函数 g (x)=(2﹣e)x. ①求函数 h(x)=f (x)﹣g (x)的单调区间; ②若函数 F(x)= 的值域为 R,求实数 m 的取值范围;

(2)若存在实数 x1,x2∈[0,2],使得 f(x1)=f(x2) ,且|x1﹣x2|≥1,求证: e﹣1≤a≤e2﹣e. 20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn},{cn}满足 (n+1)bn=an+1﹣ (n+2)cn= ﹣ ,其中 n∈N*. ,

(1)若数列{an}是公差为 2 的等差数列,求数列{cn}的通项公式; (2)若存在实数 λ,使得对一切 n∈N*,有 bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差 数列.

数学附加题[选做题]在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题,每小题 0 分, 共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修 4-1:几何证明 选讲] 21.如图,△ABC 的顶点 A,C 在圆 O 上,B 在圆外,线段 AB 与圆 O 交于点 M. (1)若 BC 是圆 O 的切线,且 AB=8,BC=4,求线段 AM 的长度; (2)若线段 BC 与圆 O 交于另一点 N,且 AB=2AC,求证:BN=2MN.

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.设 a,b∈R.若直线 l:ax+y﹣7=0 在矩阵 A= 到的直线为 l′:9x+y﹣91=0.求实数 a,b 的值. 对应的变换作用下,得

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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l: (t 为参数) , 与曲线 C:

(k 为参数)交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知 a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2)

[必做题]第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 25. A1A=AB=2, 如图, 在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC= ,E,F 分别是 BC,A1C 的中点.

(1)求异面直线 EF,AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上, =λ.若 CM∥平面 AEF,求实数 λ 的值.

26.现有 角形数阵:

(n≥2,n∈N*)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三

设 Mk 是第 k 行中的最大数,其中 1≤k≤n,k∈N*.记 M1<M2<…<Mn 的概率 为 pn.
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(1)求 p2 的值; (2)证明:pn> .

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2017 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡相应位置上. 1.函数 f(x)=ln 的定义域为 (﹣∞,1) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据对数函数的性质得到关于 x 的不等式,解出即可. 【解答】解:由题意得: 解得:x<1, 故函数的定义域是: (﹣∞,1) . >0,

2.若复数 z 满足 z(1﹣i)=2i(i 是虚数单位) , 是 z 的共轭复数,则 = ﹣i .

﹣1

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简求得 z,进一步求 得 . 【解答】解:∵z(1﹣i)=2i, ∴ ∴ . ,

故答案为:﹣1﹣i.

3.某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加 每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】先求出基本事件总数 n=3×3=9,再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含 的基本事件个数 m=3×2=6,由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率.
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【解答】解:∵某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加, 且每人参加每个兴趣小组的可能性相同, ∴基本事件总数 n=3×3=9, 甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数 m=3×2=6, ∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率 p= 故答案为: . .

4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示: 不喜欢戏剧 男性青年观众 女性青年观众 40 40 喜欢戏剧 10 60

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研, 若在 “不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了 8 人,则 n 的值为 【考点】分层抽样方法. 【分析】利用分层抽样的定义,建立方程,即可得出结论. 【解答】解:由题意 解得 n=30, 故答案为:30 = , 30 .

5.根据如图所示的伪代码,输出 S 的值为

17



【考点】伪代码. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 I,S 的值,当 I=9 时不满 足条件 I≤8,退出循环,输出 S 的值为 17.
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【解答】解:模拟执行程序,可得 S=1,I=1 满足条件 I≤8,S=2,I=3 满足条件 I≤8,S=5,I=5 满足条件 I≤8,S=10,I=7 满足条件 I≤8,S=17,I=9 不满足条件 I≤8,退出循环,输出 S 的值为 17. 故答案为 17.

6.记公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S4﹣5S2=0,则 S5 的 值为 31 .

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】经分析等比数列为非常数列,设出等比数列的公比,有给出的条件列方 程求出 q 的值,则 S5 的值可求. 【解答】解:若等比数列的公比等于 1,由 a1=1,则 S4=4,5S2=10,与题意不符. 设等比数列的公比为 q(q≠1) , 由 a1=1,S4=5S2,得 解得 q=±2. ∵数列{an}的各项均为正数,∴q=2. 则 S 5= =31. =5a1(1+q) ,

故答案为:31.

7.将函数 f(x)=sinx 的图象向右平移 则函数 y=f(x)+g(x)的最大值为

个单位后得到函数 y=g(x)的图象, .

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 g(x)的解析式,再利 用两角和差的三角公式化简 f(x)+g(x)的解析式,再利用正弦函数的值域求
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得函数 y=f(x)+g(x)的最大值. 【解答】解:将函数 f(x)=sinx 的图象向右平移 =sin(x﹣ )的图象, )= sinx﹣ cosx= sin(x﹣ ) 的 个单位后得到函数 y=g(x)

则函数 y=f(x)+g(x)=sinx+sin(x﹣ 最大值为 故答案为: , .

8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线 上一点,PA⊥l,A 为垂足.若直线 AF 的斜率 k=﹣ 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,根据直线 AF 的斜率得到 AF 方程,与准线方程联立,解出 A 点坐标,因为 PA 垂直准线 l,所以 P 点与 A 点纵坐标相同,再代入抛物线方程求 P 点横坐标,利用抛物线的定义就可求出 PF 长. 【解答】解:∵抛物线方程为 y2=6x, ∴焦点 F(1.5,0) ,准线 l 方程为 x=﹣1.5, ∵直线 AF 的斜率为﹣ 直线 AF 的方程为 y=﹣ 当 x=﹣1.5 时,y=3 , ) , (x﹣1.5) , ,则线段 PF 的长为 6 .

由可得 A 点坐标为(﹣1.5,3 ∵PA⊥l,A 为垂足, ∴P 点纵坐标为 3

,代入抛物线方程,得 P 点坐标为(4.5,3

) ,

∴|PF|=|PA|=4.5﹣(﹣1.5)=6. 故答案为 6.

9.若 sin(α﹣

)= ,α∈(0,

) ,则 cosα 的值为



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】根据 α∈(0, ) ,求解出 α﹣ ∈( , ) ,可得 cos( )

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= ,构造思想,cosα=cos(α 【解答】解:∵α∈(0, ∴α﹣ sin(α﹣ ∴cos( ∈( , ) , ) ,

) ,利用两角和与差的公式打开,可得答案.

)= , )= , ) ]=cos( )cos( )﹣sin( )sin

那么 cosα=cos[(α = 故答案为: = .

10. α, β 为两个不同的平面, m, n 为两条不同的直线, 下列命题中正确的是 ④ (填上所有正确命题的序号) . ①若 α∥β,m? α,则 m∥β; ②若 m∥α,n? α,则 m∥n; ③若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β; ④若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β. 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.



【分析】在①中,由面面平行的性质定理得 m∥β;在②中,m∥n 或 m 与 n 异 面;在③中,m 与 β 相交、平行或 m? β; 在④中,由线面垂直的判定定理得 m ⊥β. 【解答】解:由 α,β 为两个不同的平面,m,n 为两条不同的直线,知: 在①中,若 α∥β,m? α,则由面面平行的性质定理得 m∥β,故①正确; 在②中,若 m∥α,n? α,则 m∥n 或 m 与 n 异面,故②错误; 在③中,若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m 与 β 相交、平行或 m? β,故③错误; 在④中,若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则由线面垂直的判定定理得 m⊥β,故④正确. 故答案为:①④.

11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:kx﹣y+2=0 与直线 l2:x+ky﹣2=0 相交于
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点 P,则当实数 k 变化时,点 P 到直线 x﹣y﹣4=0 的距离的最大值为 3 【考点】点到直线的距离公式. 【分析】直线 l1:kx﹣y+2=0 与直线 l2:x+ky﹣2=0 的斜率乘积=k×



=﹣1,

(k=0 时,两条直线也相互垂直) ,并且两条直线分别经过定点:M(0,2) ,N (2,0) .可得点 M 到直线 x﹣y﹣4=0 的距离 d 为最大值. 【解答】解:∵直线 l1:kx﹣y+2=0 与直线 l2:x+ky﹣2=0 的斜率乘积=k× =

﹣1, (k=0 时,两条直线也相互垂直) ,并且两条直线分别经过定点:M(0,2) , N(2,0) . ∴两条直线的交点在以 MN 为直径的圆上.并且 kMN=﹣1,可得 MN 与直线 x﹣y ﹣4=0 垂直. ∴点 M 到直线 x﹣y﹣4=0 的距离 d= 故答案为:3 . =3 为最大值.

12.若函数 f(x)=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8 有唯一零点,则满足条件的实数 m 组 成的集合为 {﹣4,2} . 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】由题意,唯一零点为 0,则 02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0,即可得出结论. 【解答】解:由题意,唯一零点为 0,则 02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0, ∴m=﹣4 或 2, 故答案为{﹣4,2}.

13.已知平面向量

=(1,2) ,

=(﹣2,2) ,则

?

的最小值为





【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设 A(a,b) ,B(c,d) ,由已知向量可得 C(a+1,b+2) ,D(c﹣2, d+2) ,求得 用配方法求得 =(c﹣a,d﹣b) , ? 的最小值. =(c﹣a﹣3,d﹣b) ,代入 ? ,展开后利

【解答】解:设 A(a,b) ,B(c,d) , ∵ =(1,2) , =(﹣2,2) ,
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∴C(a+1,b+2) ,D(c﹣2,d+2) , 则 ∴ =(c﹣a,d﹣b) , ? =(c﹣a﹣3,d﹣b) ,

=(c﹣a) (c﹣a﹣3)+(b﹣d)2 .

=(c﹣a)2﹣3(c﹣a)+(b﹣d)2= ∴ ? 的最小值为﹣ .

故答案为:﹣

14.已知函数 f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中 e 为自然对数的底数.若不等式 f (x)≤0 恒成立,则 的最小值为 ﹣ .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】求出 恒成立,当 a>e 时,由 取最大值 0,推导出 (x)= ,x>0,当 a≤e 时,f′(x)>0,f(x)≤0 不可能 ,得 x= ,由题意当 x= 时,f(x) ,x>e,F′

(a>e) ,令 F(x)=

,令 H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,H′(x)=ln(x﹣e)

+1,由此利用导数性质能求出 的最小值. 【解答】解:∵函数 f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中 e 为自然对数的底数, ∴ ,x>0,

当 a≤e 时,f′(x)>0, f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)≤0 不可能恒成立, 当 a>e 时,由 ,得 x= ,

∵不等式 f(x)≤0 恒成立,∴f(x)的最大值为 0, 当 x∈(0, 当 x∈( ∴当 x= )时,f′(x)>0,f(x)单调递增, ,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 时,f(x)取最大值,

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f(

)=﹣ln(a﹣e)﹣b﹣1≤0,

∴ln(a﹣e)+b+1≥0, ∴b≥﹣1﹣ln(a﹣e) , ∴ 令 F(x)= F′(x)= (a>e) , ,x>e, = ,

令 H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e, H′(x)=ln(x﹣e)+1, 由 H′(x)=0,得 x=e+ , 当 x∈(e+ ,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数, x∈(e,e+ )时,H′(x)<0,H(x)是减函数, ∴当 x=e+ 时,H(x)取最小值 H(e+ )=﹣e﹣ , ∵x→e 时,H(x)→0,x>2e 时,H(x)>0,H(2e)=0, ∴当 x∈(e,2e)时,F′(x)<0,F(x)是减函数, 当 x∈(2e,+∞)时,F′(x)>0,F(x)是增函九, ∴x=2e 时,F(x)取最小值,F(2e)= ∴ 的最小值为﹣ . 故答案为:﹣ . =﹣ ,

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,AD=6,BD=3, DC=2. (1)若 AD⊥BC,求∠BAC 的大小; (2)若∠ABC= ,求△ADC 的面积.
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【考点】正弦定理;两角和与差的正切函数. 【分析】 (1)设∠BAD=α,∠DAC=β,由已知可求 tanα= ,tanβ= ,利用两角 和的正切函数公式可求 tan∠BAC=1.结合范围∠BAC∈(0,π) ,即可得解∠BAC 的值. (2)设∠BAD=α.由正弦定理可求 sinα= ,利用大边对大角,同角三角函数

基本关系式可求 cosα 的值,利用两角和的正弦函数公式可求 sin∠ADC,进而利 用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】 (本小题满分 14 分) 解: (1)设∠BAD=α,∠DAC=β. 因为 AD⊥BC,AD=6,BD=3,DC=2, 所以 tanα= ,tanβ= ,…

所以 tan∠BAC=tan(α+β)= 又∠BAC∈(0,π) , 所以∠BAC= .…

=

=1.…

(2)设∠BAD=α.在△ABD 中,∠ABC= 由正弦定理得 因为 AD>BD, 所以 α 为锐角,从而 cosα= 因此 sin∠ADC=sin(α+ )=sinαcos = = ,解得 sinα=

,AD=6,BD=3. .…

.… = ( + )= .…

+cosαsin

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△ADC 的面积 S= ×AD×DC?sin∠ADC= ×6×2×

= (1+

) .…

16.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AD⊥平面 PAB,AP⊥AB. (1)求证:CD⊥AP; (2)若 CD⊥PD,求证:CD∥平面 PAB.

【考点】直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)推导出 AD⊥AP,AP⊥AB,从而 AP⊥平面 ABCD,由此能证明 CD ⊥AP. (2)由 CD⊥AP,CD⊥PD,得 CD⊥平面 PAD.再推导出 AB⊥AD,AP⊥AB,从 而 AB⊥平面 PAD,进而 CD∥AB,由此能证明 CD∥平面 PAB. 【解答】 (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 AD⊥平面 PAB,AP? 平面 PAB,所以 AD⊥AP.… 又因为 AP⊥AB,AB∩AD=A,AB? 平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, 所以 AP⊥平面 ABCD.… 因为 CD? 平面 ABCD,所以 CD⊥AP.… (2)因为 CD⊥AP,CD⊥PD,且 PD∩AP=P,PD? 平面 PAD,AP? 平面 PAD, 所以 CD⊥平面 PAD.①… 因为 AD⊥平面 PAB,AB? 平面 PAB,所以 AB⊥AD. 又因为 AP⊥AB,AP∩AD=A,AP? 平面 PAD,AD? 平面 PAD, 所以 AB⊥平面 PAD.②… 由①②得 CD∥AB,… 因为 CD?平面 PAB,AB? 平面 PAB,所以 CD∥平面 PAB.…

第 16 页(共 30 页)

17. 在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD, 然 后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做 成一个无盖的长方体纸盒(如图) .设小正方形边长为 x 厘米,矩形纸板的两边 AB,BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米,其中 a≥b. (1)当 a=90 时,求纸盒侧面积的最大值; (2)试确定 a,b,x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】 (1)当 a=90 时,b=40,求出侧面积,利用配方法求纸盒侧面积的最大 值; (2)表示出体积,利用基本不等式,导数知识,即可确定 a,b,x 的值,使得 纸盒的体积最大,并求出最大值. 【解答】解: (1)因为矩形纸板 ABCD 的面积为 3600,故当 a=90 时,b=40, 从而包装盒子的侧面积 S=2×x(90﹣2x)+2×x(40﹣2x)=﹣8x2+260x,x∈(0, 20) .… 因为 S=﹣8x2+260x=﹣8(x﹣16.25)2+2112.5, 故当 x=16.25 时,侧面积最大,最大值为 2112.5 平方厘米. (2)包装盒子的体积 V=(a﹣2x) (b﹣2x)x=x[ab﹣2(a+b)x+4x2],x∈(0, ) ,b≤60.…
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V=x[ab﹣2(a+b)x+4x2]≤x(ab﹣4 =4x3﹣240x2+3600x.… 当且仅当 a=b=60 时等号成立.

x+4x2)=x

设 f(x)=4x3﹣240x2+3600x,x∈(0,30) .则 f′(x)=12(x﹣10) (x﹣30) . 于是当 0<x<10 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,10)上单调递增; 当 10<x<30 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(10,30)上单调递减. 因此当 x=10 时,f(x)有最大值 f(10)=16000,…此时 a=b=60,x=10. 答:当 a=b=60,x=10 时纸盒的体积最大,最大值为 16000 立方厘米.…

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,焦点在 x 轴上的椭圆 C:

+

=1 经过

点(b,2e) ,其中 e 为椭圆 C 的离心率.过点 T(1,0)作斜率为 k(k>0)的 直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点(A 在 x 轴下方) . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M,N,求 (3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P.若 = 的值;

,求直线 l 的斜率 k.

【考点】直线与椭圆的位置关系. 【分析】 (1)由题意得 e2= 解得 b2; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) . , .又 a2=b2+c2, ,

第 18 页(共 30 页)

联立直线 l 与椭圆方程

,消去 y,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣8=0,可

设直线 MN 方程为 y=kx, 联立直线 MN 与椭圆方程

, 消去 y 得 (2k2+1)

x2=8,由 MN∥l,得 ? =﹣[x1x2﹣ 由 (1﹣x1) (x2﹣1) (x1+x2) +1]= 可. ( 3 ) 在 y=k ( x ﹣ 1 ) 中 , 令 x=0 , 则 y= ﹣ k , 所 以 P ( 0 , ﹣ k ) ,从而 , 由 = 得
2 =4x2= . 得 (xM﹣xN)

. 即

… ①,由( 2 )知

… ②由①②得

? 50k4﹣83k2﹣34=0,解得 k2

【解答】解: (1)因为椭圆椭圆 C:

+

=1 经过点(b,2e)所以



因为 e2=

,所以



又∵a2=b2+c2,

,解得 b2=4 或 b2=8(舍去) .

所以椭圆 C 的方程为



(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 因为 T(1,0) ,则直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) . 联立直线 l 与椭圆方程 ,消去 y,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣8=0,
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所以 x1+x2=

,x1x2=



因为 MN∥l,所以直线 MN 方程为 y=kx, 联立直线 MN 与椭圆方程 消去 y 得(2k2+1)x2=8, 解得 x2= 因为 MN∥l,所以 因为(1﹣x1)?(x2﹣1)=﹣[x1x2﹣(x1+x2)+1]= (xM﹣xN)2=4x2= 所以 . = . .

(3)在 y=k(x﹣1)中,令 x=0,则 y=﹣k,所以 P(0,﹣k) , 从而 ∵ = , , …①

由(2)知

…②

由①②得 ﹣ (舍) . .…

? 50k4﹣83k2﹣34=0,解得 k2=2 或 k2=

又因为 k>0,所以 k=

19.已知函数 f (x)=ex﹣ax﹣1,其中 e 为自然对数的底数,a∈R. (1)若 a=e,函数 g (x)=(2﹣e)x.
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①求函数 h(x)=f (x)﹣g (x)的单调区间; ②若函数 F(x)= 的值域为 R,求实数 m 的取值范围;

(2)若存在实数 x1,x2∈[0,2],使得 f(x1)=f(x2) ,且|x1﹣x2|≥1,求证: e﹣1≤a≤e2﹣e. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)①求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间 即可; ②求出函数的导数,通过讨论 m 的范围得到函数的值域,从而确定 m 的具体范 围即可; (2)求出函数 f(x)的导数,得到 a>0 且 f(x)在(﹣∞,lna]递减,在[lna, +∞)递增,设 0≤x1<x2≤2,则有 0≤x1<lna<x2≤2,根据函数的单调性得到 关于 m 的不等式组,解出即可. 【解答】解: (1)a=e 时,f(x)=ex﹣ex﹣1, ①h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣2x﹣1,h′(x)=ex﹣2, 由 h′(x)>0,得 x>ln2,由 h′(x)<0,解得:x<ln2, 故函数 h(x)在(ln2,+∞)递增,在(﹣∞,ln2)递减; ②f′(x)=ex﹣e, x<1 时,f′(x)<0,f(x)在(﹣∞,1)递减, x>1 时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增, m≤1 时,f(x)在(﹣∞,m]递减,值域是[em﹣em﹣1,+∞) , g(x)=(2﹣e)x 在(m,+∞)递减,值域是(﹣∞, (2﹣e)m) , ∵F(x)的值域是 R,故 em﹣em﹣1≤(2﹣e)m, 即 em﹣2m﹣1≤0, (*) , 由①可知 m<0 时,h(x)=em﹣2m﹣1>h(0)=0,故(*)不成立, ∵h(m)在(0,ln2)递减,在(ln2,1)递增,且 h(0)=0,h(1)=e﹣3< 0, ∴0≤m≤1 时,h(m)≤0 恒成立,故 0≤m≤1; m>1 时,f(x)在(﹣∞,1)递减,在(1,m]递增,
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故函数 f(x)=ex﹣ex﹣1 在(﹣∞,m]上的值域是[f(1) ,+∞) ,即[﹣1,+∞) , g(x)=(2﹣e)x 在(m,+∞)上递减,值域是(﹣∞, (2﹣e)m) , ∵F(x)的值域是 R,∴﹣1≤(2﹣e)m,即 1<m≤ 综上,m 的范围是[0, ]; ,

(2)证明:f′(x)=ex﹣a, 若 a≤0,则 f′(x)>0,此时 f(x)在 R 递增, 由 f(x1)=f(x2) ,可得 x1=x2,与|x1﹣x2|≥1 矛盾, ∴a>0 且 f(x)在(﹣∞,lna]递减,在[lna,+∞)递增, 若 x1,x2∈(﹣∞,lna],则由 f(x1)=f(x2)可得 x1=x2,与|x1﹣x2|≥1 矛盾, 同样不能有 x1,x2∈[lna,+∞) , 不妨设 0≤x1<x2≤2,则有 0≤x1<lna<x2≤2, ∵f(x)在(x1,lna)递减,在(lna,x2)递增,且 f(x1)=f(x2) , ∴x1≤x≤x2 时,f(x)≤f(x1)=f(x2) , 由 0≤x1<x2≤2 且|x1﹣x2|≥1,得 1∈[x1,x2], 故 f(1)≤f(x1)=f(x2) , 又 f(x)在(﹣∞,lna]递减,且 0≤x1<lna,故 f(x1)≤f(0) , 故 f(1)≤f(0) ,同理 f(1)≤f(2) , 即 ∴e﹣1≤a≤e2﹣e. ,解得:e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1,

20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn},{cn}满足 (n+1)bn=an+1﹣ (n+2)cn= ﹣ ,其中 n∈N*.



(1)若数列{an}是公差为 2 的等差数列,求数列{cn}的通项公式; (2)若存在实数 λ,使得对一切 n∈N*,有 bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差 数列. 【考点】等差关系的确定;数列递推式. 【分析】 (1)数列{an}是公差为 2 的等差数列,可得 an=a1+2(n﹣1) ,
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=a1+n

﹣1.代入(n+2)cn= (2)由(n+1)bn=an+1﹣



即可得出 cn.

,可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn, (n+1) (n+2)bn+1=

an+2﹣Sn+1, an+2﹣an+1= bn+1﹣nbn, (n+1) 相减可得: (n+2) 代入化简可得 cn= (bn+bn
﹣1

) .bn≤λ≤cn,λ≤cn= (bn+bn﹣1)≤λ,故 bn=λ,cn=λ.进而得出. =a1+n

【解答】 (1) 解: ∵数列{an}是公差为 2 的等差数列, ∴an=a1+2 (n﹣1) , ﹣1. ∴(n+2)cn= (2)证明:由(n+1)bn=an+1﹣ ﹣(a1+n﹣1)=n+2,解得 cn=1. ,

可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn, (n+1) (n+2)bn+1=(n+1)an+2﹣Sn+1, 相减可得:an+2﹣an+1=(n+2)bn+1﹣nbn, 可得: (n+2)cn= = +(n+1)bn= ﹣ = ﹣[an+1﹣(n+1)bn] +(n+1)bn= (bn+bn﹣1) ,

因此 cn= (bn+bn﹣1) .∵bn≤λ≤cn, ∴λ≤cn= (bn+bn﹣1)≤λ,故 bn=λ,cn=λ. ∴(n+1)λ=an+1﹣ , (n+2)λ= (an+1+an+2)﹣ ,

相减可得: (an+2﹣an+1)=λ,即 an+2﹣an+1=2λ, (n≥2) . 又 2λ= =a2﹣a1,则 an+1﹣an=2λ(n≥1) ,∴数列{an}是等差数列.

数学附加题[选做题]在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题,每小题 0 分, 共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修 4-1:几何证明 选讲] 21.如图,△ABC 的顶点 A,C 在圆 O 上,B 在圆外,线段 AB 与圆 O 交于点 M. (1)若 BC 是圆 O 的切线,且 AB=8,BC=4,求线段 AM 的长度; (2)若线段 BC 与圆 O 交于另一点 N,且 AB=2AC,求证:BN=2MN.

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【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)由切割线定理可得 BC2=BM?BA.由此可得方程,即可求线段 AM 的 长度; (2)证明△BMN∽△BCA,结合 AB=2AC,即可证明:BN=2MN. 【解答】 (1)解:由切割线定理可得 BC2=BM?BA. 设 AM=t,则 ∵AB=8,BC=4,∴16=8(8﹣t) , ∴t=6,即线段 AM 的长度为 6; (2)证明:由题意,∠A=∠MNB,∠B=∠B, ∴△BMN∽△BCA, ∴ = ,

∵AB=2AC, ∴BN=2MN.

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.设 a,b∈R.若直线 l:ax+y﹣7=0 在矩阵 A= 到的直线为 l′:9x+y﹣91=0.求实数 a,b 的值. 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【分析】方法一:任取两点,根据矩阵坐标变换,求得 A′,B′,代入直线的直线 为 l′即可求得 a 和 b 的值; 方法二:设 P(x,y) ,利用矩阵坐标变换,求得 Q 点坐标,代入直线为 l′,由 ax+y﹣7=0,则 = = ,即可求得 a 和 b 的值. 对应的变换作用下,得

【解答】解:方法一:在直线 l:ax+y﹣7=0 取 A(0,7) ,B(1,7﹣a) ,

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=

,则

=



则 A(0,7) ,B(1,7﹣a)在矩阵 A 对应的变换作用下 A′(0,7b) ,B′(3,b (7﹣a)﹣1) , 由题意可知:A′,B′在直线 9x+y﹣91=0 上, ,解得: 实数 a,b 的值 2,13. 方法二:设直线 l 上任意一点 P(x,y) ,点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到 Q (x′,y′) , 则 ∴ = , , ,

由 Q(x′,y′) ,在直线 l′:9x+y﹣91=0.即 27x+(﹣x+by)﹣91=0, 即 26x+by﹣91=0, P 在 ax+y﹣7=0,则 ax+y﹣7=0, ∴ = = ,

解得:a=2,b=13. 实数 a,b 的值 2,13.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l: (t 为参数) , 与曲线 C:

(k 为参数)交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】方法一:直线 l 的参数方程化为普通方程得 4x﹣3y=4,将曲线 C 的参数 方程化为普通方程得 y2=4x.联立求出交点坐标,利用两点之间的距离公式即可 得出. 方法二:将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y2=4x. 直线 l 的参数方程代入抛 物线 C 的方程得 4t2﹣15t﹣25=0,利用 AB=|t1﹣t2|=
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即可得

出. 【解答】解: (方法一)直线 l 的参数方程化为普通方程得 4x﹣3y=4, 将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y2=4x. 联立方程组 解得 ,或 … … … ) ,即 4t2﹣15t﹣ …

所以 A(4,4) ,B( ,﹣1) . 所以 AB═ .

(方法二)将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y2=4x. 直线 l 的参数方程代入抛物线 C 的方程得 25=0, 所以 t1+t2= ,t1t2=﹣ . = . … … ( t)2=4(1+

所以 AB=|t1﹣t2|=

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知 a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2) 【考点】不等式的证明. 【分析】利用作差,再因式分解,即可得到结论. 【解答】证明:∵a≠b, ∴a4+6a2b2+b4﹣4ab(a2+b2)=(a﹣b)4>0, ∴原不等式成立.

[必做题]第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 25. A1A=AB=2, 如图, 在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC= ,E,F 分别是 BC,A1C 的中点.

(1)求异面直线 EF,AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上, =λ.若 CM∥平面 AEF,求实数 λ 的值.
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【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面平行的性质. 【分析】 (1)建立坐标系,求出直线的向量坐标,利用夹角公式求异面直线 EF, AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上, AEF,即可求实数 λ 的值. 【解答】解:因为四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 为直四棱柱, 所以 A1A⊥平面 ABCD. 又 AE? 平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, 所以 A1A⊥AE,A1A⊥AD. 在菱形 ABCD 中∠ABC= ,则△ABC 是等边三角形. =λ.求出平面 AEF 的法向量,利用 CM∥平面

因为 E 是 BC 中点,所以 BC⊥AE. 因为 BC∥AD,所以 AE⊥AD. 建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0) ,C( A1(0,0,2) ,E( (1) ,0,0) ,F( =(﹣ ,1,0) ,D(0,2,0) ,

, ,1) .

=(0,2,0) ,

, ,1) , = . =λ, …

所以异面直线 EF,AD 所成角的余弦值为

(2)设 M(x,y,z) ,由于点 M 在线段 A1D 上,且 则(x,y,z﹣2)=λ(0,2,﹣2) . 则 M(0,2λ,2﹣2λ) , =(﹣ ,2λ﹣1,2﹣2λ) .



设平面 AEF 的法向量为 =(x0,y0,z0) . 因为 =( ,0,0) , =( , ,1) ,
第 27 页(共 30 页)



,得 x0=0,

y0+z0=0.

取 y0=2,则 z0=﹣1, 则平面 AEF 的一个法向量为 n=(0,2,﹣1) . 由于 CM∥平面 AEF,则 …

=0,即 2(2λ﹣1)﹣(2﹣2λ)=0,解得 λ= .…

26.现有 角形数阵:

(n≥2,n∈N*)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三

设 Mk 是第 k 行中的最大数,其中 1≤k≤n,k∈N*.记 M1<M2<…<Mn 的概率 为 pn. (1)求 p2 的值; (2)证明:pn> .

【考点】数列与不等式的综合. 【分析】 (1)由题意知 p2= = ,

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(2)先排第 n 行,则最大数在第 n 行的概率为 再根据二项式定理和放缩法即可证明. 【解答】解: (1)由题意知 p2=

=

,即可求出为 pn,

= ,即 p2 的值为 .

(2)先排第 n 行,则最大数在第 n 行的概率为 去掉第 n 行已经排好的 n 个数, 则余下的 … 故 pn= × ×…× = = . ﹣n=

=



个数中最大数在第 n﹣1 行的概率为

= ;

由于 2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn0+Cn1+Cn2>Cn1+Cn2=Cn+12, 故 > ,即 pn> .

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