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广东省汕头市潮南实验学校高中数学必修2课件:3.1.2两条直线平行与垂直的判定 (共23张PPT)


1.直线的倾斜角: 2.直线的斜率:

k ? tan ? ,0 ? ? ? 180
0

0

3.由直线上两点确定直线的斜率:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

在平面直角坐标系下,倾斜角可以表示直 线的倾斜程度, 斜率也可以表示直线相对于x 轴的倾斜程度。我们能否通过直线斜率来判断 两条直线的位置关系?

y
k? y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

l1
α

l2 x

O

两条直线平行的判定:

设两条不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.
y l1

l2

l1∥l2

k 1= k 2
O

不是所有直线 斜率都存在

α1

α2

x

两条直线可能 重合

判断下列说法是否正确: (1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行.

(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等.
(3)若两条直线平行且倾斜角不是直角,则它们的斜 率一定相等. (4)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它们互 相平行.

如果直线l1,l2 的斜率为k1,k2. 那么 l1∥l2 ? k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在且不重合的前提下 才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.

特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.

例题讲解

例3、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并 证明你的结论。

解 : k BA k PQ

3?0 1 ? ? 2 ? ( ?4) 2 2?1 1 ? ? ?1 ? ( ?3) 2
P

y

Q

A

B

O

x

?kBA ? kPQ

∥ PQ ? BA

例4 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0, 0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试 判断四边形ABCD的形状,并给出证明。 1 1 解 : k AB ? ? k CD ? ? y 2 2 D 3 3 k BC ? k DA ? C 2 2 A ? k AB ? kCD , k BC ? k DA O ∥ DA ? AB∥CD, BC B
因此四边形ABCD是平行四边形 .

x

【变式 1】 已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-1,2),直线 l2 经 过点 C(1,2),D(-2,a+2).若 l1∥l2,求 a 的值. 解 设直线 l2 的斜率为 k2,由斜率公式得 2-?a+2? a k2 = =-3. 1-?-2? a 若 l1∥l2,则 l1 的斜率 k1=-3, 2-a 2-a a 由斜率公式 k1= ,则 =-3, a-4 a-4 ∴a=1 或 a=6. 经检验,当 a=1 或 a=6 时,l1∥l2.

两条直线垂直的判定: 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 ( α1,α2≠90°). 则α2=α1+90° y

1 tan? 2 ? ? cot?1 ? ? tan?1

只适用于k存在 的两条直线
l2 l1

1 所以k 2 ? ? k1

两条直线l1、l2的斜率分别
为k1、k2,则有 O

α1

α2

x

l1⊥l2

k1k2=-1

判断下列说法是否正确:

(1)若两条直线的斜率之积为-1, 垂直.

这两条直线一定

(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1. (3)若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.

如果两直线的斜率为k1, k2,那么这两条直线垂直等价于 k1·k2= -1

注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不成立.
特殊情况下的两直线垂直:
?

当一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0

例题讲解
例5、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3) Q(6,-6),判断直线AB与PQ的位置关系。

解 : k AB k PQ

6?0 2 ? ? 3 ? ( ?6) 3 ?6 ? 3 3 ? ?? 6?0 2

? kAB ? kPQ ? -1 ? BA ? PQ

例6、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3) 三点,试判断△ABC的形状。

1 ? ( ?1) 1 解: ? k AB ? ?? 1? 5 2 3 ?1 k BC ? ?2 2 ?1 ? k AB ? k BC ? ?1 ? AB ? BC 即?ABC ? 90 因此?ABC是直角三角形 .
0

y

C B
O x

A

【变式 2】 (2012·杭州师大检测)已知△ABC 三个顶点坐标分别 为 A(- 2 ,-4), B(6,6), C(0,6),求此三角形三边的高所在直 线的斜率.

误区警示

忽略对字母参数的分类讨论致误

【示例】 已知直线 m1 经过点 A(3,a),B(a-2,3),直线 m2 经 过点 M(3,a),N(6,5),若 m1⊥m2,求 a 的值. 3-a a-5 3-a a-5 [错解] m1⊥m2?k1· k2=-1,k1= ,k = ,即 · a-5 2 -3 a-5 -3 =-1,所以 a=0.

[正解] 由题意可知直线 m2 的斜率一定存在, 直线 m1 的斜率则 可能不存在. (1)当直线 m1 的斜率不存在时,a=5,此时直线 m2 的斜率 k2= 0,所以两直线垂直. 3-a a-5 (2)当直线 m1 的斜率存在时,m1⊥m2?k1· k2=-1,即 · a-5 -3 =-1,解得 a=0.所以 m1⊥m2 时,a 的值为 0 或 5.

3.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与 2 经过点(-2,1),斜率为- 的直线垂直,则实数a 3 的值是( ). 2 3 2 3 A.- B.- C. D. 3 2 3 2 2 解析 由于直线l与经过点(-2,1)且斜率为- 的 3 直线垂直,可知a-2≠-a-2.
1 ? (?1) 1 ∵kl= =- , ? a ? 2 ? (a ? 2) a

1 2 2 ∴- a · (- )=-1,∴a=- . 3 3

答案 A

4.直线l1的倾斜角为45°,直线l2过A(-2,-1), B(3,4),则l1与l2的位置关系为________. 解析 ∵直线l1的倾斜角为45°, ∴k1=1. 又∵直线l2过A(-2,-1),B(3,4),
4 ? (?1) ∴k2= =1. 3 ? (?2)

∴k1=k2,∴l1与l2平行或重合. 答案 平行或重合

5.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根, 则l1与l2的位置关系是________.
解析 ∵l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根, 不妨设斜率分别为k1,k2,则k1·k2=-1,∴l1⊥l2. 答案 垂直

6.(2012·威海高一检测)已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D 满足AB⊥CD,且AD∥BC,求点D的坐标. 解 kCD= ,kAD= . x x ?1 因为AB⊥CD,AD∥BC,所以kAB·kCD=-1,kAD=kBC,
? y?4 ?1? x ? ?1 所以 ? y 2 ? ?? 3 ? x ?1

2 2 4?2 设D(x,y),则kAB= =1,kBC= =- , 3 0?3 y?4 y 3 ?1

? x ? 10 ,解得 ? , ? y ? ?6

即D(10,-6).

7.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称, 则l的倾斜角为( ). A.135° B.45° C.30° D.60°

解析

a ?1? b 由题意知,PQ⊥l,∵kPQ= =-1, b ?1? a

∴kl=1,即tan α=1,∴α=45°. 答案 B

8.(创新拓展)已知在?ABCD中,A(1,2),B(5,0), C(3,4). (1)求点D的坐标;
解 (1)设D(a,b),由?ABCD,得kAB=kCD, kAD=kBC,

?0 ? 2 b ? 4 ? ? 5 ?1 a ? 3 ?a ? ?1 即 ? b ? 2 4 ? 0 ,解得 ? , b ? 6 ? ? ? ? a ?1 3 ? 5
∴D(-1,6).

8.(创新拓展)已知在?ABCD中,A(1,2),B(5,0), C(3,4). (2)试判定?ABCD是否为菱形?

∴D(-1,6).
6?0 4?2 (2)∵kAC= =1,kBD= ? 1 ? 5 =-1, 3 ?1

∴kAC·kBD=-1, ∴AC⊥BD.∴?ABCD为菱形.


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