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2015年江苏高考南通密卷一(南通市数学学科基地命题)


2015 年高考模拟试卷(1)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . a ? bi 1.设 a, b ? R , . ? 2 ? 3i ,其中 i 是虚数单位,则 a ? b ? 1? i 2.已知集合 P ? ?x x ? a? , Q ? ? y y ? sin ? ,

? ? R? .若 P ? Q ,则实数 a 的取值范围是 3.为了了解一片 经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木 的底部周长(单位: cm ),所得数据如图.则在这 100 株树木 中,底部周长不小于 100cm 的有 株. .

r r r r r r r 4.设向量 a ? (1, m) , b ? (m ? 1,2) ,且 a ? b ,若 (a ? b) ? a ,
第 3 题图

则实数 m ?

. .

开始
a ? 5, S ? 1

5.如图所示的流程图的运行结果是

6.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD ? a , 则三棱锥 D ? ABC 的体积为 .

a?4

N
输出 S 结束

S ? S ?a a ? a ?1
第 5 题图

Y

7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 9 , a4 ? a6 ? 2 . 当 Sn 取最大值时, n ? 8.已知 ? .

?
4

?? ?

?
4

,且 cos 4? ?

1 ,则 cos 4 ? ? sin 4 ? ? 5



9.若在区间 ( ?1,1) 内任取实数 a ,在区间 (0,1) 内任取实数 b ,则直线 ax ? by ? 0 与圆
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相交的概率为

. .

1 ? ? 10.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ), x ?[? , a] 的值域是 [? ,1] ,则实数 a 的取值范围为 2 6 6

1 1 1 11.已知函数 f ( x) 满足:当 x ? ?1,3? 时, f ( x) ? ln x ,当 x ?[ ,1) 时, f (x) ? 2 f ( ) .若在区间[ ,3] 3 3 x
内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax(a ? 0) 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是 12.设椭圆 C : .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b 2 ,若椭圆 C 上存在点错误!未找到引用源。,使得过点 P 引 2 a b

圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,满足 ?APB ? 60 ,则椭圆错误!未找到引用源。的离心率的取值范围 是 .
n n 3 3 13.设数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 ,则满足不等式 ? ? ? ai 的正整数 n 的集合为 2 i ?1 ai i ?1



14.设函数 f ( x) ? 3x ? 3? x ? 2 x ,则满足 ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 的 x 的取值范围是
2



第 1 页,共 10 页

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 b tan A ? (2c ? b) tan B . (1)求角 A 的大小; uuu r uuu r (2)设 AD ? BC , D 为垂足,若 b ? 2 , c ? 3 ,求 AD ? AC 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? BC , G 为 PA 上一点. (1)求证:平面 PCD ? 平面 ABCD ; (2)若 PC ∥平面 BDG ,求证: G 为 PA 的中点. P
G

D

A

C

B

第 2 页,共 10 页

17. (本小题满分 14 分) 如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东偏北 ? 角方向的 OB .位于该 市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM ? 3 13km ,且 ?AOM ? ? .现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A ,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且经过大学 M .其中 3 tan ? ? 2 , cos ? ? , AO ? 15km . 13 B L (1)求大学 M 与站 A 的距离 AM ; (2)求铁路 AB 段的长 AB .
L L M
?

?
O

A

第 3 页,共 10 页

18. (本小题满分 16 分) 3 x2 y 2 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,直线 y ? x ? 2 与以原点为圆心、椭圆 C 2 a b 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)设直线 x ? 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 D .若圆 D 与 y 轴相交于不同的两 2 点 A, B ,求 ?ABD 的面积; (3)如图, A1 、 A2 、 B1 、 B2 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 B2 P 交 x 轴于点 F , 直线 A1 B2 交 A2 P 于点 E .设 A2 P 的斜率为 k , EF 的斜率为 m ,求证: 2m ? k 为定值.

y
B2

E

P
A1
O

A2

F x

B1
第 18 题图

第 4 页,共 10 页

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ,其中函数 y ? g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2)若 a ? 0 ,试讨论函 数 g ( x) 的单调性; 1 1 (3)设斜率为 k 的直线与函数 y ? f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) ,求证: ? k ? . x2 x1

第 5 页,共 10 页

20. (本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? An 2 ? Bn ? C ( A ? 0, n ? N * ) . (1)当 C ? 1 时,
3 9 , a2 ? .求实数 A, B 的值,并判定数列 ?bn ? 是否为等比数列; 2 4 B ?1 ②若数列 ?an ? 是等差数列,求 的值; A n 3 1 1 (2)当 C ? 0 时,若数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,且 ?n ? N * , ? ? ? ? 1? 2 ? 2 , n ? 1 i ?1 ai ai ?1

①设 bn ? an ? n ,若 a1 ?

求实数 ? 的取值范围.

第 6 页,共 10 页

2015 年高考模拟试卷(1) 参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题
2 3 15 a ; 7. 5 ; 8. ; 12 5 5 ? ? 1 1 1 1 1 9. ; 10. [ , ] ; 11. ( ,6ln 3] ; 【解析】当 x ?[ ,1) 时, ? ( 由条件得, f ( x) ? 2 f ( ) ? 2ln ? ?2ln x , 1 ,3] , 16 6 2 e 3 x x x

1. 6 ; 2. [1, ??) ; 3. 70 ; 4. 1 ; 5. 20 ; 6.

函数 g (x) ? f (x) ?ax (a ?0) 恰有一个零点 ? 方程 f ( x) ? ax (a ? 0) 有唯一解, 在直角坐标系内分别作出 y ? f ( x) 与

1 y ? ax (a ? 0) 的图象,当直线 y ? ax 经过点 ( , 2ln 3) 时, a ? 6 ln 3 6 ln 3 ,当直线 y ? ax 和曲线 f ( x) ? ln x 相切 3 1 1 时,切点为 (e,1) ,此时 a ? ,由图象可知,当 ? a ? 6ln 3 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? ax (a ? 0) 的图象由唯一的交 e e
点. 12. [
3 ,1) ; 【解析】在四边形 OAPB 中, ?APB ? 60 , ?OAP ? ?OBP ? 90 , OA ? OB ? b ,? OP ? 2b ,由题 2 c 3 3 ? e ? 1 . 13. {1,2,3}; 意得, 2b ? a ,即 2 a 2 ? c 2 ? a ,化解得 ? ,又在椭圆中 e ? 1 ,? 【解 a 2 2 1 3 3 3 析】 由于数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 , 所以数列 {an } 为等比数列, 首项为 a1 ? , 公比 q1 ? ; 数列 { } an 2 2 2

2 3 1?( ) n 1?( ) n n n n n 3 1 2 2 3 ? 2 , 也是等比数列,首项为 ,公比 q2 ? .不等式 ? ? ? ai 等价于 3? ? ? ai ,即 3 ? 2 3 3 3 i ?1 ai i ?1 i ?1 ai i ?1 1? 1? 3 2 2 2 n n ? N ? , ?n 只 能 取 1, 2,3 . 解 之 得 14. (0,1) (2, ??) ; 【 解 析 】 ? ( ) ?1 , 9 3 f ?( x) ? 3x ln3 ? 3? x ln3 ? 2 ? (3x ? 3? x )ln3 ? 2 ? 2ln3 ? 2 ? 0 , ? 函 数 f ( x) 在 (??, ??) 上 单 调 递 增 , 且
x?2?0 x?2?0 ? ? ? ? f (0) ? 0 ,? ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 ? ?log x ? 0 或 ?log x ? 0 ,解得 x ? 2 或 0 ? x ? 1 . 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2

二、解答题 15. (1) b tan A ? (2c ? b) tan B , ? 由正弦定理,得 sin B ?

sin A sin B , ? (2sin C ? sin B) ? cos A cos B 又 在 ?ABC 中, sin B ? 0 , ? sin A cos B ? 2sin C cos A ? cos A sin B , 1 即 sin( A ? B) ? 2sin C cos A , 又 sin( A ? B) ? sin C ? 0 , ? cos A ? , 2

0 ? A ? ? ,? A ?

?

3


b ? 2 ,c ? 3 , A?

(2) 由余弦定理, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
?a ? 7 ,
? AD ?

, 3 3 1 1 , BC ? AD ? AB ? AC ? sin A ,即 7 ? AD ? 3 ? 2 ? 2 2 2

?

2 3 21 , ? AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD ? 27 . 7 7

16.(1) 底面 ABCD 为矩形,? BC ? CD ,又 PD ? BC , CD, PD ? 平面PCD , PD CD ? D , ? BC ? 平面 PCD , 第 7 页,共 10 页

又 BC ? 平面ABCD , ? 平面 ABCD ? 平面 PCD ; PC / / 平面 BDG , (2)连接 AC ,交 BD 于 O ,连接 GO , 平面 PCA 平面 BDG ? GO , ? PC / / GO , PG CO , 底面 ABCD 为矩形, ? O 是 AC 的中点,即 CO ? OA , ? ? GA OA ? PG ? GA , ? G 为 PA 的中点. 3 17. (1)在 ?AOM 中, AO ? 15 , ?AOM ? ? 且 cos ? ? , OM ? 3 13 , 13 由余弦定理得, AM 2 ? OA2 ? OM 2 ? 2OA ? OM ? cos ?AOM 3 ? (3 13) 2 ? 152 ? 2 ? 3 13 ? 15 ? 13 ? 13 ? 9 ? 15 ?15 ? 2 ? 3 ?15 ? 3

? 72. ? AM ? 6 2 ,即大学 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ; 3 2 (2) cos ? ? ,且 ? 为锐角,? sin ? ? , 13 13 AM OM ? 在 ?AOM 中,由正弦定理得, , sin ? sin ?MAO
2 6 2 3 13 ? ,? sin ?MAO ? ,??MAO ? , ? 2 2 sin ?MAO 4 13 2 1 ? tan ? ? 2 ,? sin ? ? , cos ? ? , ??ABO ? ? ? , 4 5 5 ? 1 2 ? sin ?ABO ? sin(? ? ) ? ,又 ?AOB ? ? ? ? , ? sin ?AOB ? sin(? ? ? ) ? , 4 10 5 AB AO 在 ?AOB 中, AO ? 15 , 由正弦定理得, , ? sin ?AOB sin ?ABO AB 15 即 ,? AB ? 30 2 ,即铁路 AB 段的长 AB 为 30 2km . ? 2 1 5 10



18. (1)圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? b2 ,
? 2 2

直线 y ? x ? 2 与圆 O 相切,

? b ,即 b ? 1 ,又 e ?

? a ? 2 , ? 椭圆 C

1 (2)由题意,可得 M ( , 2 15 ? 圆 D 的半径 r ? 4

3 b2 3 , ? 1? 2 ? , 2 a 2 x2 的方程为 ? y 2 ? 1 ; 4 15 1 15 ), N ( , ? ), 4 2 4 15 1 11 ? ? ,? AB ? 2 , 16 4 2

1 11 1 11 ? ? ? ; 2 2 2 8 (3)由题意可知 A1 (?2,0), A2 (2,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) ,

? ?ABD 的面积为 S ?

A2 P 的斜率为 k ,? 直线 A2 P 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 ?4k 其中 xA ? 2 ,? xP ? , ? P ( , ), 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 第 8 页,共 10 页

则直线 B2 P 的方程为 y ? ? 令 y ? 0 ,则 x ?

2k ? 1 x ?1, ( 2 2k ? 1)

2(2k ? 1) 2(2k ? 1) , 即 F( ,0) , 2k ? 1 2k ? 1 直线 A1 B2 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,

4k ? 2 ? x? ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 4k ? 2 4k ? 2k ? 1 由? ,解得 ? ,? E ( , ), 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? k ( x ? 2) ? y ? 4k ? 2k ? 1 ? 4k ? 2k ? 1 2 k ?1 , ? ? EF 的斜率 m ? 2(2k ? 1) 4k ? 2 4 ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 . ? 2m ? k ? 2 ? ? k ? (定值) 4 2 1 19. (1) g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x ? ax 2 ? bx , ? g ?( x) ? ? 2ax ? b , x 由题意得 g ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 , ? b ? ?2a ? 1 ; 1 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (2) g ?( x) ? ? 2ax ? b ? ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 0) , x x x ?( x ? 1) ①当 a ? 0 时, g ?( x) ? ( x ? 0) , x 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 单调减; 当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (0,1) 单调增; 1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2a ②当 0 ? a ? 时,即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2 2a 1 ? 函数 g ( x) 在 (1, ) 上单调减; 2a 1 函数 g ( x) 在 ( , ??) 和 (0,1) 单调增; 2a 1 ( x ? 1) 2 ③当 a ? 时,即 2 a ? 1 , g ?( x) ? ? 0( x ? 0) , x 2 ? 函数 g ( x) 在 (0, ??) 单调增; 1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2a ④当 a ? 时.即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2 2a 1 ? 函数 g ( x) 在 ( ,1) 单调减区间; 2a 1 函数 g ( x) 在 (1, ??) 和 (0, ) 单调增; 2a (3)由题设 x2 ? x1 ? 0 , 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ?k? ? ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x ? x1 ? ? ln x2 ? ln x1 ? 2 x2 x1 x x 1 ?1? ? ln 2 ? 2 ? 1 ① x2 x1 x1 x1 1 1? x 令 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) ,则 h?( x) ? ? 1 ? ( x ? 1) , x x

第 9 页,共 10 页

? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , ? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 是减函数, 而 h(1) ? 0 ,? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0

x2 ? x1 ? 0 ,?

x2 x x x x x ? 1 , ? h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,即 ln 2 ? 2 ? 1 , ② x1 x1 x1 x1 x1 x1

1 1 1 x ?1 ? 1( x ? 1) ,则 H ?( x) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) , x x x x ? x ? 1 时, H ?( x) ? 0 , ? H ( x) 在 (1, ??) 是增函数, x x 1 ? x ? 1 时, H ( x) ? H (1) ? 0 , ? H ( 2 ) ? ln 2 ? ?1 ? 0, x x1 x1 2 x1 x 1 1 1 即1 ? ? ln 2 ③由①②③得 ? k ? . x2 x2 x1 x1 x1
令 H ( x) ? ln x ? 20.(1) C ? 1 ,? an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 , ① 令 n ? 1 ,可得 2a1 ? A ? B ? 1 ,即 A ? B ? 2 ,令 n ? 2 ,可得 a1 ? 2a2 ? 4 A ? 2 B ? 1 ,即 4 A ? 2 B ? 5 , 1 3 1 3 ① ? A ? , B ? ,? an ? Sn ? n2 ? n ? 1 , 2 2 2 2 1 3 当 n ? 2 时,? an?1 ? Sn?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1 , ② 2 2 1 1 ①-②,得 2an ? an?1 ? n ? 1 (n ? 2) , ? an ? n ? [an?1 ? (n ? 1)] ,即 bn ? bn ?1 , 2 2 bn 1 1 ? , ? 数列 ?bn ? 是等比数列; 又 b1 ? a1 ? 1 ? ? 0 , bn ? 0 ,? bn ?1 2 2 ② 数列 ?an ? 是等差数列,? 设 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? na1 ?
n(n ? 1) d, 2

d d an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 ,? n2 ? (a1 ? )n ? a1 ? d ? An2 ? Bn ? 1, n ? N * 2 2 d ? ?A ? 2 d d d ? a ? ? 1 a1 ? 1 ? d? B ?1 1 2 d ? 2 ? 2 ? 3; ? ? ? ? B ? a1 ? ,? d d d 2 A ? 2 2 2 ? a1 ? d ? 1 ? ?
(2)当 C ? 0 时, an ? Sn ? An 2 ? Bn 数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,? an ? 1 ? (n ? 1)d , Sn ? n ?
n(n ? 1) d, 2

d d ? n2 ? (1 ? )n ? 1 ? d ? An2 ? Bn ,? d ? 1 ,? an ? n , 2 2 1 1 1 1 n(n ? 1) ? 1 1 1 1? 2 ? 2 ? 1? 2 ? ? ?1? ? , 2 an an ?1 n (n ? 1) n(n ? 1) n n ?1
?? 1 ?
i ?1 n

1 1 1 ? 2 ? n ?1? , 2 ai ai ?1 n ?1

?? ?

n 3 1 1 3 1 ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? ? n ?1? , n ? 1 i ?1 ai ai ?1 n ?1 n ?1

2 2 , ??n ? N * , ? ? n ? 1 ? , n ?1 n ?1 2 x2 ? 2 2 令 f ( x) ? x ? , f ?( x) ? 1 ? 2 ? 2 ,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,而 x x x 2 n ? 1 ? 2 , ? (n ? 1 ? )min ? 3 , ? ? ? 3 . n ?1
即 ? ? n ?1? 第 10 页,共 10 页


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