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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

平面向量的基本定理及坐标表示

[知识能否忆起] 一、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫

做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中, 分别取与 x 轴, y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底. 对 于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x,y,使 a=x i+yj,把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标. (2)设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是终点 A 的坐标,即若 OA =(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立.(O 是坐标原点) 二、平面向量坐标运算 1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), λa=(λx1, λy1). 2.向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),| AB |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 三、平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.若 a∥b?x1y2-x2y1=0. [小题能否全取] 1.(2012· 广东高考)若向量 AB =(1,2), BC =(3,4),则 AC =( A.(4,6) C.(-2,-2) B.(-4,-6) D.(2,2) )

解析:选 A ∵ AC = AB + BC ,∴ AC =(1,2)+(3,4)=(4,6). 2.已知向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 a∥b,则 a+b 等于( )

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A.(-2,-1) C.(3,-1)

B.(2,1) D.(-3,1)

解析:选 A 由 a∥b 可得 2×(-2)-1×x=0,故 x=-4,所以 a+b=(-2,-1). 3.(教材习题改编)已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与 AB 同向的单位向量是( 3 4? A.? ?5,-5? 4 3? C.? ?-5,5? 3 4? B.? ?-5,5? 4 3? D.? ?5,-5? )

解析:选 A ∵A(4,1),B(7,-3),∴ AB =(3,-4), 4 AB ?3 ∴与 AB 同向的单位向量为 =?5,-5? ?. | AB | 4.在平行四边形 ABCD 中,若 AB =(1,3), AC =(2,5),则 AD =________, BD = ________. 解析: AD = BC = AC - AB =(2,5)-(1,3)=(1,2),

BD = AD - AB =(1,2)-(1,3)=(0,-1).
答案:(1,2) (0,-1) 5.梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别是 CD,AB 的 n 中点,设 AB =a, AD =b.若 MN =ma+nb,则 =________. m 1 1 1 解析:∵ MN = MD + DA + AN =- a-b+ a= a-b, 4 2 4 1 n ∴m= ,n=-1.∴ =-4. 4 m 答案:-4

1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内 任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯 一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别 要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不 同,向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息.

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平面向量基本定理及其应用

典题导入 [例 1] (2012· 苏北四市联考)如图,在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 相交于点 O,设 AD =a, AB =b,若 AB =2 DC ,则 AO = ________(用向量 a 和 b 表示). OC 1 2 2 [自主解答] ∵ AB =2 DC , ∴△DOC∽△BOA, 且 = , ∴ AO = AC = ( AD + DC ) OA 2 3 3 1 2 2 1 a+ b?= a+ b. = ? 2 ? 3 3 3? [答案] 2 1 a+ b 3 3

由题悟法 用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,也就 是利用已知向量表示未知向量, 其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减运算和数乘运算. 以题试法 1.(2012· 南宁模拟)在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, AN =λ AB +μ AC ,则 λ+μ 的值为( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 D.1

解析:选 A 设 CM =m CB =m( AB - AC )(0≤m≤1),则 AM = AC + CM =(1 1-m 1 m m 1-m 1 -m) AC +m AB , AN = AM = AB + AC ,所以 λ+μ= 2 + 2 =2. 2 2 2 平面向量的坐标运算 典题导入 [例 2] (1)(2012· 西城期末)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-2).若实数 k 与向量 c 满足 a+2b=kc,则 c 可以是( A.( 3,-1) C.(- 3,-1) ) B.(-1,- 3) D.(-1, 3)

(2)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB =a, BC =b, CA =c.

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①求 3a+b-3c; ②求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. [自主解答] (1)∵a=( 3,1),b=(0,-2), ∴a+2b=( 3,-3)=- 3(-1, 3). (2)由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). ①3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24) =(6,-42). ②∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

? ? ?-6m+n=5, ?m=-1, ∴? 解得? ? ? ?-3m+8n=-5, ?n=-1.
[答案] (1)D

本例中第(2)题增加条件 CM =3c, ON =2b,求 M,N 的坐标及向量 MN 的坐标. 解:∵ CM = OM - OC =3c, ∴ OM =3c+ OC =(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20).又∵ CN = ON - OC =-2b, ∴ ON =-2b+ OC =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2).∴ MN =(9,-18).

由题悟法 1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转 化为数量运算. 2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用. [注意] 向量的坐标与点的坐标不同:向量平移后,其起点和终点的坐标都发生变化, 但向量的坐标不变. 以题试法 2.(2012· 淮安模拟)已知向量 a=(6,4),b=(0,2), OC =a+λb,O 为坐标原点,若点 C

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π ? 在函数 y=sin? ?12x?的图象上,则实数 λ 的值为________. 解析:由题意得 OC =(6,4)+λ(0,2)=(6,4+2λ), 故点 C 的坐标为(6,4+2λ), 6π 3 根据条件得 4+2λ=sin =1,解得 λ=- . 12 2 3 答案:- 2 平面向量共线的坐标表示

典题导入 [例 3] (2011· 广东高考)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb) ∥c,则 λ=( 1 A. 4 C.1 ) 1 B. 2 D.2

1 [自主解答] 可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4-3×2=0,所以 λ= . 2 [答案] B

在本例条件下,问是否存在非零常数 λ,使 a+λb 和 a-λc 平行?若平行, 是同向还是 反向? 解:∵a+λb=(1+λ,2),a-λc=(1-3λ,2-4λ), 若(a+λb)∥(a-λc),∴(1+λ)(2-4λ)-2(1-3λ)=0. ∴λ=1.∴a+λb=(2,2)与 a-λc=(-2,-2)反向. 即存在 λ=1 使 a+λb 与 a-λc 平行且反向.

由题悟法 a∥b 的充要条件有两种表达方式 (1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R); (2)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 两种充要条件的表达形式不同.第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有前提条件 b≠0,而第(2)种无 b≠0 限制. 以题试法

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3.(1)(2012· 北京东城区综合练习)已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b m 共线,则 =( n A.-2 1 C.- 2 ) B.2 1 D. 2

解析:选 C 由向量 a=(2,3),b=(-1,2)得 ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,- m 1 1),因为 ma+nb 与 a-2b 共线,所以(2m-n)×(-1)-(3m+2n)×4=0,整理得 =- . n 2 (2)(2012· 嘉兴模拟)已知 a,b 是不共线的向量, AB =λa+b, AC =a+μb,λ,μ∈R, 那么 A,B,C 三点共线的充要条件为( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 解析:选 D ) B.λ-μ=1 D.λμ=1 ∵A,B,C 三点共线,∴存在实数 t,满足 AB =t AC ,即 λa+b=ta+μtb,

又 a,b 是不共线的向量,

? ?λ=t, ∴? 即 λμ=1. ?1=μt, ?

1.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP =2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA =(4,3),

PQ =(1,5),则 BC 等于(
A.(-2,7) C.(2,-7) 解析:选 B

) B.(-6,21) D.(6,-21)

BC =3 PC =3(2 PQ - PA )=6 PQ -3 PA =(6,30)-(12,9)=(-6,21).
)

2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10)

解析:选 C 由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)?m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 3.(2013· 昆明模拟)如图所示,向量 OA =a, OB =b, OC =c,A,

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B,C 在一条直线上,且 AC =-3 CB ,则( 1 3 A.c=- a+ b 2 2 3 1 B.c= a- b 2 2 C.c=-a+2b D.c=a+2b

)

解析:选 A ∵ AC =-3 CB ,∴ OC - OA =-3( OB - OC ). 1 3 1 3 ∴ OC =- OA + OB ,即 c=- a+ b. 2 2 2 2 4.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行; ② AB + BC = CA ; ③ OA + OC = OB ; ④ AC = OB -2 OA .其中正确的结论的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 C ∵ OC =(-2,1), BA =(2,-1),∴ OC ∥ BA ,又 A,B,C,O 不共 线, ∴OC∥AB.①正确; ∵ AB + BC = AC ,∴②错误; ∵ OA + OC =(0,2)= OB ,∴③正确; ∵ OB -2 OA =(-4,0), AC =(-4,0),∴④正确. 5.(2012· 郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面 内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c=λa+μb(λ、μ 为实数),则 m 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,+∞) B.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) )

3m-2 解析:选 D 由题意知向量 a,b 不共线,故 m≠ ,解得 m≠2. 2 6.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线 与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF =( 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3 )

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1 解析:选 B 由已知得 DE= EB, 3 又∵△DEF∽△BEA, 1 ∴DF= AB. 3 1 2 即 DF= DC.∴CF= CD. 3 3 2 2 ∴ CF = CD = ( OD - OC ) 3 3 2 1 1 ? 1 1 b- a = b- a. = ? 3?2 2 ? 3 3 1 1 2 1 ∴ AF = AC + CF =a+ b- a= a+ b. 3 3 3 3 x? 7.(2012· 洛阳质检)已知向量 a=? ?8,2?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x=________. x 8-2x, -2?,2a+b=(16+x,x+1), 解析:a-2b=? 2 ? ? x ? (16+x),整理得 x2=16,又 x>0,所以 x=4. 由题意得(8-2x)· (x+1)=? ?2-2?· 答案:4 8.(2013· 九江模拟)P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n ∈R}是两个向量集合,则 P∩Q 等于________. 解析:P 中,a=(-1+m,1+2m),Q 中,b=(1+2n,-2+3n).

? ? ?-1+m=1+2n, ?m=-12, 则? 得? ?1+2m=-2+3n. ?n=-7. ? ?
此时 a=b=(-13,-23). 答案:{?-13,-23?} 9.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点 能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 解析:若点 A,B,C 能构成三角形, 则向量 AB , AC 不共线. ∵ AB = OB - OA =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),

AC = OC - OA =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),

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∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1 10.已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; (2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标. 解:(1)由已知得 AB =(2,-2), AC =(a-1,b-1), ∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ AC . ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. (2)∵ AC =2 AB , ∴(a-1,b-1)=2(2,-2).

? ? ?a-1=4, ?a=5, ∴? 解得? ?b-1=-4, ?b=-3. ? ?
∴点 C 的坐标为(5,-3). 11.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1),所以 a+3b=(7,3), 故|a+3b|= 72+32= 58.

(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=- . 3 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=? ?-3,-1?, a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 12.已知 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线.

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解:(1) OM =t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).

? ?4t2<0, 当点 M 在第二或第三象限时,有? ?2t1+4t2≠0, ?
故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)当 t1=1 时,由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵ AB = OB - OA =(4,4),

AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,
∴不论 t2 为何实数,A,B,M 三点共线.

1.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点, N 是线段 OD 的中点,AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错 . 误 的是( . ) B. BD = AD - AB 5 D. AE = AB + AD 3

A. AC = AB + AD 1 1 C. AO = AB + AD 2 2

解析:选 D 由向量减法的三角形法则知, BD = AD - AB ,排除 B;由向量加法的 1 1 1 平行四边形法则知, AC = AB + AD , AO = AC = AB + AD ,排除 A、C. 2 2 2 2.(2012· 山西四校联考)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC =3 CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C、 D 不重合), 若 AO =x AB +(1-x) AC , 则 x 的取值范围是( 1? A.? ?0,2? 1 ? C.? ?-2,0? 1? B.? ?0,3? 1 ? D.? ?-3,0? )

4 解析: 选 D 依题意, 设 BO =λ BC , 其中 1<λ< , 则有 AO = AB + BO = AB +λ BC 3 = AB +λ( AC - AB )=(1-λ) AB +λ AC . 1 - ,0?,即 又 AO =x AB +(1-x) AC ,且 AB , AC 不共线,于是有 x=1-λ∈? ? 3 ? 1 - ,0?. x 的取值范围是? ? 3 ? 3.(2012· 东营模拟)已知 P 为△ABC 内一点,且 3 AP +4 BP +5 CP =0.延长 AP 交

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BC 于点 D,若 AB =a, AC =b,用 a,b 表示向量 AP , AD . 解:∵ BP = AP - AB = AP -a, CP = AP - AC = AP -b, 又 3 AP +4 BP +5 CP =0, ∴3 AP +4( AP -a)+5( AP -b)=0, 1 5 化简,得 AP = a+ b. 3 12 1 5 设 AD =t AP (t∈R),则 AD = t a+ t b.① 3 12 又设 BD =k BC (k∈R), 由 BC = AC - AB =b-a,得

BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD ,
∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②

?3t=1-k, 由①②,得? 5 ?12t=k,
4 5 代入①,有 AD = a+ b. 9 9

1

4 解得 t= . 3

1.已知向量 a=( 3,1),b=(sin α-m,cos α),且 a∥b,则实数 m 的最小值为( A.-2 C.- 2 B.-1 D.-3

)

解析:选 A ∵a∥b,∴ 3cos α-sin α+m=0. π? ∴m=sin α- 3cos α=2sin? ?α-3?≥-2. 2.若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一组基 底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( A.(2,0) C.(-2,0) ) B.(0,-2) D.(0,2)

解析:选 D ∵a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2),即 a=-2p+2q=(2,4). 令 a=x m+y n=(-x+y,x+2y),

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 ? ? ?-x+y=2, ?x=0, 故? 即? ?x+2y=4, ?y=2. ? ?

3.如图,已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(0,0),B(4,1),C(6,8). (1)求顶点 D 的坐标; (2)若 DE =2 EC , F 为 AD 的中点, 求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标. 解:(1)设点 D(x,y),因为 AD = BC , 所以(x,y)=(6,8)-(4,1)=(2,7), 所以顶点 D 的坐标为(2,7). 7? (2)设点 I(x,y),则有 F 点坐标为? ?1,2?,由于 14 23? DE =2 EC ,故(xE-2,yE-7)=2(6-xE,8-yE)?E? ? 3 , 3 ?, 5? 由于 BF =? ?-3,2?,

BI =(x-4,y-1), BF ∥ BI ?
5 23 14 7 23 (x-4)=-3(y-1),又 AE ∥ AI ? x= y,联立方程组可得 x= ,y= , 2 3 3 4 8 7 23? 则点 I 的坐标为? ?4, 8 ?.


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